其次章 矩陣補(bǔ)充習(xí)題(含答案)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——其次章矩陣補(bǔ)充習(xí)題(含答案)其次章矩陣補(bǔ)充習(xí)題

1．已知對(duì)于n階方陣A，存在自由數(shù)k，使得A?0，試證明矩陣E–A可逆，并寫出其逆矩陣的表達(dá)式（E為n階單位陣）．

由代數(shù)公式1-ak?(1?a)(1+a+?+ak-1)以及A與E可交換，有

kE-Ak?(E?A)(E+A+??Ak?1)，而Ak?0

故有(E?A)(E+A+??Ak?1)?E可知E–A可逆，且有

-1（E-A）?E+A+??Ak?1．

2．設(shè)A為n階非奇異矩陣，?為n維列向量，b為常數(shù)．記分塊矩陣

?EP??T*???A*

0??A，Q???TA??????，

b?其中A是矩陣A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣．(1)計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ；

(2)證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是?A??b．

此題的關(guān)鍵是對(duì)于含A的計(jì)算或證明題，首先應(yīng)聯(lián)想到關(guān)系式

*

T?1AA*?A*A?AE．另外，在進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算中要注意哪些是矩陣，哪些是向量，哪些

是數(shù)，左乘還是右乘．

（1）因AA?AA?AE，故

**?EPQ??T*???A?A=??0?（2）由（1）可得PQ?20??A?TA??????????T*Tb????AA?A?A???

??TA*??bA???．T?1A?b??A????A?b??T?1?A??，

而PQ?P?Q,且P?A?0,，故

1??T?A?．Q?Ab??由此可知，Q?0的充分必要條件為?A??b，即矩陣Q可逆的充分必要條件是

T?1?TA?1??b．

此題綜合考察了矩陣乘法運(yùn)算、矩陣乘積行列式的性質(zhì)以及伴隨矩陣的性質(zhì)．要特別注意重要公式：AA*?A*A?AE，且A可逆時(shí)，有

A?AA,?A*?1*?1?AA**?1?1．?,A?A?A?,A?AA

3．設(shè)A和B均為n?n矩陣，則必有

(A)A?B?A?B.(B)AB=BA.

(C)AB?BA.(D)(A?B)?1?A?1?B?1.矩陣的乘法運(yùn)算不滿足交換律，因此一般AB?BA,但AB?AB，而行列式是數(shù)，可交換，于是有AB?AB?BA?BA，可見應(yīng)選(C).

對(duì)于(A),(D)，主要考察行列式和矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，均可通過反例說明不成立。

?101???nn?14．設(shè)A?020，而n?2為正整數(shù)，則A?2A?.

????101??此題若分別計(jì)算出A及Ann?1，再代入A?2A23nn?1求其值，則將問題弄繁雜

化了。一般而言，對(duì)于一個(gè)填空題，可先試算A,A,?,找出規(guī)律后，在進(jìn)行計(jì)算。

由于

?101??101??202???????2A?020?020?040?2A，

????????101????101????202??故有A?2A

5．設(shè)n維向量??(a,0,?,0,a),a?0；E為n階單位矩陣，矩陣

TA?E???，B?E?nn?1?An?2(A2?2A)?0.

T1??T，a其中A的逆矩陣為B，則a=.

T2T這里??為n階矩陣，而???2a為數(shù)，直接通過AB?E進(jìn)行計(jì)算并

注意利用乘法的結(jié)合律即可.

由題設(shè)，有

1??T)a11TTTT=E????????????

aa11TTTT=E????????(??)?

aa1TTT=E???????2a??

a1T=E?(?1?2a?)???E,

a112于是有?1?2a??0，即2a?a?1?0，解得a?,a??1.由于A<0,故a=-1.

a2AB?(E???)(E?T

6．已知X=AX+B,其中

?010??1?1?????A??111，B?20，????????10?1???5?3??求矩陣X.

由X=AX+B,，有(E-A)X=B,于是X?(E?A)B.

?121??0?1?10????1??1而(E?A)?10?1=?321，

???3????0?11???102???121??1?1??3?1??01??????故X?(E?A)?1B=?32120?20.

?????3???5?3????1?1???0?11???

