河南省城鎮(zhèn)體系空間結(jié)構(gòu)的多分形特征及其與水系的分維關(guān)系

河南省城鎮(zhèn)體系空間結(jié)構(gòu)的多分形特征及其與水系的分維關(guān)系

在國(guó)外科學(xué)家研究城市分隔結(jié)構(gòu)和形狀的過(guò)程中，中國(guó)地理工作者對(duì)城市體系進(jìn)行了更多的微分理論探討。但是,城市體系作為復(fù)雜的地理系統(tǒng),僅用簡(jiǎn)單分形進(jìn)行描述是不夠的——許多重要的地理信息不能得到有效反映,如果能夠證明城市體系具有多分形(multi-fractals)特征,則可以借助多分維譜刻畫其空間復(fù)雜性。在研究城市等級(jí)體系分形性質(zhì)的時(shí)候,我們發(fā)現(xiàn),城市的位序-規(guī)模分布在一定時(shí)空條件下可能發(fā)育多重分形結(jié)構(gòu)?？紤]到城市等級(jí)體系與空間結(jié)構(gòu)的數(shù)理關(guān)系,自然可推斷:城市體系的空間結(jié)構(gòu)在一定條件下也會(huì)具有多分形特征。另一方面,早在1960年就有人發(fā)現(xiàn)中心地與河流具有相似的結(jié)構(gòu);進(jìn)一步研究表明,水系構(gòu)成與城市體系的等級(jí)結(jié)構(gòu)具有完全相同的數(shù)學(xué)模型。這就啟發(fā)另一個(gè)推斷,城市體系空間結(jié)構(gòu)與水系存在一定的分維關(guān)系。多分形測(cè)度探討的是幾何支體(geometricsupport)上某種量的分布,其支體可以是普通平面、立體或球面乃至分形體自身。多分形與簡(jiǎn)單分形的主要區(qū)別在于標(biāo)度性質(zhì)與方向有關(guān)。地理現(xiàn)象絕大多數(shù)是非均勻和各向異性的,用簡(jiǎn)單分形描述只能反映平均性質(zhì),而無(wú)法揭示系統(tǒng)的全部數(shù)理特征。采用多分形測(cè)度或者維數(shù)的連續(xù)譜,不僅可以較全面的反映地理系統(tǒng)的空間復(fù)雜性,而且可以了解系統(tǒng)的發(fā)育歷史和進(jìn)化程度。為了驗(yàn)證上述理論推想,本文將以河南省為研究區(qū),探討城市體系空間結(jié)構(gòu)的多分維特征。河南省的城市發(fā)育歷史悠久,城市空間分布蘊(yùn)涵大量的時(shí)空信息,揭示這些信息對(duì)我們發(fā)展地理學(xué)理論具有重要意義,也對(duì)河南省的城市體系優(yōu)化具有現(xiàn)實(shí)的實(shí)踐價(jià)值。1理論和方法1.1多分形的廣義維dq首先從分形思想出發(fā)給出刻畫城市體系空間結(jié)構(gòu)的多分形模型?？紤]在d=2維的歐式空間中,城市呈現(xiàn)某種概率分布,可將區(qū)域空間劃分成邊長(zhǎng)為r的2維網(wǎng)格,假定城市群點(diǎn)(population)進(jìn)入每個(gè)網(wǎng)格中的概率為Pi,則對(duì)于任意的正數(shù)q(q≠1),從Renyi信息熵出發(fā),可定義城市空間分布的q階信息量為Iq(r)=11?qlog∑Piq(1)Ιq(r)=11-qlog∑Ρiq(1)如果泛函方程Iq(λr)∝λ-σIq(r)成立(這里λ為尺度比,σ為標(biāo)度指數(shù)),則城市體系的空間結(jié)構(gòu)是自相似的,從而Iq(r)∝r?σ(2)Ιq(r)∝r-σ(2)令σ=Dq,則可得廣義維數(shù)表達(dá)式為Dq=limr→0Iq(r)log(1/r)(3)Dq=limr→0Ιq(r)log(1/r)(3)可以證明,當(dāng)q=0時(shí),Dq=D0為容量維,即Hausdorff維數(shù);當(dāng)q=1時(shí),Dq=D1為信息維;當(dāng)q=2時(shí),Dq=D2為關(guān)聯(lián)維。在理論上,q可取任意實(shí)數(shù),即有q∈(-∞,+∞),這樣,由式(3)便可得到所謂的多分維譜。