非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法

非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法

0非平穩(wěn)信號(hào)的一般分析方法非穩(wěn)定信號(hào)分析是當(dāng)前信號(hào)分析領(lǐng)域的一個(gè)重要課題。早期對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)幾乎沒(méi)有什么正規(guī)的分析方法。而發(fā)展最早、最成熟的信號(hào)分析方法——傅立葉變換是全局變換,用其分析平穩(wěn)信號(hào)很有效,但用于分析非平穩(wěn)信號(hào)缺乏物理意義。非平穩(wěn)信號(hào)是統(tǒng)計(jì)量(相關(guān)函數(shù)、功率譜等)隨時(shí)間變化的信號(hào),因此時(shí)頻分析方法是分析這類信號(hào)的有效手段。已有的時(shí)頻分析方法很多,目前較典型的有短時(shí)Fourier變換(STFT),Wigner_Ville分布,小波變換(WT)等。盡管這些方法對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析做出了較大的貢獻(xiàn),在工程實(shí)際中也獲得了較廣泛的應(yīng)用,但它們大都還是以傅立葉變換為其最終的理論依據(jù)。傅立葉變換理論中表征信號(hào)交變的基本量是與時(shí)間無(wú)關(guān)的頻率,基本時(shí)域信號(hào)是平穩(wěn)的簡(jiǎn)諧波信號(hào)。這些概念是全局性的,因而用它們分析非平穩(wěn)信號(hào)容易產(chǎn)生虛假信號(hào)和假頻等矛盾現(xiàn)象。對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)比較直觀的分析方法是使用具有局域性的基本量和基本函數(shù)。瞬時(shí)頻率是容易想到的具有局域性的基本量,也是很早就已提出的概念。瞬時(shí)頻率的比較直觀的定義是解析信號(hào)相位的導(dǎo)數(shù),但以往這一定義會(huì)產(chǎn)生一些佯繆的結(jié)果,導(dǎo)致基于瞬時(shí)頻率的時(shí)頻分析方法和理論始終未真正建立和發(fā)展起來(lái)。1996年,美籍華人NordenE.Huang等人在對(duì)瞬時(shí)頻率的概念進(jìn)行了深入研究后,創(chuàng)立了Hilbert_Huang變換(HHT)的新方法。這一方法創(chuàng)造性地提出了固有模態(tài)信號(hào)的新概念以及將任意信號(hào)分解為固有模態(tài)信號(hào)組成的方法——經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法,從而賦予了瞬時(shí)頻率合理的定義、物理意義和求法,初步建立了以瞬時(shí)頻率為表征信號(hào)交變的基本量,以固有模態(tài)信號(hào)為基本時(shí)域信號(hào)的新時(shí)頻分析方法體系。這一方法體系從根本上擺脫了傅立葉變換理論的束縛,能很好地解釋以往將瞬時(shí)頻率定義為解析信號(hào)相位的導(dǎo)數(shù)時(shí)容易產(chǎn)生的一些所謂“悖論”,在實(shí)際應(yīng)用中也業(yè)已表現(xiàn)出了一些獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。但是這一新的方法還處在發(fā)展階段,在建立嚴(yán)密的理論和方法的完善方面還有許多事要做。本文主要對(duì)這一方法做一些理論上的探索和完善。1經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法Hilbert_Huang變換首先假設(shè):任一信號(hào)都是由若干固有模態(tài)信號(hào)(IntrinsicModeSignal,簡(jiǎn)稱IMS)或固有模態(tài)函數(shù)(IntrinsicModeFunction,簡(jiǎn)稱TMF)組成的,任何時(shí)候,一個(gè)信號(hào)都可以包含許多固有模態(tài)信號(hào),如果固有模態(tài)信號(hào)之間相互重疊,便形成復(fù)合信號(hào)。