基于多個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)的多重分形譜計(jì)算方法

基于多個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)的多重分形譜計(jì)算方法

0多重分形結(jié)構(gòu)材料的微觀結(jié)構(gòu)形成于材料物質(zhì)基元的不斷生長(zhǎng)，決定了材料的基本性能。結(jié)果表明，材料的生長(zhǎng)表面有一種狹窄的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，并且在一定范圍內(nèi)顯示出不變的標(biāo)度。這一現(xiàn)象引起了國(guó)內(nèi)外研究人員的關(guān)注。材料顆粒的分布特征是定量和定量分析的重要意義。從分形學(xué)的角度來(lái)看，這種自相似、不規(guī)則的結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的分形特征，很難使用歐洲幾何知識(shí)來(lái)解釋。這種結(jié)構(gòu)通常包含幾個(gè)維數(shù)。很難用單一維數(shù)來(lái)表示結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，因此需要對(duì)幾個(gè)維數(shù)進(jìn)行描述。多重分形最早由曼德?tīng)柌剂_特提出并用于湍流數(shù)據(jù)的分析,是定義在分形結(jié)構(gòu)上由無(wú)窮多個(gè)標(biāo)度指數(shù)組成的一個(gè)集合.它可以通過(guò)譜函數(shù)來(lái)描述分形結(jié)構(gòu)上不同的局域特征、或分形結(jié)構(gòu)在演化過(guò)程中不同層次所導(dǎo)致的特殊的結(jié)構(gòu)行為與特征,是從系統(tǒng)的局部出發(fā)來(lái)研究其整體的特征,并討論特征參量概率測(cè)度分布規(guī)律的一種方法.多重分形提供了一種能更深入地研究材料微觀結(jié)構(gòu)的手段.從多重分形的定義出發(fā),計(jì)算多重分形譜十分不方便,而借助統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的知識(shí)用配分函數(shù)法則可以比較方便的求出結(jié)構(gòu)的多重分形譜.因此,配分函數(shù)法是計(jì)算結(jié)構(gòu)尤其是二維結(jié)構(gòu)多重分形譜的常用方法.在多重分形譜中,存在著標(biāo)度不變的范圍問(wèn)題,即對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)圖中配分函數(shù)與尺度表現(xiàn)出的線性問(wèn)題.圖中的線性區(qū)表明在這樣的區(qū)間內(nèi)配分函數(shù)與尺度具有標(biāo)度不變性,因此稱為無(wú)標(biāo)度區(qū).對(duì)于規(guī)則多重分形,這種線性關(guān)系是嚴(yán)格的、無(wú)限的,故無(wú)標(biāo)度區(qū)也是無(wú)限的.但對(duì)于隨機(jī)多重分形,無(wú)標(biāo)度區(qū)是有限的,且存在多個(gè)長(zhǎng)短不等的無(wú)標(biāo)度區(qū).許多研究者都是盡可能的選擇明顯的線性關(guān)系作為計(jì)算使用的無(wú)標(biāo)度區(qū),舍棄剩余的較短小的無(wú)標(biāo)度區(qū).這些剩余的無(wú)標(biāo)度區(qū)往往包含了大量的數(shù)據(jù)信息,丟棄這些數(shù)據(jù)無(wú)疑使得對(duì)結(jié)構(gòu)的描述不夠全面.目前很少有人討論這些數(shù)據(jù)如何利用.本文以計(jì)算機(jī)生成的多重分形結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象,探討了對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)圖中無(wú)標(biāo)度區(qū)包含的意義,并對(duì)如何利用各個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了討論.1多段基本技能1.1多重分形譜的生成設(shè)P是一個(gè)分布在某區(qū)間的質(zhì)量分布或測(cè)度(如分布概率)的值,如果P(ε)在ε→0過(guò)程中,有冪次關(guān)系[11~13]若α為一常數(shù),則α叫局部奇異指數(shù),也叫標(biāo)度指數(shù),它控制著P(ε)的奇異性.