然后借助關(guān)系τ(q)=Dq(1?q)(4)τ(q)=Dq(1-q)(4)可以結(jié)算多分形的質(zhì)量指數(shù)τ(q)。廣義維Dq和q階矩的標(biāo)度指數(shù)τ(q)是我們刻畫城市體系多重分形的第一套參量,它們可以從整體上描述多重分形結(jié)構(gòu),但不能反映系統(tǒng)的局部特征。為了描述多重分形體的細(xì)節(jié)變化,有必要引入另外一套參量,即非均勻標(biāo)度指數(shù)即Lipschitz-H?lder指數(shù)α(q)及其維數(shù)分布函數(shù)f(α),這些參數(shù)可以由Legendre變換給出α(q)=?dτ(q)dq=ddq[(q?1)Dq](5)f[α(q)]=qα(q)+τ(q)=qα(q)+(1?q)Dq(6)α(q)=-dτ(q)dq=ddq[(q-1)Dq](5)f[α(q)]=qα(q)+τ(q)=qα(q)+(1-q)Dq(6)式(5)、式(6)是我們刻畫城市體系多重分形的第二套參量。為了研究方便,將城鎮(zhèn)體系視為dE=2維的歐氏空間中的群點(diǎn)集合,其拓?fù)渚S數(shù)dT=0,可以想見(jiàn),如果它們是多分形,則其多分維譜Dq必然變化于0～2之間,即有D-∞≤2,D+∞≥0;相應(yīng)地,奇異譜f(α)變化于0～D0之間。分維D的大小反映系統(tǒng)要素分布的均衡程度,D值越大城鎮(zhèn)分布越均勻;反之則分布越集中。改變矩的階次q,從某種意義上講,相當(dāng)于改變城鎮(zhèn)系統(tǒng)的分辨率:q值增大,相應(yīng)的分辨率也隨之增大,從而系統(tǒng)的不均勻性顯示得更為清晰。另一方面,D-∞對(duì)應(yīng)于α(q)的最大值,表征城鎮(zhèn)體系測(cè)度最為分散的區(qū)域;D+∞對(duì)應(yīng)于α(q)的最小值,表征城鎮(zhèn)體系測(cè)度最為集中的區(qū)域。借助多分形的宏觀描述參量Dq、τ(q)和微觀刻畫參量α(q)、f(α)以及Legendre變換關(guān)系可對(duì)城鎮(zhèn)體系空間結(jié)構(gòu)的分形特征進(jìn)行從整體到細(xì)節(jié)的精致分析。1.2城市體系與城市水系有同一點(diǎn)或無(wú)約由于地形、水系等都具有分形性質(zhì),城鎮(zhèn)體系可被看作分形支體上的復(fù)合分形,其空間結(jié)構(gòu)在一定時(shí)空范圍內(nèi)可能發(fā)育出多重分形結(jié)構(gòu)。城市體系與水系的關(guān)系本質(zhì)上是一種人地關(guān)系,建立城市—水系關(guān)系的理論和現(xiàn)實(shí)依據(jù)如下:第一,從發(fā)生學(xué)的角度看來(lái),絕大多數(shù)城市都不是短期內(nèi)暴發(fā)形成的,它們的漫長(zhǎng)發(fā)育歷程通常與水資源的空間分布具有內(nèi)在聯(lián)系。第二,從現(xiàn)實(shí)狀況看,即便是沒(méi)有多少文化知識(shí)的農(nóng)民也具有這樣一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性常識(shí):城市的發(fā)展離不開(kāi)河流或湖泊,否則就不可能有良好的發(fā)展前景。第三,從現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的理論規(guī)律看來(lái),中心地和城市體系都與水系具有相同的數(shù)學(xué)模型。如果說(shuō)城市體系與水系之間不存在某種關(guān)系,這種數(shù)理規(guī)律就很難解釋?，F(xiàn)在我們感興趣的是城市體系與分形支體的關(guān)系。由于分形城市體系的支體是一個(gè)外延較廣的概念,本文將集中討論城市與水系的聯(lián)系。綜觀世界城市分布,城市發(fā)展必然依賴某種水源,江河是城市寄托的主要水體。正因?yàn)槿绱?水系才與城市體系具有相似的中心地結(jié)構(gòu)。