基于多個無標(biāo)度區(qū)的多重分形譜計算方法

基于多個無標(biāo)度區(qū)的多重分形譜計算方法

0多重分形結(jié)構(gòu)材料的微觀結(jié)構(gòu)形成于材料物質(zhì)基元的不斷生長，決定了材料的基本性能。結(jié)果表明，材料的生長表面有一種狹窄的動力學(xué)現(xiàn)象，并且在一定范圍內(nèi)顯示出不變的標(biāo)度。這一現(xiàn)象引起了國內(nèi)外研究人員的關(guān)注。材料顆粒的分布特征是定量和定量分析的重要意義。從分形學(xué)的角度來看，這種自相似、不規(guī)則的結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的分形特征，很難使用歐洲幾何知識來解釋。這種結(jié)構(gòu)通常包含幾個維數(shù)。很難用單一維數(shù)來表示結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，因此需要對幾個維數(shù)進(jìn)行描述。多重分形最早由曼德爾布羅特提出并用于湍流數(shù)據(jù)的分析,是定義在分形結(jié)構(gòu)上由無窮多個標(biāo)度指數(shù)組成的一個集合.它可以通過譜函數(shù)來描述分形結(jié)構(gòu)上不同的局域特征、或分形結(jié)構(gòu)在演化過程中不同層次所導(dǎo)致的特殊的結(jié)構(gòu)行為與特征,是從系統(tǒng)的局部出發(fā)來研究其整體的特征,并討論特征參量概率測度分布規(guī)律的一種方法.多重分形提供了一種能更深入地研究材料微觀結(jié)構(gòu)的手段.從多重分形的定義出發(fā),計算多重分形譜十分不方便,而借助統(tǒng)計物理學(xué)的知識用配分函數(shù)法則可以比較方便的求出結(jié)構(gòu)的多重分形譜.因此,配分函數(shù)法是計算結(jié)構(gòu)尤其是二維結(jié)構(gòu)多重分形譜的常用方法.在多重分形譜中,存在著標(biāo)度不變的范圍問題,即對數(shù)-對數(shù)圖中配分函數(shù)與尺度表現(xiàn)出的線性問題.圖中的線性區(qū)表明在這樣的區(qū)間內(nèi)配分函數(shù)與尺度具有標(biāo)度不變性,因此稱為無標(biāo)度區(qū).對于規(guī)則多重分形,這種線性關(guān)系是嚴(yán)格的、無限的,故無標(biāo)度區(qū)也是無限的.但對于隨機(jī)多重分形,無標(biāo)度區(qū)是有限的,且存在多個長短不等的無標(biāo)度區(qū).許多研究者都是盡可能的選擇明顯的線性關(guān)系作為計算使用的無標(biāo)度區(qū),舍棄剩余的較短小的無標(biāo)度區(qū).這些剩余的無標(biāo)度區(qū)往往包含了大量的數(shù)據(jù)信息,丟棄這些數(shù)據(jù)無疑使得對結(jié)構(gòu)的描述不夠全面.目前很少有人討論這些數(shù)據(jù)如何利用.本文以計算機(jī)生成的多重分形結(jié)構(gòu)為研究對象,探討了對數(shù)-對數(shù)圖中無標(biāo)度區(qū)包含的意義,并對如何利用各個無標(biāo)度區(qū)內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了討論.1多段基本技能1.1多重分形譜的生成設(shè)P是一個分布在某區(qū)間的質(zhì)量分布或測度(如分布概率)的值,如果P(ε)在ε→0過程中,有冪次關(guān)系[11~13]若α為一常數(shù),則α叫局部奇異指數(shù),也叫標(biāo)度指數(shù),它控制著P(ε)的奇異性.相同的集對應(yīng)的α相同,不同的集對應(yīng)的α不同,將對應(yīng)不同α的分形結(jié)構(gòu)用一個譜函數(shù)來表示就稱為多重分形,它是定義在分形集上,有多個標(biāo)度指數(shù)α構(gòu)成的無限集合.