其中固有模態(tài)信號(hào)是滿足以下兩個(gè)條件的信號(hào):(1)整個(gè)數(shù)據(jù)中,零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相等或至多相差1;(2)信號(hào)上任意一點(diǎn),由局部極大值點(diǎn)確定的包絡(luò)線和由局部極小值點(diǎn)確定的包絡(luò)線的均值均為0,即信號(hào)關(guān)于時(shí)間軸局部對(duì)稱。在Hilert_Huang變換中表征信號(hào)交變的基本量不是頻率,而是瞬時(shí)頻率(InstantaneousFrequency,簡(jiǎn)記IF)。瞬時(shí)頻率可以通過(guò)Hilbert變換獲得,即先對(duì)信號(hào)s(t)作Hilbert變換得解析信號(hào)z(t)=s(t)+jH[s(t)]=a(t)ejΦ(t)(1)幅值函數(shù)a(t)=√s2(t)+Η2[s(t)](2)a(t)=s2(t)+H2[s(t)]????????????√(2)和相位函數(shù)Φ(t)=arctanΗ[s(t)]s(t)(3)Φ(t)=arctanH[s(t)]s(t)(3)再對(duì)相位函數(shù)求導(dǎo)即得瞬時(shí)角頻率和瞬時(shí)頻率ω(t)=dΦ(t)dt(4)ω(t)=dΦ(t)dt(4)f(t)=12πdΦ(t)dt(5)f(t)=12πdΦ(t)dt(5)但NordenE.Huang等人分析認(rèn)為,通過(guò)以上過(guò)程求得的瞬時(shí)頻率只對(duì)固有模態(tài)信號(hào)才具物理意義。實(shí)際信號(hào)常常是復(fù)合信號(hào),因此對(duì)實(shí)際信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析時(shí),需要先將信號(hào)分解成IMS的和。為此Hilbert_Huang變換的創(chuàng)立者又提出了一種經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法(theEmpiricalModeDecomposition,簡(jiǎn)稱EMD),這是一種經(jīng)驗(yàn)篩法,其過(guò)程介紹如下:對(duì)任一信號(hào)s(t),首先確定出s(t)上的所有極值點(diǎn),然后將所有極大值點(diǎn)和所有極小值點(diǎn)分別用一條曲線連接起來(lái),使兩條曲線間包含所有的信號(hào)數(shù)據(jù)。將這兩條曲線分別作為s(t)的上、下包絡(luò)線。若上、下包絡(luò)線的平均值記作m,s(t)與m的差記作h,則s(t)-m=h(6)將h視為新的s(t),重復(fù)以上操作,直到當(dāng)h滿足一定的條件(如h變化足夠小)時(shí),記c1=h(7)將c1視為一個(gè)IMF,再作s(t)-c1=r(8)將r視為新的s(t),重復(fù)以上過(guò)程,依次得第二個(gè)IMFc2,第三個(gè)IMFc3,…。當(dāng)cn或r滿足給定的終止條件(如分解出的IMF或殘余函數(shù)r足夠小或r成為單調(diào)函數(shù))時(shí),篩選過(guò)程終止,得分解式s(t)=n∑t=1ci+r(9)其中,r稱為殘余函數(shù),代表信號(hào)的平均趨勢(shì)。對(duì)式(9)中的每個(gè)IMF分別作Hilbert變換后得s(t)=Ren∑i=1ai(t)ejΦi(t)=Ren∑i=1ai(t)ej∫ωi(t)dt(10)這里省略了殘余函數(shù)r,Re表示取實(shí)部。稱展開(kāi)式(10)為Hilbert幅值譜,簡(jiǎn)稱Hilbert譜,記作H(ω,t)=Ren∑i=1ai(t)ej∫ωi(t)dt(11)進(jìn)一步可以定義邊際譜h(ω)=∫∞-∞H(ω,t)dt(12)以上的EMD和與之相應(yīng)的Hilbert譜信號(hào)分析方法統(tǒng)稱為Hilbert_Huang變換。展開(kāi)式(10)中,每個(gè)組成成分的幅值和相位是隨時(shí)間可變的,而同樣信號(hào)s(t)的Fourier變換展開(kāi)式為s(t)=Re∞∑i=1aiejωit(13)其中ai,ωi為常數(shù)。因此Hilbert_Huang變換可以看作是Fourier變換的一般化,其創(chuàng)新主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:創(chuàng)造性地提出了固有模態(tài)信號(hào)(IMS)的概念;創(chuàng)造性地提出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法(EMD)。