現(xiàn)已證明,城市等級(jí)體系與水系分形具有相同的數(shù)學(xué)模型,本文將給出城市體系與水系空間結(jié)構(gòu)的分維關(guān)系。由于城市依賴于水系,而水系并不依賴于城市,假定用同一套網(wǎng)格對(duì)區(qū)域城市和水系進(jìn)行標(biāo)度測(cè)量,必然有Nu(r)≤Ns(r)(7)Νu(r)≤Νs(r)(7)式中,Nu(r)為在尺度r下的城鎮(zhèn)占據(jù)的網(wǎng)格數(shù)目,Ns(r)為同一尺度下水系占據(jù)的網(wǎng)格數(shù)目。上式的地理意義是城市與水系的不對(duì)稱關(guān)系:有城市的地方或大或小都會(huì)具有某種河流支持,但有河流的地方未必有城市。根據(jù)Hausdorff維數(shù)公式可知Du=?logNu(r)logr≤Ds=logNs(r)logr(8)Du=-logΝu(r)logr≤Ds=logΝs(r)logr(8)即原則上要求城市體系的分維不得大于水系的分維,這個(gè)概念對(duì)發(fā)展人地關(guān)系理論和建設(shè)城市體系的空間優(yōu)化方法具有一定的理論意義。式(8)只是一個(gè)理論推論,如果得到實(shí)驗(yàn)支持,則其正確性將被肯定——這個(gè)規(guī)律下文將予以證實(shí)。2計(jì)算方法和結(jié)果2.1基于-權(quán)重法的城市體系空間結(jié)構(gòu)的多分維譜本文將以河南省城鎮(zhèn)體系為實(shí)證對(duì)象,研究區(qū)的范圍限于河南境內(nèi),城市等級(jí)的門檻以縣級(jí)城鎮(zhèn)為界。從理論上講,由于分形體的自相似性,研究區(qū)范圍沒(méi)有嚴(yán)格的規(guī)定。但是,從可測(cè)性的角度看,研究區(qū)范圍不宜太大,太大容易受到地圖投影變形的較大影響,以致計(jì)算結(jié)果的可比性降低;研究范圍也不能太小,太小則分析樣本不足,系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律難以體現(xiàn)。另一方面,由于城市規(guī)模分布的無(wú)標(biāo)度性,城市等級(jí)體系的下界可以根據(jù)研究目標(biāo)確定。想象地圖信息資料的分辨率(比例尺),本文將取縣級(jí)城鎮(zhèn)為規(guī)模(等級(jí))分界的下限。這樣,研究區(qū)范圍內(nèi)共有128個(gè)城鎮(zhèn),即取N=128(包括鄭州市的某些遠(yuǎn)離中心市的“區(qū)”在內(nèi))。如果直接采用第1節(jié)的有關(guān)方程計(jì)算城市體系空間結(jié)構(gòu)的多分維譜非常麻煩,為了簡(jiǎn)明起見(jiàn),我們引用μ-權(quán)重法計(jì)算Lipschitz-H?lder指數(shù)α(q)及其支集的分維f(α);進(jìn)而通過(guò)Legendre變換求出q階矩質(zhì)量指數(shù)τ(q)和廣義維數(shù)Dq。2.2信息維數(shù)計(jì)算法首先借助地圖信息資料提取河南省城市分布的空間數(shù)據(jù)。選擇一個(gè)合適的矩形覆蓋研究區(qū)內(nèi)的城市,矩形的范圍分別以河南省域的東、西、南、北的極點(diǎn)為限。將矩形區(qū)的各邊分成k等份,則其化為k2個(gè)矩形子區(qū),每個(gè)子區(qū)的邊長(zhǎng)可以表作r=1/k。首先統(tǒng)計(jì)包含城鎮(zhèn)的網(wǎng)格數(shù),記為N(k)或N(r);再統(tǒng)計(jì)每個(gè)子區(qū)出現(xiàn)的城鎮(zhèn)數(shù)目,記為Nij(k)或Nij(r),這里i、j表示子區(qū)所在的行、列編號(hào)(i、j=1,2,…,k)。按二倍數(shù)改變k值,即取等比數(shù)列k=2n,這里n=0,1,2,…(n的上限以Nij(k)≡1為判據(jù)),可得到不同的N(k)或N(r)?