根據(jù)分形維數(shù)的定義,每個具有相同α的Pα(ε)子集的Hausdorff分形維數(shù)可以由給出[11~13].f(α)可以從lnN(ε)~lnε的雙對數(shù)曲線在ε→0過程中的直線區(qū)的斜率求出.由α~f(α)生成的圖稱為多重分形譜,它描述了分形集的整體信息.1.2多重分形譜的統(tǒng)計物理直接從定義出發(fā),求解多重分形譜比較困難.目前,計算圖像的多重分形譜多使用配分函數(shù)法,此方法可描述如下:將圖像平均分為(1/ε)×(1/ε)個小塊,其中ε=1/2,1/22,…稱為尺度,計算每一個小塊的總灰度與圖像總灰度的比值,將其作為該小塊的測度,記為其中i,j=1,2,…,1/ε,nij(ε)為小塊中的總灰度.對于規(guī)則的多重分形圖像,根據(jù)式(1)~(3)容易推導(dǎo)出α與f(α)的解析表達(dá)式,但對于隨機(jī)的多重分形圖像,類似的表達(dá)式很難得到,因此獲得多重分形譜需借助于統(tǒng)計物理的有關(guān)公式.定義配分函數(shù)即將χq(ε)定義為概率Pij的q次方之和.q可以從-∞~+∞,但實(shí)際上|q|達(dá)到一定程度后,再大的|q|對多重分形譜已無甚影響.根據(jù)文,q的取值應(yīng)遵循一個標(biāo)準(zhǔn),即q改變1時,Δα的改變率小于0.2%.τ(q)可以從lnχq(ε)~lnε的曲線在ε→0過程中的直線區(qū)的斜率求出.統(tǒng)計物理告訴我們:τ(q)~q經(jīng)勒讓德變換可以得到由此得多重分形譜α~f(α).2配分函數(shù)法的探討2.1圖像像素預(yù)處理規(guī)則的多重分形圖像有很多種生成方法,本文的生成方法類似于一個質(zhì)量分布不均勻的Cantor集的生長過程:將圖像區(qū)域看做是質(zhì)量為1的正方形,每操作一次,將正方形平均分成四個塊,四塊之間的質(zhì)量比例可以任意指定;這樣操作下去,直到操作的區(qū)域變成單個像素.具體算法如下:(1)取圖像區(qū)域為M×M個像素;(2)將圖像區(qū)域平均劃分為四個小塊,各小塊的灰度值分別占四塊總灰度的比例為a:b:c:d(從左上角的小塊開始按順時針順序);(3)將上一步得到的每個小塊分別看作圖像區(qū)域;(4)執(zhí)行第(2)步,直至圖像區(qū)域為單個像素;(5)將得到的圖像轉(zhuǎn)化為灰度圖像,即可得到規(guī)則的二維多重分形圖像.設(shè)比例為3:2:2:3,圖像大小為512×512像素,可以得到如圖1(a)所示的規(guī)則的二維多重分形圖像.在圖1(a)的生成過程中,當(dāng)循環(huán)至第七次時,如果將比例改為3:3:1:3繼續(xù)執(zhí)行,循環(huán)三次停止,即可得到圖1(b)所示的多重分形圖像.圖1中的兩幅圖像代表了兩種不同的規(guī)則多重分形.圖1(a)的生長規(guī)律自始至終保持不變,為簡單的多重分形;圖1(b)的生長規(guī)律發(fā)生了變化,可以代表較復(fù)雜的多重分形.2.2圖像質(zhì)量的概率目前,利用多重分形分析的方法描述圖像和結(jié)構(gòu)的特征大都是用配分函數(shù)法計算多重分形譜.但是,按照這種方法計算得到的多重分形譜并不表示圖像真正的多重分形特征.以圖1(a)所示結(jié)構(gòu)為例,我們將按照定義計算得到的多重分形譜與按照配分函數(shù)法計算得到的多重分形譜進(jìn)行比較.根據(jù)圖1(a)的生成過程可知,在第0層,即當(dāng)尺度為ε=1/20時,整個圖像被看做一個整體,其質(zhì)量的概率測度為1,存在的個數(shù)為1;在第1層,當(dāng)尺度為ε=1/21時,圖像的四個小塊分別看做整體,其質(zhì)量的概率測度為0.3和0.2,存在的個數(shù)分別為2和2;依此類推,可得到圖1(a)在各個尺度時存在的概率測度以及相同測度的個數(shù),如表1所示.根據(jù)式(1)和表1可得到不同α組成的無限集合,這個集合內(nèi)的元素可以用一個解析表達(dá)式表示,由式(4)和式(2)可得譜函數(shù)f(α),其中K為層數(shù),i為第i項,當(dāng)K趨向無窮大時,可得到圖像的多重分形譜.