相同的集對(duì)應(yīng)的α相同,不同的集對(duì)應(yīng)的α不同,將對(duì)應(yīng)不同α的分形結(jié)構(gòu)用一個(gè)譜函數(shù)來(lái)表示就稱為多重分形,它是定義在分形集上,有多個(gè)標(biāo)度指數(shù)α構(gòu)成的無(wú)限集合.根據(jù)分形維數(shù)的定義,每個(gè)具有相同α的Pα(ε)子集的Hausdorff分形維數(shù)可以由給出[11~13].f(α)可以從lnN(ε)~lnε的雙對(duì)數(shù)曲線在ε→0過(guò)程中的直線區(qū)的斜率求出.由α~f(α)生成的圖稱為多重分形譜,它描述了分形集的整體信息.1.2多重分形譜的統(tǒng)計(jì)物理直接從定義出發(fā),求解多重分形譜比較困難.目前,計(jì)算圖像的多重分形譜多使用配分函數(shù)法,此方法可描述如下:將圖像平均分為(1/ε)×(1/ε)個(gè)小塊,其中ε=1/2,1/22,…稱為尺度,計(jì)算每一個(gè)小塊的總灰度與圖像總灰度的比值,將其作為該小塊的測(cè)度,記為其中i,j=1,2,…,1/ε,nij(ε)為小塊中的總灰度.對(duì)于規(guī)則的多重分形圖像,根據(jù)式(1)~(3)容易推導(dǎo)出α與f(α)的解析表達(dá)式,但對(duì)于隨機(jī)的多重分形圖像,類似的表達(dá)式很難得到,因此獲得多重分形譜需借助于統(tǒng)計(jì)物理的有關(guān)公式.定義配分函數(shù)即將χq(ε)定義為概率Pij的q次方之和.q可以從-∞~+∞,但實(shí)際上|q|達(dá)到一定程度后,再大的|q|對(duì)多重分形譜已無(wú)甚影響.根據(jù)文,q的取值應(yīng)遵循一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),即q改變1時(shí),Δα的改變率小于0.2%.τ(q)可以從lnχq(ε)~lnε的曲線在ε→0過(guò)程中的直線區(qū)的斜率求出.統(tǒng)計(jì)物理告訴我們:τ(q)~q經(jīng)勒讓德變換可以得到由此得多重分形譜α~f(α).2配分函數(shù)法的探討2.1圖像像素預(yù)處理規(guī)則的多重分形圖像有很多種生成方法,本文的生成方法類似于一個(gè)質(zhì)量分布不均勻的Cantor集的生長(zhǎng)過(guò)程:將圖像區(qū)域看做是質(zhì)量為1的正方形,每操作一次,將正方形平均分成四個(gè)塊,四塊之間的質(zhì)量比例可以任意指定;這樣操作下去,直到操作的區(qū)域變成單個(gè)像素.具體算法如下:(1)取圖像區(qū)域?yàn)镸×M個(gè)像素;(2)將圖像區(qū)域平均劃分為四個(gè)小塊,各小塊的灰度值分別占四塊總灰度的比例為a:b:c:d(從左上角的小塊開(kāi)始按順時(shí)針順序);(3)將上一步得到的每個(gè)小塊分別看作圖像區(qū)域;(4)執(zhí)行第(2)步,直至圖像區(qū)域?yàn)閱蝹€(gè)像素;(5)將得到的圖像轉(zhuǎn)化為灰度圖像,即可得到規(guī)則的二維多重分形圖像.設(shè)比例為3:2:2:3,圖像大小為512×512像素,可以得到如圖1(a)所示的規(guī)則的二維多重分形圖像.在圖1(a)的生成過(guò)程中,當(dāng)循環(huán)至第七次時(shí),如果將比例改為3:3:1:3繼續(xù)執(zhí)行,循環(huán)三次停止,即可得到圖1(b)所示的多重分形圖像.圖1中的兩幅圖像代表了兩種不同的規(guī)則多重分形.圖1(a)的生長(zhǎng)規(guī)律自始至終保持不變,為簡(jiǎn)單的多重分形;圖1(b)的生長(zhǎng)規(guī)律發(fā)生了變化,可以代表較復(fù)雜的多重分形.2.2圖像質(zhì)量的概率目前,利用多重分形分析的方法描述圖像和結(jié)構(gòu)的特征大都是用配分函數(shù)法計(jì)算多重分形譜.但是,按照這種方法計(jì)算得到的多重分形譜并不表示圖像真正的多重分形特征.以圖1(a)所示結(jié)構(gòu)為例,我們將按照定義計(jì)算得到的多重分形譜與按照配分函數(shù)法計(jì)算得到的多重分形譜進(jìn)行比較.根據(jù)圖1(a)的生成過(guò)程可知,在第0層,即當(dāng)尺度為ε=1/20時(shí),整個(gè)圖像被看做一個(gè)整體,其質(zhì)量的概率測(cè)度為1,存在的個(gè)數(shù)為1;在第1層,當(dāng)尺度為ε=1/21時(shí),圖像的四個(gè)小塊分別看做整體,其質(zhì)量的概率測(cè)度為0.3和0.2,存在的個(gè)數(shù)分別為2和2;依此類推,可得到圖1(a)在各個(gè)尺度時(shí)存在的概率測(cè)度以及相同測(cè)度的個(gè)數(shù),如表1所示.根據(jù)式(1)和表1可得到不同α組成的無(wú)限集合,這個(gè)集合內(nèi)的元素可以用一個(gè)解析表達(dá)式表示,由式(4)和式(2)可得譜函數(shù)f(α),其中K為層數(shù),i為第i項(xiàng),當(dāng)K趨向無(wú)窮大時(shí),可得到圖像的多重分形譜.