；趉值分析和r值計(jì)算,分維數(shù)值完全一樣,為簡(jiǎn)明起見(jiàn),本文借助點(diǎn)列[k,N(k)]計(jì)算維數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明,對(duì)于本例而言,當(dāng)n=7時(shí),Nij(k)=1,這意味著n的上限為7?？臻g數(shù)據(jù)的提取結(jié)果列于表1。根據(jù)表1中的數(shù)據(jù),首先計(jì)算容量維D0和信息維D1,以確定系統(tǒng)是否具有多分形性態(tài)。將點(diǎn)列[k,N(k)]標(biāo)繪于log-log坐標(biāo)圖中(取以2底的對(duì)數(shù)),發(fā)現(xiàn)點(diǎn)列分布具有局部對(duì)數(shù)線性性質(zhì),即有無(wú)標(biāo)度區(qū)的出現(xiàn),無(wú)標(biāo)度區(qū)的范圍為k=21～24,其直線段的斜率便是容量維(圖1)。為精確起見(jiàn),可采用最小二乘技術(shù)計(jì)算維數(shù)。式(1)中,令q=0,可得Iq(r)=logN(r),式(2)化為D0∝logN(r)log(1/r)=logN(k)logk(9)D0∝logΝ(r)log(1/r)=logΝ(k)logk(9)利用上式對(duì)無(wú)標(biāo)度區(qū)內(nèi)的點(diǎn)列進(jìn)行回歸運(yùn)算,得到D0=1.509,測(cè)定系數(shù)R2=0.993。采用相似的方法,可以計(jì)算信息維數(shù)。在式(1)中,令q=1,借助l′Hospital法則可將Renyi熵化作Shannon信息量公式。根據(jù)本文的情況再令Pij(k)=Nij(k)/N(注意這N=128為樣本總數(shù)),可將信息量表作I(r)=?∑ik∑jkPij(r)logPij(r)(10)Ι(r)=-∑ik∑jkΡij(r)logΡij(r)(10)式中雙求和只須對(duì)Pij≠0的小矩形區(qū)進(jìn)行。改變k,可得不同的Pij(k)或Pij(r)值,從而得到不同I(r)值(表1)。將點(diǎn)列[log2(l/r),I(r)]繪成坐標(biāo)圖,發(fā)現(xiàn)曲線中存在無(wú)標(biāo)度區(qū)間,區(qū)間內(nèi)直線段的斜率便是信息維(圖1)。計(jì)算結(jié)果為D1=1.503測(cè)定系數(shù)R2=0.998。計(jì)算結(jié)果顯示,河南省城市體系雖然發(fā)育了明確的分形結(jié)構(gòu),但容量維與信息維的數(shù)值沒(méi)有顯著差異,即D0≈D1。因此,在圖1所示的標(biāo)度區(qū)范圍內(nèi),河南省城市體系的空間結(jié)構(gòu)尚未發(fā)育多重分形,只具備簡(jiǎn)單分形特征。然而,根據(jù)城市等級(jí)體系的研究經(jīng)驗(yàn),地理分形是演化的分形,多分形是在簡(jiǎn)單分形的基礎(chǔ)上進(jìn)化而來(lái)的。因此,多分形發(fā)育的無(wú)標(biāo)度區(qū)可能較之與簡(jiǎn)單分形更為狹窄。為了驗(yàn)證這一猜想,我們縮小無(wú)標(biāo)度區(qū)的范圍至k=21～23,這時(shí)計(jì)算的容量維為D0=1.642,信息維為D1=1.552。顯然D0與D1具有明顯差異。借助μ-權(quán)重法不難算出奇異性指數(shù)α(q)及其分維分布參數(shù)f(α);然后利用Legendre變換容易得到質(zhì)量指數(shù)τ(q);至于廣義維數(shù)Dq,既可以通過(guò)式(1)～(3)直接計(jì)算,也可以運(yùn)用Legendre變換在α(q)和f(α)值的基礎(chǔ)上間接求取(表2)。