數(shù)學變式訓練

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學變式訓練數(shù)學變式訓練激活學生思維

松江二中（集團）初級中學劉艷杰

《上海市中小學數(shù)學課程標準》中指出：“數(shù)學素養(yǎng)是人們通過數(shù)學教育以及自身的實踐和認識活動，所獲得的數(shù)學基礎知識、基本技能、數(shù)學思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學思維品質(zhì)和解決問題能力的總和。數(shù)學課程及其教學，不僅要關(guān)注學生對數(shù)學知識、技能、思想方法的把握，關(guān)注其數(shù)學能力的發(fā)展，而且要有助于學生理解數(shù)學的社會價值，領(lǐng)會數(shù)學文化的內(nèi)涵，體驗數(shù)學的思維方式和方法，形成良好的數(shù)學思維品質(zhì)，促使學生的數(shù)學素養(yǎng)得到全面提高。〞可見，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維是新課程理念下的重要目標。如何培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維呢?經(jīng)過教學實踐發(fā)現(xiàn)，合理利用變式訓練能有效激活學生數(shù)學思維。

那么，什么是數(shù)學變式訓練呢？所謂數(shù)學變式訓練,即是指在數(shù)學教學過程中對概念、性質(zhì)、定理、公式,以及問題從不同角度、不同層次、不可憐形、不同背景做出有效的變化,使其條件或結(jié)論的形式或內(nèi)容發(fā)生變化,而本質(zhì)特征卻不變.也就是所謂“萬變不離其宗〞.

變式訓練是提高學生的發(fā)散思維能力,化歸、遷移思維能力和思維靈活性的有效方法之一.數(shù)學教學改革專家顧泠沅創(chuàng)立的青浦四條經(jīng)驗中,其中一條“組織好課堂層次序列,進行變式教學〞,就強調(diào)了變式訓練的重要性.運用變式訓練可以提高數(shù)學題目的利用率,提高教學有效性,起到綜合運用知識,有效培養(yǎng)學生綜合思維能力,充分理解數(shù)學本質(zhì)屬性的作用.這同時也符合新課程標準的基本理念.下面結(jié)合課堂教學實踐談談在數(shù)學教學中如何運用變式訓練，激活數(shù)學思維。

一、概念的變式訓練

數(shù)學思維能力的發(fā)展離不開數(shù)學概念的形成，特別是對概念的內(nèi)涵和外延的理解。因而在概念形成過程中的訓練主要是通過多方面浮現(xiàn)概念的外延和觸及一些“貌似神離〞的狀況，以便突出概念的內(nèi)涵，使學生能深刻、確鑿地理解把握概念。

如在學習平方根的概念時，可以設計這樣的變式訓練，例題：16的平方根是。

此例題主要是讓學生理解、把握平方根的概念。但本節(jié)課還介紹了“正的平

方根，負的平方根這兩個概念，學生在剛剛學習這幾個概念時，往往區(qū)分不開，為了讓學生加深對幾個概念的理解，我在例題的基礎上設置了變式1，

變式1：16的正的平方根是。16的負的平方根是。通過這個變式1和例題的對比學生可以很明了的理解幾個概念的聯(lián)系和區(qū)別，加深對概念的內(nèi)化理解。

在平方根這節(jié)課的教學時，還介紹了平方根、正的平方根、負的平方根的符號表達式，但在應用時學生對符號式和文字表達理解不夠深刻，往往到初三復習時還會出現(xiàn)理解錯誤，因此在變式1的基礎上我又出示了變式2，

變式2：

16的正的平方根是。

學生在解決變式2時出錯率很高，他們把此題錯誤的理解成“求16的正的平方根，得到的答案多數(shù)為4〞，這正是學生沒有理解好符號與文字表達的關(guān)系的具體表達。在學生出錯的基礎上講解，此題要經(jīng)過兩次運算，先算

16等于4，

再算4的正的平方根等于2。學生聽完講解恍然大悟，理解了自己出錯的真正原因，加深了對符號表達和概念的理解。

接下來，為了鍛煉學生對概念的靈活把握和應用，培養(yǎng)學生逆向思維的能力我又設置了下面的變式，

變式3：已知a的平方根是?0.5，則a=。

通過這個變式訓練學生對平方根的概念把握更加靈活，同時也培養(yǎng)了數(shù)學思維能力。

二、公式、法則、定理等的變式訓練

數(shù)學中的公式、法則、定理是數(shù)學知識中的重要內(nèi)容，它們是解決數(shù)學問題的重要理論基礎，必需讓學生靈活，熟練的把握。在教學中我們要擅長利用變式訓練引導學生把握公式、法則、定理中的各要素之間的聯(lián)系和本質(zhì)規(guī)律，使學生能加深理解和靈活運用。

