大學(xué)物理第三章

第三章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)教學(xué)基本要求

一

理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量，并掌握角量與線量的關(guān)系.

二

理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律.

能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)和剛體的簡(jiǎn)單系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題.

三理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律.

四掌握力矩的功和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理.掌握剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒的條件.

本章重點(diǎn)1剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義以及常見(jiàn)剛體繞常見(jiàn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；2力矩計(jì)算、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用；3剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量的計(jì)算。

本章難點(diǎn)力矩計(jì)算、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中守恒的判斷及其準(zhǔn)確計(jì)算。概要：實(shí)際的物體運(yùn)動(dòng)不總是可以看成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。一、何謂剛體在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。即每個(gè)質(zhì)元之間的距離無(wú)論運(yùn)動(dòng)或受外力時(shí)都保持不變。mimj二、剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式平動(dòng)----剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng)(即該直線方向保持不變)§3-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)理想模型剛體的平動(dòng)過(guò)程bcabca剛體的平動(dòng)過(guò)程bcab剛體的平動(dòng)過(guò)程bca剛體的平動(dòng)過(guò)程bca剛體的平動(dòng)過(guò)程bca剛體的平動(dòng)過(guò)程bca剛體的平動(dòng)過(guò)程bca剛體的平動(dòng)過(guò)程bca剛體的平動(dòng)過(guò)程二、剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式1)平動(dòng)----剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng)mimjO選取參考點(diǎn)O，則：對(duì)（1）式求導(dǎo)：結(jié)論：剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度及相同的軌跡。只要找到一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律便全知道了。事實(shí)上這一點(diǎn)已經(jīng)知道-----質(zhì)心運(yùn)動(dòng)已告訴了我們。也就是說(shuō)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是反映物體平動(dòng)的規(guī)律。2）轉(zhuǎn)動(dòng):定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的各質(zhì)元在運(yùn)動(dòng)中都繞一固定軸作圓周運(yùn)動(dòng)，稱為剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。OO’定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。如陀螺。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。3）剛體的一般運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng)：總可以看成是一個(gè)隨質(zhì)心的平動(dòng)加上繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)組合。平動(dòng)＋轉(zhuǎn)動(dòng)參考平面角位移角坐標(biāo)<0q0>q約定沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量

方向:右手螺旋方向參考軸三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度角加速度1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)平面為圓面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來(lái)表示.rip在p點(diǎn)取一質(zhì)點(diǎn)，OXY剛體的平動(dòng)動(dòng)能mimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMC其平動(dòng)動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)幽芎汀c為質(zhì)心的速度miMC§3-2轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能M剛體的動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)幽苤?，為此將剛體分割成很多很小的質(zhì)元任取一質(zhì)元距轉(zhuǎn)軸，則該質(zhì)元?jiǎng)幽埽汗蕜傮w的動(dòng)能：剛體繞定軸以角速度旋轉(zhuǎn)ri質(zhì)量不連續(xù)分布（離散）質(zhì)量連續(xù)分布Mri轉(zhuǎn)動(dòng)慣量－質(zhì)量不連續(xù)分布－質(zhì)量連續(xù)分布I－轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度－線分布λ＝m/ι－面分布σ＝m/S－體分布ρ＝m/V質(zhì)量元:二、決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三因素hO質(zhì)BAX3）剛體轉(zhuǎn)軸的位置。（如細(xì)棒繞中心、繞一端）1）剛體的質(zhì)量；2）剛體的質(zhì)量分布；（如圓環(huán)與圓盤的不同）；例3-1求質(zhì)量為m,長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心o并與棒垂直

轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端B并與棒垂直

轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距質(zhì)心為h的一點(diǎn)A并與棒垂直hO質(zhì)BAX已知：L、m求：IO、IB、IA解：以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)OX、將棒分割成許多質(zhì)元dm.平行軸定理：剛體對(duì)任一軸A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IA和通過(guò)質(zhì)心并與A軸平行的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic有如下關(guān)系：為剛體的質(zhì)量、為軸A與軸C之間的垂直距離MCA正交軸定理：（僅適用于薄板狀剛體）

(z⊥x、y，xy軸在剛體平面內(nèi),坐標(biāo)原點(diǎn)位置任意)Iz－繞垂直其平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ix，Iy－在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)兩個(gè)正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例題3-2半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄圓盤，質(zhì)量均為m，試分別求出對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。RR例3-3求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：YXZORrdZZ§3-3力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律rpθ

矢量式：力矩：注意：?jiǎn)挝唬好?牛頓1）力必須在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：2）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，分解成一力矩3）若剛體受N個(gè)外力作用，力是連續(xù)的－力不連續(xù)注意:4）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消O例3-4如圖所示,均勻細(xì)桿,長(zhǎng)為L(zhǎng)，在平面內(nèi)以角速度ω繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為μ求M摩擦力。rω解:質(zhì)量線密度:質(zhì)量元:所受摩擦力為:例3-5現(xiàn)有一圓盤在平面內(nèi)以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力產(chǎn)生的力矩（μ、m、R）。ω解:要揭示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義，實(shí)際上是要找到一個(gè)類似于牛頓定律的規(guī)律——轉(zhuǎn)動(dòng)定律。二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律O剛體可看成是由許多小質(zhì)元組成，在p點(diǎn)取一質(zhì)元，受力：外力，與成角合內(nèi)力，與成角----①

P用左叉乘①式----②

對(duì)整個(gè)剛體，對(duì)②式求和－轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：繞某定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，所受合外力矩在該軸上的分量等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積?；蛘f(shuō)明：1）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律是瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系；如圖可將力分解為兩個(gè)力，只求那個(gè)垂直于軸的力的力矩就可以了。Z

2）應(yīng)是對(duì)同一軸而言的如何求力對(duì)軸的力矩呢？3）轉(zhuǎn)動(dòng)定律說(shuō)明了I是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。因?yàn)椋杭碔越大的物體，保持原來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就越大；反之，I越小，越容易改變狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱?；蛘哒f(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。如一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰(shuí)轉(zhuǎn)動(dòng)得快些呢？MM

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？T’例3-6一質(zhì)量為m1的物體繞在一半徑為r質(zhì)量為m2的圓盤上,開(kāi)始時(shí)靜止,求重物的加速度、繩中的張力和t時(shí)刻重物下降多高?(繩的質(zhì)量與軸上的摩擦力不計(jì)).rm2m1m1grm2gTT’N已知:m1、m2、r求：a、T、h解：建立轉(zhuǎn)動(dòng)軸的正方向，加速度的正方向.T隔離物體分析力：a+

+2m1g(2m1+m2)=am1gt22m1+m2h=T=m1m2g2m1+m2求：解：以為研究對(duì)象。受力分析：例3-7質(zhì)量分別為m1。m2的物體通過(guò)輕繩掛在質(zhì)量為m3半徑為的圓盤形滑輪上。求物體m1。m2運(yùn)動(dòng)的加速度以及繩子張力,（繩子質(zhì)量不計(jì)）已知：抵消建立軸的正向：（力矩投影的正方向）m1m2例3-8一靜止剛體受到一等于M0的不變力矩的作用,同時(shí)又引起一阻力矩M1，M1與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比,即|M1|=

a,(a為常數(shù))。又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,試求剛體角速度變化的規(guī)律。M+M0M1已知：M0M1=–a

I|t=0=0求：

（t）=？解：1）以剛體為研究對(duì)象；2）分析所受力矩3）建立軸的正方向；4）列方程：I