3關(guān)于問(wèn)題的討論3.1對(duì)多分形結(jié)構(gòu)的對(duì)稱破缺分維測(cè)算結(jié)果表明,在較大的標(biāo)度范圍內(nèi)(r=2-1～2-4,包含15個(gè)等差序列點(diǎn)),河南省城鎮(zhèn)體系是一種簡(jiǎn)單的分形系統(tǒng);但是,在較小的標(biāo)度范圍內(nèi)(r=2-1～2-3,包含7個(gè)等差序列點(diǎn)),河南省城市體系具有奇異性質(zhì),已經(jīng)在一定程度上發(fā)育了復(fù)雜分形結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單分形的標(biāo)度范圍遠(yuǎn)較多重分形寬闊這一事實(shí)暗示:城市體系空間結(jié)構(gòu)的單分形演化先于多分形的發(fā)育,而多重分形是在簡(jiǎn)單分形的基礎(chǔ)上發(fā)育出來(lái)的,這個(gè)發(fā)現(xiàn)與關(guān)于城市體系等級(jí)結(jié)構(gòu)的分形研究結(jié)論完全一致。最為引人注目的現(xiàn)象是河南省城市體系的多分維和奇異譜,有關(guān)計(jì)算結(jié)果給出來(lái)大量關(guān)于河南城市演化的時(shí)空信息。從圖2、圖3等可以看到,城市體系空間結(jié)構(gòu)的多分維譜已經(jīng)形成較為優(yōu)美的對(duì)稱圖式,但當(dāng)矩的階次達(dá)到一定臨界尺度以后發(fā)生了明顯的對(duì)稱破缺。從表2、圖2和圖3可見(jiàn),對(duì)稱破缺的q臨界值為qc=3,當(dāng)q<-3時(shí),刻畫多分維的許多參量不能收斂。具體說(shuō)來(lái),主要問(wèn)題如下:第一,多分維譜的數(shù)值理當(dāng)介于1～2之間,但是,當(dāng)q≤-6時(shí),Dq>2,即多分維“溢出”了分形嵌入空間(表2,圖2a);第二,Lipschitz-H?lder指數(shù)α(q)曲線理應(yīng)單減,但是,當(dāng)q<-3時(shí),曲線失去了單調(diào)性,從而奇對(duì)稱性質(zhì)也遭到一定程度的破壞(圖2c)。第三,標(biāo)度指數(shù)α(q)支集的分維f[α(q)]形成的奇異譜線在q<-3時(shí)破壞了偶對(duì)稱規(guī)則(圖2d)。第四,f[α(q)]隨α(q)變化的單峰曲線在q<-3時(shí)也失去了對(duì)稱規(guī)則,呈現(xiàn)不正常的向上揚(yáng)起(圖3)?？傊?當(dāng)q<-3時(shí),刻畫多分維的參量數(shù)值大多發(fā)生了畸變。撇開(kāi)數(shù)值,僅從圖2a-b似乎看不出什么問(wèn)題,但圖2c-d和圖3揭示的多分形結(jié)構(gòu)對(duì)稱破缺顯而易見(jiàn)。將Lipschitz-H?lder指數(shù)α(q)及其支集的維數(shù)f(α)隨q變化的曲線與理論推論比較,可以明顯地看出系統(tǒng)在參數(shù)q∈(-∞,-3)時(shí)出現(xiàn)異常。這種現(xiàn)象有兩種可能的解釋:一是河南省城市體系的多分形發(fā)育不夠成熟,二是分形結(jié)構(gòu)發(fā)生某種程度的退化。我們的判斷是:河南省城市體系的分形結(jié)構(gòu)目前尚且不夠進(jìn)化,隨著城市系統(tǒng)的自組織演化,多分形結(jié)構(gòu)的對(duì)稱規(guī)律必將得以重建。河南省城市體系空間結(jié)構(gòu)的多分形在q<0時(shí)發(fā)生對(duì)稱破缺,而在q>0時(shí)一切正常,其地理意義值得探討。如前所述,D-∞對(duì)應(yīng)于分形測(cè)度最分散的區(qū)域,據(jù)表2、圖2及圖3可以想見(jiàn),在研究區(qū)內(nèi)的城鎮(zhèn)聚集地帶,系統(tǒng)的分形結(jié)構(gòu)發(fā)育;在遠(yuǎn)離聚集區(qū)的地帶,分形結(jié)構(gòu)不夠健全;在歷史悠久的城市化區(qū)域,城市體系分形結(jié)構(gòu)發(fā)育,在演化歷史較短的區(qū)域,城市體系分形不夠健全。由于中原地區(qū)的城鎮(zhèn)在歷史上是以開(kāi)封和洛陽(yáng)為核心向周圍擴(kuò)散發(fā)育的,盡管今天鄭州是區(qū)域的核心,但從分形幾何的角度看來(lái),它仍不在地域的中心地位。