大學物理第三章

第三章剛體的轉動教學基本要求

一

理解描述剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量與線量的關系.

二

理解力矩和轉動慣量的概念，掌握剛體繞定軸轉動的轉動定律.

能運用以上規(guī)律分析和解決包括質點和剛體的簡單系統(tǒng)的力學問題.

三理解剛體定軸轉動的轉動動能概念，能在有剛體繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律.

四掌握力矩的功和轉動動能定理.掌握剛體轉動時角動量守恒的條件.

本章重點1剛體轉動慣量的物理意義以及常見剛體繞常見軸的轉動慣量；2力矩計算、轉動定律的應用；3剛體轉動動能、轉動時的角動量的計算。

本章難點力矩計算、剛體轉動過程中守恒的判斷及其準確計算。概要：實際的物體運動不總是可以看成質點的運動。一、何謂剛體在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。即每個質元之間的距離無論運動或受外力時都保持不變。mimj二、剛體運動的兩種基本形式平動----剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動(即該直線方向保持不變)§3-1剛體的定軸轉動理想模型剛體的平動過程bcabca剛體的平動過程bcab剛體的平動過程bca剛體的平動過程bca剛體的平動過程bca剛體的平動過程bca剛體的平動過程bca剛體的平動過程bca剛體的平動過程二、剛體運動的兩種基本形式1)平動----剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動mimjO選取參考點O，則：對（1）式求導：結論：剛體平動時，其上各點具有相同的速度、加速度及相同的軌跡。只要找到一點的運動規(guī)律，剛體的運動規(guī)律便全知道了。事實上這一點已經(jīng)知道-----質心運動已告訴了我們。也就是說質心運動定理是反映物體平動的規(guī)律。2）轉動:定軸轉動和定點轉動剛體的各質元在運動中都繞一固定軸作圓周運動，稱為剛體作定軸轉動。OO’定點轉動：繞一固定點轉動。如陀螺。剛體的定軸轉動剛體上各點都繞同一轉軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內(nèi)轉過相同的角度。3）剛體的一般運動一般運動：總可以看成是一個隨質心的平動加上繞質心的轉動組合。平動＋轉動參考平面角位移角坐標<0q0>q約定沿逆時針方向轉動沿順時針方向轉動角速度矢量

方向:右手螺旋方向參考軸三、剛體定軸轉動的角速度和角加速度角加速度1）每一質點均作圓周運動，轉動平面為圓面；2）任一質點運動均相同，但不同；3）運動描述僅需一個坐標.定軸轉動的特點

剛體定軸轉動（一維轉動）的轉動方向可以用角速度的正負來表示.rip在p點取一質點，OXY剛體的平動動能mimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMC其平動動能應為各質元動能和。vc為質心的速度miMC§3-2轉動動能轉動慣量一、轉動動能M剛體的動能應為各質元動能之和，為此將剛體分割成很多很小的質元任取一質元距轉軸，則該質元動能：故剛體的動能：剛體繞定軸以角速度旋轉ri質量不連續(xù)分布（離散）質量連續(xù)分布Mri轉動慣量－質量不連續(xù)分布－質量連續(xù)分布I－轉動慣量:物體轉動慣性大小的量度－線分布λ＝m/ι－面分布σ＝m/S－體分布ρ＝m/V質量元:二、決定轉動慣量的三因素hO質BAX3）剛體轉軸的位置。（如細棒繞中心、繞一端）1）剛體的質量；2）剛體的質量分布；（如圓環(huán)與圓盤的不同）；例3-1求質量為m,長為L的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：

轉軸通過棒的中心o并與棒垂直

轉軸通過棒的一端B并與棒垂直

轉軸通過棒上距質心為h的一點A并與棒垂直hO質BAX已知：L、m求：IO、IB、IA解：以棒中心為原點建立坐標OX、將棒分割成許多質元dm.平行軸定理：剛體對任一軸A的轉動慣量IA和通過質心并與A軸平行的轉動慣量Ic有如下關系：為剛體的質量、為軸A與軸C之間的垂直距離MCA正交軸定理：（僅適用于薄板狀剛體）