由于實(shí)際計(jì)算中K取不到無(wú)窮大,因此本文在計(jì)算中取K=9,K=20,K=100,觀察多重分形譜的變化(圖2).K=9時(shí)的譜線表示結(jié)構(gòu)本身存在的分形特征,K=20,100時(shí)的譜線表示結(jié)構(gòu)按照之前的規(guī)律生長(zhǎng)20,100次時(shí)形成的分形特征.用配分函數(shù)法分析圖1(a),根據(jù)文,本文選取|q|=20,得到lnχq(ε)~lnε曲線族(圖3(a)),從而可以計(jì)算出圖像的多重分形譜(圖2).將通過(guò)解析表達(dá)式得到的多重分形譜與配分函數(shù)法計(jì)算的多重分形譜比較,從圖2中看出,配分函數(shù)法得到的譜線與結(jié)構(gòu)本身存在的特征(K=9曲線)相差很大.結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)的次數(shù)越多,其結(jié)構(gòu)越接近配分法的結(jié)果.說(shuō)明配分法得到的譜線描述的并不是結(jié)構(gòu)本身的分形特征,而是結(jié)構(gòu)按照這種規(guī)律生長(zhǎng)到極限時(shí)的概率分布特征.2.3種譜線吻合在通常情況下,物理結(jié)構(gòu)未來(lái)的生長(zhǎng)規(guī)律是未知的,只能根據(jù)已知的規(guī)律來(lái)計(jì)算.為了模擬真實(shí)情況,在使用配分函數(shù)法計(jì)算圖1(a)的多重分形譜時(shí)只利用部分?jǐn)?shù)據(jù).從圖3(a)中看出,圖1(a)的結(jié)構(gòu)包含9層數(shù)據(jù),現(xiàn)分別只利用1~5層、1~7層、1~9層的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,得到三條多重分形譜曲線,如圖4所示.根據(jù)多重分形的定義,只有當(dāng)結(jié)構(gòu)充分發(fā)展即無(wú)限發(fā)展時(shí),其多重分形特征才能完全呈現(xiàn),有限發(fā)展的結(jié)構(gòu)與無(wú)限發(fā)展的結(jié)構(gòu)的分形特征是不同的.從圖4中可以看出,三條譜線吻合得很好,表明當(dāng)用配分函數(shù)法計(jì)算結(jié)構(gòu)的多重分形譜時(shí),僅需要結(jié)構(gòu)中較少的數(shù)據(jù)即可得到結(jié)構(gòu)無(wú)限發(fā)展時(shí)呈現(xiàn)出的多重分形特征.說(shuō)明結(jié)構(gòu)中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)中已經(jīng)包含了描述結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)規(guī)律的足夠信息.因此,不難發(fā)現(xiàn)配分函數(shù)法的一個(gè)特性:能夠通過(guò)對(duì)部分?jǐn)?shù)據(jù)的計(jì)算描述出結(jié)構(gòu)整體的生長(zhǎng)規(guī)律.綜上所述,可以這樣解釋圖4中三條譜線吻合的原因:配分函數(shù)法根據(jù)1~5層和1~7層數(shù)據(jù)中包含的生長(zhǎng)規(guī)律描述出了結(jié)構(gòu)無(wú)限發(fā)展時(shí)的生長(zhǎng)規(guī)律.2.4傳統(tǒng)方法分析利用配分函數(shù)法計(jì)算圖1(b)的多重分形譜,根據(jù)式(3),(4)可以得到結(jié)構(gòu)的lnχq(ε)~lnε曲線族,如圖3(b).由于結(jié)構(gòu)本身的生長(zhǎng)規(guī)律在第6,7層之間發(fā)生了變化,曲線在相應(yīng)位置處出現(xiàn)了明顯的轉(zhuǎn)折.取其中q=-20時(shí)的曲線進(jìn)行分析,按照傳統(tǒng)的方法,計(jì)算τ(q)時(shí)選定整個(gè)區(qū)間作為無(wú)標(biāo)度區(qū)或者選擇較長(zhǎng)的直線段作為無(wú)標(biāo)度區(qū)(如圖5中虛線所示).圖5(a)中的虛線計(jì)算的是曲線的平均斜率,圖5(b)中的虛線計(jì)算的是曲線存在的某一個(gè)斜率.按照平均斜率計(jì)算得到的多重分形譜描述的是“平均規(guī)律”,顯然這種規(guī)律是不存在的.按照曲線存在某一斜率計(jì)算的多重分形譜描述的是對(duì)應(yīng)層次的生長(zhǎng)規(guī)律,這種規(guī)律是存在的,但顯然結(jié)構(gòu)中還存在另外的生長(zhǎng)規(guī)律未能描述出來(lái).