在這里可以看到城市體系分形發(fā)育的時(shí)空對(duì)應(yīng)關(guān)系:城市演化歷史悠久的區(qū)域也是分形測(cè)度集中的區(qū)域,分形測(cè)定分散的區(qū)域?qū)崉t城市發(fā)育歷史較短的區(qū)域。從理論上講,多分維譜的標(biāo)度斷裂可能意味著城鎮(zhèn)體系時(shí)空演化的某種相變,但有關(guān)機(jī)制有待深入探討。我們感興趣的是:城市體系的分形結(jié)構(gòu)不僅與演化歷史有關(guān),還應(yīng)該與分形支體有關(guān),城市與環(huán)境的關(guān)系是我們下一步將要討論的主題。3.2關(guān)于城市體系多分維的預(yù)測(cè)前面提到,城鎮(zhèn)體系是發(fā)育在地形、水系等分形支體上的多重分形,其空間結(jié)構(gòu)與自然環(huán)境理當(dāng)相關(guān):“自然地理?xiàng)l件如地質(zhì)地貌、氣候水文、土壤,植被首先作為人類生存環(huán)境通過(guò)影響人口分布而影響城市的形成發(fā)展。”在城市與環(huán)境的眾多關(guān)系特征之中,臨水性是城市分布的普遍規(guī)律。也許有人會(huì)提出異議:“如果說(shuō)在區(qū)域發(fā)展水平很低的階段,城鎮(zhèn)的分布受自然條件控制比較大的話,目前城市特別是新城市的形成與發(fā)展應(yīng)該說(shuō)受經(jīng)濟(jì)與社會(huì)因素影響更大?！蔽覀儾⒉环磳?duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)因素對(duì)城市形成與發(fā)展的巨大影響,但不能因此而否定水系對(duì)現(xiàn)代城市體系擴(kuò)展的關(guān)鍵性作用,巴西北部地區(qū)的城市化進(jìn)程就是最好的例證。由于經(jīng)濟(jì)的全球化效應(yīng),從1950年代開(kāi)始,巴西北部的亞馬孫(Amazon)河流域城市化進(jìn)程加快;到1991年的時(shí)候,城市化水平由1960年的30%左右上升到60%上下,5000居民以上的城鎮(zhèn)也由1960年22所驟增到133所。令人驚訝的是,考察這些城鎮(zhèn)可以發(fā)現(xiàn),這30年間新增的100多座城鎮(zhèn)主要是沿著亞馬孫水系從沿海向內(nèi)陸擴(kuò)展開(kāi)來(lái)的。巴西的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平當(dāng)然不是太低,至少不低于本文的研究區(qū)——中國(guó)河南。其實(shí),中國(guó)著名經(jīng)濟(jì)地理學(xué)家陸大道先生在創(chuàng)立社會(huì)經(jīng)濟(jì)點(diǎn)-軸系統(tǒng)理論的時(shí)候就曾發(fā)現(xiàn),海岸、江河和交通道路是軸帶發(fā)育的重要依托,而軸帶實(shí)則城市體系空間發(fā)育的能量集散廊道。河流通常具有交通和供水雙重職能,至少具備其中之一。在中國(guó)北部城市普遍缺水的今天,無(wú)視水系的巨大作用是不符合城市化過(guò)程的成本-效益原則的。現(xiàn)已證明,水系構(gòu)成具有分形特征,而城鎮(zhèn)體系與水系具有相似的分形結(jié)構(gòu),二者的空間結(jié)構(gòu)維數(shù)比較接近,水系的分維應(yīng)當(dāng)大于等于相同區(qū)域內(nèi)城鎮(zhèn)體系的維數(shù)。為了驗(yàn)證這一猜想,我們利用計(jì)算城市體系空間結(jié)構(gòu)維數(shù)的網(wǎng)格體系在相同的地圖資料上提取空間數(shù)據(jù),計(jì)算河南省河流分布的分維數(shù)值。結(jié)果得到D0=1.689,R2=0.997(圖4)。顯然,水系的容量維(1.689)大于城市體系的容量維(1.642);如果擴(kuò)大或縮小標(biāo)度范圍,得到的分維數(shù)值將會(huì)更大。