(z⊥x、y，xy軸在剛體平面內(nèi),坐標原點位置任意)Iz－繞垂直其平面的轉軸的轉動慣量，Ix，Iy－在轉動平面內(nèi)兩個正交軸的轉動慣量。例題3-2半徑為R的質量均勻分布的細圓環(huán)及薄圓盤，質量均為m，試分別求出對通過質心并與環(huán)面或盤面垂直的轉軸的轉動慣量。RR例3-3求一質量為m的均勻實心球對其一條直徑為軸的轉動慣量。解：一球繞Z軸旋轉，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質量：其轉動慣量：YXZORrdZZ§3-3力矩轉動定律rpθ

矢量式：力矩：注意：單位：米.牛頓1）力必須在轉動平面內(nèi)：2）若力不在轉動平面內(nèi)，分解成一力矩3）若剛體受N個外力作用，力是連續(xù)的－力不連續(xù)注意:4）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消O例3-4如圖所示,均勻細桿,長為L，在平面內(nèi)以角速度ω繞端點轉動，摩擦系數(shù)為μ求M摩擦力。rω解:質量線密度:質量元:所受摩擦力為:例3-5現(xiàn)有一圓盤在平面內(nèi)以角速度ω轉動，求摩擦力產(chǎn)生的力矩（μ、m、R）。ω解:要揭示轉動慣量的物理意義，實際上是要找到一個類似于牛頓定律的規(guī)律——轉動定律。二、轉動定律O剛體可看成是由許多小質元組成，在p點取一質元，受力：外力，與成角合內(nèi)力，與成角----①

P用左叉乘①式----②

對整個剛體，對②式求和－轉動定律定軸轉動定律：繞某定軸轉動的剛體，所受合外力矩在該軸上的分量等于剛體對該軸的轉動慣量與角加速度的乘積。或說明：1）定軸轉動定律是瞬時對應關系；如圖可將力分解為兩個力，只求那個垂直于軸的力的力矩就可以了。Z

2）應是對同一軸而言的如何求力對軸的力矩呢？3）轉動定律說明了I是物體轉動慣性大小的量度。因為：即I越大的物體，保持原來轉動狀態(tài)的性質就越強，轉動慣性就越大；反之，I越小，越容易改變狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱?；蛘哒f轉動慣性越小。如一個外徑和質量相同的實心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰轉動得快些呢？MM

飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？竿子長些還是短些較安全？T’例3-6一質量為m1的物體繞在一半徑為r質量為m2的圓盤上,開始時靜止,求重物的加速度、繩中的張力和t時刻重物下降多高?(繩的質量與軸上的摩擦力不計).rm2m1m1grm2gTT’N已知:m1、m2、r求：a、T、h解：建立轉動軸的正方向，加速度的正方向.T隔離物體分析力：a+

+2m1g(2m1+m2)=am1gt22m1+m2h=T=m1m2g2m1+m2求：解：以為研究對象。受力分析：例3-7質量分別為m1。m2的物體通過輕繩掛在質量為m3半徑為的圓盤形滑輪上。求物體m1。m2運動的加速度以及繩子張力,（繩子質量不計）已知：抵消建立軸的正向：（力矩投影的正方向）m1m2例3-8一靜止剛體受到一等于M0的不變力矩的作用,同時又引起一阻力矩M1，M1與剛體轉動的角速度成正比,即|M1|=

a,(a為常數(shù))。又已知剛體對轉軸的轉動慣量為I,試求剛體角速度變化的規(guī)律。M+M0M1已知：M0M1=–a

I|t=0=0求：

（t）=？解：1）以剛體為研究對象；2）分析所受力矩3）建立軸的正方向；4）列方程：I