目前Hilbert_Huang變換已在海洋、地震、生物工程、橋梁健康監(jiān)測(cè)等實(shí)際應(yīng)用中顯示出了獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。但這一方法提出的時(shí)間還不長(zhǎng),在理論的建立和方法的完善等方面還有待繼續(xù)深入研究。例如,固有模態(tài)信號(hào)的描述性定義有待提出具體的數(shù)學(xué)模型;通過(guò)極值點(diǎn)擬合固有模態(tài)信號(hào)包絡(luò)線的合理性有待進(jìn)一步論證;將任意信號(hào)分解成IMS組合的EMD方法有待理論論證和進(jìn)一步完善或?qū)ふ倚碌姆纸夥椒āＡ硗?在算法中,邊界處理也是需要解決的一個(gè)重要問(wèn)題。以下介紹作者在Hilbert_Huang變換的研究中所做的一些理論探索工作。2角速度t和st轉(zhuǎn)換規(guī)則NordenE.Huang等人創(chuàng)造性地提出了固有模態(tài)信號(hào)的概念,但對(duì)這一概念的定義迄今仍是描述性的。為建立固有模態(tài)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型,本文作者作了如下探索。由式(1)—(3)容易得到,IMS可用以下數(shù)學(xué)形式表示c(t)=a(t)cosΦ(t)(14)但并非任何形如a(t)cosΦ(t)的信號(hào)都是IMS。本文指出,形如a(t)cosΦ(t)的信號(hào)成為IMS必須滿足一定的數(shù)學(xué)條件。以下用振動(dòng)模型對(duì)此進(jìn)行說(shuō)明。在振動(dòng)理論中,頻率是一個(gè)表征信號(hào)交變的基本變量,它是指單位時(shí)間內(nèi)物體往復(fù)振動(dòng)(或位移交變)的次數(shù)。如圖1(a)所示,當(dāng)物體以角速度ω沿半徑為a0的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),物體在直徑上的投影P的運(yùn)動(dòng)是一簡(jiǎn)諧振動(dòng),其位移為s(t)=a0cos?(t)=a0cosωt(15)當(dāng)時(shí)間t經(jīng)過(guò)2π/ω個(gè)單位以后,P往復(fù)振動(dòng)一次,于是P的頻率f=1/(2π/ω)=ω/2π(Hz)。顯然,當(dāng)角速度ω越大,P往復(fù)振動(dòng)越快,頻率f越大。反之,當(dāng)f越大時(shí),也必然要求ω越大。因此“頻率”本質(zhì)上可以理解為一個(gè)表示往復(fù)振動(dòng)快慢的物理量,即瞬時(shí)頻率。以上振動(dòng)中,角速度ω和半徑a0均為常數(shù),這樣形成的信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào),其瞬時(shí)頻率處處相等。但實(shí)際中物體繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的半徑往往不為常數(shù),運(yùn)動(dòng)的角速度也不均勻,如圖1(b)所示。于是投影P的表達(dá)式變?yōu)閟(t)=a(t)cosΦ(t)(16)這樣形成的信號(hào)是非平穩(wěn)信號(hào),其中決定投影P振動(dòng)快慢的量仍然是角速度,因此式(5)表示了信號(hào)s(t)=a(t)cosΦ(t)的瞬時(shí)頻率,即信號(hào)交變快慢的局部特性。顯然這時(shí)的瞬時(shí)頻率是時(shí)變的。式(16)與式(5)體現(xiàn)了非平穩(wěn)信號(hào)隨時(shí)間變化的根本特征,因而是分析非平穩(wěn)信號(hào)的基礎(chǔ)。但由圖1可以直觀得出,欲使式(5)能始終表示信號(hào)s(t)=a(t)cosΦ(t)的交變特征,調(diào)幅信號(hào)a(t)相對(duì)于被調(diào)制信號(hào)cosΦ(t)應(yīng)為緩變信號(hào),其取值不應(yīng)影響cosΦ(t)的單調(diào)性,即s(t)與cosΦ(t)應(yīng)具有同向單調(diào)性,亦即s′(t)(cosΦ(t))′≥0(17)否則s(t)的交變性將與cosΦ(t)的交變性不一致,這樣就不能再用式(5)定義s(t)的瞬時(shí)頻率,即不能再用cosΦ(t)的交變性表征s(t)的交變性。