由于實(shí)際計算中K取不到無窮大,因此本文在計算中取K=9,K=20,K=100,觀察多重分形譜的變化(圖2).K=9時的譜線表示結(jié)構(gòu)本身存在的分形特征,K=20,100時的譜線表示結(jié)構(gòu)按照之前的規(guī)律生長20,100次時形成的分形特征.用配分函數(shù)法分析圖1(a),根據(jù)文,本文選取|q|=20,得到lnχq(ε)~lnε曲線族(圖3(a)),從而可以計算出圖像的多重分形譜(圖2).將通過解析表達(dá)式得到的多重分形譜與配分函數(shù)法計算的多重分形譜比較,從圖2中看出,配分函數(shù)法得到的譜線與結(jié)構(gòu)本身存在的特征(K=9曲線)相差很大.結(jié)構(gòu)生長的次數(shù)越多,其結(jié)構(gòu)越接近配分法的結(jié)果.說明配分法得到的譜線描述的并不是結(jié)構(gòu)本身的分形特征,而是結(jié)構(gòu)按照這種規(guī)律生長到極限時的概率分布特征.2.3種譜線吻合在通常情況下,物理結(jié)構(gòu)未來的生長規(guī)律是未知的,只能根據(jù)已知的規(guī)律來計算.為了模擬真實(shí)情況,在使用配分函數(shù)法計算圖1(a)的多重分形譜時只利用部分?jǐn)?shù)據(jù).從圖3(a)中看出,圖1(a)的結(jié)構(gòu)包含9層數(shù)據(jù),現(xiàn)分別只利用1~5層、1~7層、1~9層的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算,得到三條多重分形譜曲線,如圖4所示.根據(jù)多重分形的定義,只有當(dāng)結(jié)構(gòu)充分發(fā)展即無限發(fā)展時,其多重分形特征才能完全呈現(xiàn),有限發(fā)展的結(jié)構(gòu)與無限發(fā)展的結(jié)構(gòu)的分形特征是不同的.從圖4中可以看出,三條譜線吻合得很好,表明當(dāng)用配分函數(shù)法計算結(jié)構(gòu)的多重分形譜時,僅需要結(jié)構(gòu)中較少的數(shù)據(jù)即可得到結(jié)構(gòu)無限發(fā)展時呈現(xiàn)出的多重分形特征.說明結(jié)構(gòu)中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)中已經(jīng)包含了描述結(jié)構(gòu)生長規(guī)律的足夠信息.因此,不難發(fā)現(xiàn)配分函數(shù)法的一個特性:能夠通過對部分?jǐn)?shù)據(jù)的計算描述出結(jié)構(gòu)整體的生長規(guī)律.綜上所述,可以這樣解釋圖4中三條譜線吻合的原因:配分函數(shù)法根據(jù)1~5層和1~7層數(shù)據(jù)中包含的生長規(guī)律描述出了結(jié)構(gòu)無限發(fā)展時的生長規(guī)律.2.4傳統(tǒng)方法分析利用配分函數(shù)法計算圖1(b)的多重分形譜,根據(jù)式(3),(4)可以得到結(jié)構(gòu)的lnχq(ε)~lnε曲線族,如圖3(b).由于結(jié)構(gòu)本身的生長規(guī)律在第6,7層之間發(fā)生了變化,曲線在相應(yīng)位置處出現(xiàn)了明顯的轉(zhuǎn)折.取其中q=-20時的曲線進(jìn)行分析,按照傳統(tǒng)的方法,計算τ(q)時選定整個區(qū)間作為無標(biāo)度區(qū)或者選擇較長的直線段作為無標(biāo)度區(qū)(如圖5中虛線所示).圖5(a)中的虛線計算的是曲線的平均斜率,圖5(b)中的虛線計算的是曲線存在的某一個斜率.按照平均斜率計算得到的多重分形譜描述的是“平均規(guī)律”,顯然這種規(guī)律是不存在的.按照曲線存在某一斜率計算的多重分形譜描述的是對應(yīng)層次的生長規(guī)律,這種規(guī)律是存在的,但顯然結(jié)構(gòu)中還存在另外的生長規(guī)律未能描述出來.