7．設(shè)

?a11?a21A???a31??a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14??a14?aa24??,B??24?a34a34???a44??a44a13a23a33a43a12a22a32a42a11?a21??,a31??a41??0?0?P1??0??1其中A可逆，則B0100?100101??1?00??,P2???00???0??0001001000?0??,0??1?等于

?1(A)A?1P1P2.(B)P1AP2.

?1?1(C)P1P2A.(D)P2AP1.[]

由于P1是單位矩陣交換第一、四列后所得的初等矩陣，而P2是交換其次、三列后所得的初等矩陣，于是有B?AP2P1，從而

?1?1?1?1?1B?1?(AP?P?P2P1)1P2A1P2A.

故正確選項(xiàng)為(C).

設(shè)E為n階單位矩陣，E(i,j),E(i(k)),E(i,j?i(k))分別是將E交換第i,j兩行、第i行乘以非零的k倍、將第i行的k倍加到第j行上去所得到的初等矩陣，則有

1E(i,j)?1?E(i,j),E(i(k))?1?E(i())，E(i,j?i(k))?1?E(i,j?i(?k)).

k對(duì)于列變換的情形有類似的結(jié)果。

8．設(shè)n階矩陣A與B等價(jià),則必有

(A)當(dāng)|A|?a(a?0)時(shí),|B|?a.(B)當(dāng)|A|?a(a?0)時(shí),|B|??a.

(C)當(dāng)|A|?0時(shí),|B|?0.(D)當(dāng)|A|?0時(shí),|B|?0.[]對(duì)A通過一系列初等變換后得矩陣B,則A,B等價(jià).因此矩陣A與B等價(jià)的充要條件是:r(A)?r(B)或存在可逆矩陣P,Q使得PAQ=B.

由于當(dāng)|A|?0時(shí),r(A)?n,又A與B等價(jià),故r(B)?n,即|B|?0,應(yīng)選(D).

9.設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的?1倍加到第

?110???2列得C，記P??010?，則

?001???（Ａ）C?PAP.（Ｂ）C?PAP.

?1?1（Ｃ）C?PAP.（Ｄ）C?PAP.由題設(shè)可得

TT?110??1?10??110??1?10?????????B??010?A,C?B?010???010?A?010?，

?001??001??001??001??????????1?10????1?1而P??010?，則有C?PAP.故應(yīng)選（Ｂ）.

?001???10.設(shè)矩陣A=(aij)3?3滿足A?A，其中A是A的伴隨矩陣，A為A的轉(zhuǎn)置矩陣.若a11,a12,a13為三個(gè)相等的正數(shù)，則a11為

*T*T(A)

13.(B)3.(C).(D)

333.[]

題設(shè)與A的伴隨矩陣有關(guān)，一般聯(lián)想到用行列展開定理和相應(yīng)公式：

AA*?A*A?AE..

**由A?A及AA?AA?AE，有aij?Aij,i,j?1,2,3，其中Aij為aij的

*T代數(shù)余子式，且AA?AE?AT2?A?A?0或A?1

23而A?a11A11?a12A12?a13A13?3a11?0，于是A?1，且a11?3.故正確選項(xiàng)3為(A).

涉及伴隨矩陣的問題是?？碱}型，只需注意到兩個(gè)重要思路：一是用行列展開定理，另一是用公式：AA?AA?AE.

11．設(shè)A是m?n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B=AC的秩為r1，則

(A)r?r1．(B)r?r1．(C)r?r1．(D)r與r1的關(guān)系由C而定．

利用左乘或右乘可逆矩陣不改變被乘矩陣的秩即得結(jié)果．

由B=AC知r1?秩(A)?r,又B?AC兩邊同時(shí)右乘C，得A?BC，于是r?秩(B)?r1，從而有r?r1．

?1?1**

12．設(shè)矩陣

?k?1A???1??11k1111k11?1??1??k?且秩(A)=3，則k=.

由A的秩為3知，A的行列式一定為零，從而可解出參數(shù)k.不過應(yīng)當(dāng)注意的是若由A?0得到的參數(shù)不唯一，則應(yīng)將參數(shù)代回去進(jìn)行檢驗(yàn)，以便確定哪一個(gè)為正確答案，由于使得A?0只是必要條件而非充分條件。

由題設(shè)秩(A)