因此,以上兩種選取標(biāo)度的方法都不能合理的反映出結(jié)構(gòu)的特征,傳統(tǒng)的方法存在著不足.3結(jié)構(gòu)的多分形譜由于傳統(tǒng)的方法不能全面描述結(jié)構(gòu)的多重分形特征,因此本文提出一種基于多個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)的多重分形分析新方法.利用配分函數(shù)法計(jì)算圖1中兩種結(jié)構(gòu)的多重分形譜.在計(jì)算過(guò)程中,取尺度ε=1/2,1/22,…,1/29,根據(jù)式(4),得到兩幅圖像的lnχq(ε)~lnε曲線族,如圖3所示.根據(jù)2節(jié)中的結(jié)論,lnχq(ε)~lnε曲線上任意相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)都包含著相應(yīng)的一種生長(zhǎng)規(guī)律.為了能夠完全充分描述出這些規(guī)律,需要將任意相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)視為一個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū),計(jì)算譜函數(shù).這樣計(jì)算量很大,而且由于曲線中存在直線區(qū),因此這些數(shù)據(jù)存在冗余.我們通過(guò)計(jì)算任意相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)形成的斜率來(lái)將整條曲線分段,如表2所示,其中區(qū)間的確定如圖3(b)所示.從表2中看出,圖3(b)的曲線族在區(qū)間6處發(fā)生了明顯的轉(zhuǎn)折,因此認(rèn)為曲線存在兩個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)(無(wú)標(biāo)度區(qū)2和無(wú)標(biāo)度區(qū)3),另根據(jù)傳統(tǒng)方法選取無(wú)標(biāo)度區(qū)1作為參照.其中標(biāo)度區(qū)2和標(biāo)度區(qū)3可以認(rèn)為代表的是結(jié)構(gòu)在“宏觀”和“微觀”上的信息.由式(4)~(6),可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)的三條多重分形譜(如圖6).在圖6(a)中,曲線A,B,C分別表示圖3(a)中曲線族在標(biāo)度區(qū)1,2,3內(nèi)計(jì)算得到的多重分形譜,代表了結(jié)構(gòu)在標(biāo)度區(qū)1,2,3內(nèi)的生長(zhǎng)規(guī)律.由于圖1(a)結(jié)構(gòu)在整個(gè)生長(zhǎng)過(guò)程中的規(guī)律沒(méi)有變化,因此標(biāo)度區(qū)1內(nèi)的生長(zhǎng)規(guī)律與標(biāo)度區(qū)2,3內(nèi)的生長(zhǎng)規(guī)律相同,故圖6(a)中三條譜線很接近.三條譜線中,選取任意一條即可以描述該結(jié)構(gòu)的多重分形特征.在圖6(b)中,曲線A,B,C分別表示圖3(b)中曲線族在標(biāo)度區(qū)1,2,3內(nèi)計(jì)算得到的譜.曲線B,C之間有很大差異,說(shuō)明結(jié)構(gòu)在標(biāo)度區(qū)2,3內(nèi)的生長(zhǎng)規(guī)律有很大不同,即結(jié)構(gòu)在“宏觀”上和“微觀”上的生長(zhǎng)規(guī)律是有變化的.這與結(jié)構(gòu)本身出現(xiàn)的生長(zhǎng)規(guī)律的變化一致.曲線A代表的是標(biāo)度區(qū)1內(nèi)的“平均生長(zhǎng)規(guī)律”,顯然這種規(guī)律在結(jié)構(gòu)中不存在.因此,選取曲線B和曲線C才可以比較完整地描述出結(jié)構(gòu)的這種多分形特征.總之,在計(jì)算結(jié)構(gòu)多重分形譜的過(guò)程中,選取不同的無(wú)標(biāo)度區(qū),結(jié)果表示不同的局部特征.對(duì)于簡(jiǎn)單分形體,由于其生長(zhǎng)規(guī)律單一,選取任何標(biāo)度區(qū)計(jì)算的多重分譜都是相同的.此種結(jié)構(gòu)的特征用一條多重分形譜即可表達(dá).對(duì)于復(fù)雜分形體來(lái)講,選取代表不同生長(zhǎng)階段的區(qū)間作為無(wú)標(biāo)度區(qū),可以得到不同階段的詳細(xì)特征.此種復(fù)雜結(jié)構(gòu)要用多條多分形譜來(lái)表達(dá).4多重分形分析方法本文在分形理論的基礎(chǔ)上,通過(guò)詳細(xì)分析配分函數(shù)法計(jì)算多分形譜的含義,得到以下結(jié)論:1)配分函數(shù)法計(jì)算的多重分形譜并不能描述結(jié)構(gòu)本身的分布特征