因此,以上兩種選取標(biāo)度的方法都不能合理的反映出結(jié)構(gòu)的特征,傳統(tǒng)的方法存在著不足.3結(jié)構(gòu)的多分形譜由于傳統(tǒng)的方法不能全面描述結(jié)構(gòu)的多重分形特征,因此本文提出一種基于多個無標(biāo)度區(qū)的多重分形分析新方法.利用配分函數(shù)法計算圖1中兩種結(jié)構(gòu)的多重分形譜.在計算過程中,取尺度ε=1/2,1/22,…,1/29,根據(jù)式(4),得到兩幅圖像的lnχq(ε)~lnε曲線族,如圖3所示.根據(jù)2節(jié)中的結(jié)論,lnχq(ε)~lnε曲線上任意相鄰的兩個數(shù)據(jù)都包含著相應(yīng)的一種生長規(guī)律.為了能夠完全充分描述出這些規(guī)律,需要將任意相鄰的兩個數(shù)據(jù)視為一個無標(biāo)度區(qū),計算譜函數(shù).這樣計算量很大,而且由于曲線中存在直線區(qū),因此這些數(shù)據(jù)存在冗余.我們通過計算任意相鄰兩個數(shù)據(jù)形成的斜率來將整條曲線分段,如表2所示,其中區(qū)間的確定如圖3(b)所示.從表2中看出,圖3(b)的曲線族在區(qū)間6處發(fā)生了明顯的轉(zhuǎn)折,因此認(rèn)為曲線存在兩個無標(biāo)度區(qū)(無標(biāo)度區(qū)2和無標(biāo)度區(qū)3),另根據(jù)傳統(tǒng)方法選取無標(biāo)度區(qū)1作為參照.其中標(biāo)度區(qū)2和標(biāo)度區(qū)3可以認(rèn)為代表的是結(jié)構(gòu)在“宏觀”和“微觀”上的信息.由式(4)~(6),可以計算出結(jié)構(gòu)的三條多重分形譜(如圖6).在圖6(a)中,曲線A,B,C分別表示圖3(a)中曲線族在標(biāo)度區(qū)1,2,3內(nèi)計算得到的多重分形譜,代表了結(jié)構(gòu)在標(biāo)度區(qū)1,2,3內(nèi)的生長規(guī)律.由于圖1(a)結(jié)構(gòu)在整個生長過程中的規(guī)律沒有變化,因此標(biāo)度區(qū)1內(nèi)的生長規(guī)律與標(biāo)度區(qū)2,3內(nèi)的生長規(guī)律相同,故圖6(a)中三條譜線很接近.三條譜線中,選取任意一條即可以描述該結(jié)構(gòu)的多重分形特征.在圖6(b)中,曲線A,B,C分別表示圖3(b)中曲線族在標(biāo)度區(qū)1,2,3內(nèi)計算得到的譜.曲線B,C之間有很大差異,說明結(jié)構(gòu)在標(biāo)度區(qū)2,3內(nèi)的生長規(guī)律有很大不同,即結(jié)構(gòu)在“宏觀”上和“微觀”上的生長規(guī)律是有變化的.這與結(jié)構(gòu)本身出現(xiàn)的生長規(guī)律的變化一致.曲線A代表的是標(biāo)度區(qū)1內(nèi)的“平均生長規(guī)律”,顯然這種規(guī)律在結(jié)構(gòu)中不存在.因此,選取曲線B和曲線C才可以比較完整地描述出結(jié)構(gòu)的這種多分形特征.總之,在計算結(jié)構(gòu)多重分形譜的過程中,選取不同的無標(biāo)度區(qū),結(jié)果表示不同的局部特征.對于簡單分形體,由于其生長規(guī)律單一,選取任何標(biāo)度區(qū)計算的多重分譜都是相同的.此種結(jié)構(gòu)的特征用一條多重分形譜即可表達(dá).對于復(fù)雜分形體來講,選取代表不同生長階段的區(qū)間作為無標(biāo)度區(qū),可以得到不同階段的詳細(xì)特征.此種復(fù)雜結(jié)構(gòu)要用多條多分形譜來表達(dá).4多重分形分析方法本文在分形理論的基礎(chǔ)上,通過詳細(xì)分析配分函數(shù)法計算多分形譜的含義,得到以下結(jié)論:1)配分函數(shù)法計算的多重分形譜并不能描述結(jié)構(gòu)本身的分布特征