如圖2所示,(a)為信號(hào)cosΦ(t)的振動(dòng)模型,(b)和(c)均為經(jīng)信號(hào)a(t)調(diào)制后的信號(hào)s(t)=a(t)cosΦ(t)的振動(dòng)模型,圖2表示,當(dāng)a(t)為滿足式(17)的緩變信號(hào)時(shí),s(t)與cosΦ(t)具有同向單調(diào)性,從而s(t)與cosΦ(t)的交變性一致,當(dāng)a(t)為不滿足式(17)的非緩變信號(hào)時(shí),s(t)與cosΦ(t)不具有同向單調(diào)性,從而s(t)與cosΦ(t)的交變性不一致,因此,欲用式(5)能計(jì)算信號(hào)s(t)=a(t)cosΦ(t)的瞬時(shí)頻率,s(t)與cosΦ(t)應(yīng)滿足式(17)的關(guān)系式。式(16)可用式(14)代替,因而式(17)給出了固有模態(tài)信號(hào)應(yīng)滿足的一個(gè)重要數(shù)學(xué)條件。稱式(14)中的cosΦ(t)為固有模態(tài)信號(hào)的本征信號(hào)。由條件(17)可以導(dǎo)出一個(gè)重要結(jié)論:固有模態(tài)信號(hào)與其本征信號(hào)具有相同的極點(diǎn)和零點(diǎn)。對(duì)固有模態(tài)信號(hào),其瞬時(shí)頻率顯然應(yīng)是非負(fù)的,因此由式(5)得Φ′(t)≥0,而調(diào)制信號(hào)a(t)>0也是必須的,由此本文給出固有模態(tài)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型:當(dāng)式(14)滿足條件(1)a(t)>0;(2)Φ′(t)≥0,即Φ(t)單調(diào)上升;(3)s(t)′(cosΦ(t))′≥0,即c(t)與cosΦ(t)具有同向單調(diào)性時(shí),稱信號(hào)c(t)為固有模態(tài)信號(hào)。以后稱條件(3)為固有模態(tài)信號(hào)的本征條件。3不同頻率的at對(duì)信號(hào)相干合成的影響基于以上提出的固有模態(tài)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型,可以研究固有模態(tài)信號(hào)局部對(duì)稱性要求的必要性和用極值點(diǎn)擬合固有模態(tài)信號(hào)包絡(luò)線的合理性。首先研究是否存在不為常值的正值函數(shù)a(t)滿足固有模態(tài)信號(hào)的本征條件?？疾煨盘?hào)C(t)=a(t)cost(18)易得C′(t)(cost)′=a(t)sin2t-12a′(t)sin2t(19)因?yàn)閍(t)sin2t≥0?12sin2t是有界的,因此,對(duì)?t,存在足夠小但不一定為零的a′(t)使得C′(t)(cost)′≥0。即對(duì)式(19)存在a(t)≠常數(shù),使C′(t)(cost)′≥0(20)雖然欲使式(18)滿足條件式(20),不要求a(t)為常數(shù),但a′(t)仍需受到一定限制。為研究方便,不妨令a(t)=cos(t/d)+4,則a′(t)=-1dsin(t/d),顯然|a′(t)|越小,即a(t)頻率(或瞬時(shí)頻率)12πd越低,式(20)越易得到滿足。另一方面,圖3示出了不同頻率的a(t)對(duì)信號(hào)C(t)=a(t)cost對(duì)稱性的影響,其中圖3(c)、(f)、(i)分別是對(duì)圖3(b)、(e)、(h)圓圈內(nèi)圖形的放大,以觀察C(t)與其Hilbert變換包絡(luò)線的交點(diǎn)和相鄰極值點(diǎn)間的位置差。由圖3(a)、(d)、(g)可以看出:隨著d的增大,信號(hào)C(t)=a(t)cos(t)=[cos(t/d)+4]cost關(guān)于時(shí)間軸的對(duì)稱性越來(lái)越明顯,同時(shí),由圖3(b)、(c)、(e)、(f)、(h)、(i)可知,由Hilbert變換求得的C(t)的包絡(luò)線(即a(t))與C(t)的交點(diǎn)越來(lái)越接近。事實(shí)上,由C(t)=a(t)cosΦ(t)知,當(dāng)cosΦ(t)=1時(shí),C(t)=a(t),當(dāng)cosΦ(t)=-1時(shí),C(t)=-a(t),因此C(t)的局部對(duì)稱性主要體現(xiàn)在cosΦ(t)的極值點(diǎn)時(shí)刻,C(t)的上包絡(luò)線可以通過(guò)其上使cosΦ(t)=1的時(shí)刻對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擬合得出,同理C(t)的下包絡(luò)線可以通過(guò)其上使cosΦ(t)=-1的時(shí)刻對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擬合得出(根據(jù)上一節(jié)的結(jié)論,若C(t)滿足條件固有模態(tài)信號(hào)的本征條件,則cosΦ(t)=1時(shí)刻對(duì)應(yīng)的點(diǎn)正是C(t)的極大值點(diǎn),cosΦ(t)=-1時(shí)刻對(duì)應(yīng)的點(diǎn)正是C(t)的極小值點(diǎn))。