計(jì)算結(jié)果與理論判斷完全一致,式(8)表征的數(shù)理關(guān)系得到證實(shí):水系的分維大于城市體系,或者說(shuō)城市體系的分維被水系的分維“包容”——這決不是一種現(xiàn)象,而是一種嚴(yán)格的地理規(guī)則,否則城市體系與自然環(huán)境的關(guān)系不能協(xié)調(diào)。作為支體的主要組成,水系的分形測(cè)度影響城市體系的分形測(cè)度。在水系分形測(cè)度集中的地方,城市體系的分形測(cè)定也將發(fā)育;在水系分形測(cè)定分散的地方,城市體系的分形測(cè)度將會(huì)發(fā)育緩慢。城市體系多分維譜的對(duì)稱破缺可能與水系的構(gòu)成具有一定的動(dòng)力關(guān)系。雖然我們目前不能給出水系與城市體系多分維關(guān)系的嚴(yán)格模型,但至少可以得到如下兩點(diǎn)推論:其一,城市體系的分維不宜高于水系的分維,否則將會(huì)違背空間優(yōu)化原則:一方面一些水資源不能有效利用,而另一方面一些城市將會(huì)水源短缺。其二,由于城市體系的發(fā)展總體上以水系的結(jié)構(gòu)為模范,城市體系多分維的對(duì)稱性將會(huì)逐漸加強(qiáng),直到與水系的多分維譜趨于一致。但是,如果一個(gè)區(qū)域的水系分形測(cè)度對(duì)稱破缺,城市體系的進(jìn)化將不能得到環(huán)境支體的有效支持。因此,城市體系的建設(shè)空間優(yōu)化必須對(duì)河流的分布有所選擇,而不能無(wú)視自然水體的天然格局。從這個(gè)意義上講,大規(guī)模的調(diào)水工程可能勞民傷財(cái)而事倍功半。其三,從演化的角度看來(lái),城市體系的分維呈波動(dòng)上升趨勢(shì),而水系分布的維數(shù)長(zhǎng)期看來(lái)是降低的?？紤]到Shannon信息熵與Hausdorff維數(shù)的等價(jià)性,我們自然聯(lián)想到水系的熵的變化與城市體系的熵的變化的關(guān)系:自然地理系統(tǒng)的熱力學(xué)熵的變化方向與人文地理系統(tǒng)正好相反:在自然地理系統(tǒng)熵增的同時(shí),人文地理系統(tǒng)發(fā)生熵減。在這個(gè)過(guò)程中涉及到自然人文地理系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)移與耗散,也涉及到人地關(guān)系的深刻本質(zhì)。如前所述,人地關(guān)系是不對(duì)稱的:城市依賴于環(huán)境,但環(huán)境并不依賴于城市,盡管城市能夠?qū)Νh(huán)境產(chǎn)生巨大影響。當(dāng)城市不斷將熱力學(xué)熵轉(zhuǎn)移到環(huán)境的時(shí)候,人地關(guān)系或遲或早必將發(fā)生某種相變。協(xié)調(diào)人地關(guān)系,城市與水系的關(guān)系是具體而實(shí)在的研究?jī)?nèi)容。近年來(lái)國(guó)外學(xué)者將城市系統(tǒng)作為復(fù)雜的空間系統(tǒng),借助自組織理論和分形幾何學(xué)方法,基于GIS技術(shù),展開(kāi)了大量的模型實(shí)驗(yàn)和理論探討。如果我們能夠借助集成分析技術(shù),對(duì)城市體系與水系的時(shí)空演化進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn),將會(huì)得到更為引人入勝的研究成果,這方面也是我國(guó)地理學(xué)者今后需要努力的學(xué)術(shù)方向之一。遺憾的是,模擬研究在概念層次沒(méi)有表達(dá)。作為多重分形的內(nèi)核,α-f(α)可與q-τ(q)構(gòu)成共軛熱力學(xué)變量,據(jù)此可以進(jìn)行多分形與熱力學(xué)的類比,這為我們借助多分形理論研究城市與環(huán)境(包括水系)的關(guān)系提供了全新的視角。可以想見(jiàn),未來(lái)