顯然,當(dāng)a(t)相對(duì)于cosΦ(t)的頻率較小時(shí),這種擬合性較好。雖然由圖3(b)、(e)、(h)的Hilbert變換包絡(luò)線觀察,似乎也可以認(rèn)為這三個(gè)信號(hào)關(guān)于時(shí)間軸呈對(duì)稱性,但當(dāng)d=2.0[圖3(b)]時(shí)C′(t)(cost)′=-[(cost2+4)cost]′sint=(12sint2cost+(cost2+4)sint)sint=12sint2[2cos2t2-1+4(cost2+4)cost2]sint=sin2t2[2cos2t2-1+4(cost2+4)cost2]cost2=sin2t2(6cos2t2+16cost2-1)cost2令cost2=0.04,則6cos2t2+16cost2-1=-0.350,于是由式(21)得C′(t)(cost)′<0,因而式(20)不成立。而由式(19),當(dāng)d越大時(shí),(20)越易成立。綜上所述,固有模態(tài)信號(hào)的局部對(duì)稱性要求一方面使得其包絡(luò)線a(t)與其本身的交點(diǎn)較接近,因而可以通過(guò)固有模態(tài)信號(hào)的極值點(diǎn)擬合其包絡(luò)線,另一方面使得其滿足固有模態(tài)信號(hào)的本征條件,再一方面也保證用Hilbert變換能求出其相位函數(shù),進(jìn)而求出瞬時(shí)頻率,因?yàn)榇嬖谙率鼋Y(jié)論:當(dāng)A(f)=F{a(t)}完全位于區(qū)間|f|<f0內(nèi),而F{cosΦ(t)}位于區(qū)間|f|<f0之外時(shí),H[a(t)cosΦ(t)]=a(t)sinΦ(t)。其中f0的含義是使[-f0,f0]包含a(t)頻率范圍的一個(gè)數(shù),H=[a(t)cosΦ(t)]是a(t)cosΦ(t)的Hilbert變換。由此論證了固有模態(tài)信號(hào)局部對(duì)稱性要求和用極值點(diǎn)擬合固有模態(tài)信號(hào)包絡(luò)線的合理性。4經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解emd的基本原理設(shè)c(t)=a(t)cosΦ(t)為一IMF,則cosΦ(t)=c(t)a(t)(22)-Φ′(t)sinΦ(t)=(c(t)a(t))′(23)[Φ′(t)]2[1-cos2Φ(t)]=[(c(t)a(t))′]2(24)[Φ′(t)]2(1-(c(t)a(t))2)=[(c(t)a(t))′]2(25)Φ′(t)=√[(c(t)a(t))′]2/(1-(c(t)a(t))2)(26)由以上式子可以說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)的理論依據(jù)。因?yàn)?由前面的討論,式(26)中的a(t)應(yīng)為緩變信號(hào),因此[c(t)/a(t)]′主要由c′(t)決定,即固有模態(tài)信號(hào)的瞬時(shí)頻率與該處信號(hào)的導(dǎo)數(shù)有關(guān),且與|c′(t)|成近似正比關(guān)系。對(duì)任意信號(hào)s(t),令s(t)=c(t)+r(t)(27)其中c(t)為IMF。兩邊求導(dǎo)得s′(t)=c′(t)+r′(t)(28)如果對(duì)幾乎所有的t,|c′(t)|相對(duì)|r′(t)|較大,則|s′(t)|主要由|c′(t)|決定,即s(t)的極值點(diǎn)主要由c(t)的極值點(diǎn)決定(根據(jù)極值點(diǎn)的判定定理)。因此,通過(guò)信號(hào)s(t)的極值點(diǎn)擬合其包絡(luò)線,求出包絡(luò)線均值m(t)(理想情況下應(yīng)為r(t)),即可求得包含c(t)幾乎所有信息的信號(hào)s(t)-m(t)(這一過(guò)程稱為篩選)。實(shí)際中,m(t)≠r(t),即s(t)-m(t)≠c(t)。因此還需繼續(xù)對(duì)s(t)