如在學習圓的切線的判定定理時，對定理“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線〞的講授我就采用了變式訓練，以幫助學生多方位靈活理解和把握。我給學生強調(diào)了定理中的關(guān)鍵要素：過半徑外端、垂直，出示變式判斷題，并給出圖示說明，讓學生理解正誤的原因。

(1)經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線．(×)圖1(2)垂直于半徑的直線是圓的切線．(×)圖2

(3)過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．(√)圖3

通過上面的變式判斷，學生很輕松的把握了切線的判定定理，避免了機械背誦、生搬硬套，又從多方位理解了定理的實質(zhì)，增加了思維的靈活性。還有如對完全平方公式“式訓練：

計算：(1)

(3)

圖1圖2圖3

?a?b?2?a2?2ab?b2〞的新課講授時我設置了如下的變?,(2)?3a?b??,22?x?2y?2??x?2y??,(4)??3a?b??。

2計算中的(1)、(2)是直接運用公式，熟練公式；(3)主要是讓學生理解可以把“?x〞看做公式中的“a〞套入和的完全平方公式或者把“2y〞看做公式中的“a〞，“x〞看做公式中的“b〞套入差的完全平方公式；(4)可以讓學生把“?3a〞看做公式中的“a〞套入差的完全平方公式或者先變形為“(?3a?b)2?(3a?b)2〞再計算。通過這幾個計算可以讓學生靈活確鑿的

確定公式中的a和b并正確選擇公式，正確計算。

這些訓練由淺入深，實實在在的加強了學生對完全平方公式的內(nèi)化理解，提高了對公式熟練應用的程度。

三、題目形式的變式訓練

題目形式的變式訓練就是讓學生同時練習那些在知識、方法上有關(guān)聯(lián)，而在形式上又不同的題目組成的題組，使學生對一些基本知識、方法及重要的數(shù)學思想加深領(lǐng)會，達到觸類旁通的境地。

1、多題一解，培養(yǎng)學生觸一通類的數(shù)學思維能力。

如在確定二次函數(shù)的解析式教學時，我設置了這樣一組變式題目：例題：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A??3,0?、B?1,0?、C?0,?3?三點，求這個二次函數(shù)的解析式。例題的教學采取學生議練，教師點撥、評講相結(jié)合，著重引導學生解決如何設所求函數(shù)的解析式、怎樣建立方程組。

從例題出發(fā)，組織變式訓練，提高訓練效率。變式1：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過一次函數(shù)y??x?3的圖像與x軸、y軸

的交點A、C，并且經(jīng)過點B?1,0?，求這個二次函數(shù)的解析式。

變式2：已知拋物線經(jīng)過兩點B?1,0?、C?0,?3?。且對稱軸是直線x??1，求這條拋物線的解析式。

變式3：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點?1,0?，且在y軸上的截距是-1，它與二次函數(shù)的圖像相交于A1,m、B???n,4?兩點，又知二次函數(shù)的對稱軸是直線

x?2，求這兩個函數(shù)的解析式。

變式題的教學，先讓學生議練，教師在知識的轉(zhuǎn)折點上提出一些關(guān)鍵性的問題進行點撥，在思路上為學生掃除障礙。

對變式1，先讓學生比較它與例題的已知條件有什么不同？再思考怎樣轉(zhuǎn)化為例題求解，然后探討怎樣求A、C兩點的坐標。對變式2，引導學生抓住“對稱軸是直線x??1〞利用對稱性，求點A的坐標。對變式3，要擅長應用“化整為零、各個擊破〞的思想方法把一個綜合題分解為幾個簡單問題來解決，逐步引導學生把變式3分解為三個簡單問題：①求一次函數(shù)的解析式；②求m、n的值并畫出草圖分析；③求二次函數(shù)的解析式（轉(zhuǎn)化為變式2）。

這組題目最終都是通過設二次函數(shù)一般式，利用三點法建立方程組來求解。通過這組“多題一解〞變式訓練，既可穩(wěn)定加強解題思想方法，又讓學生通過多題一解，抓住本質(zhì)，觸一通類，培養(yǎng)學生的變通能力，發(fā)展智力，激活思維，收到舉一反三，少而勝多的效果。

2、

一題多變，培養(yǎng)學生思維的深刻性。

如在平行四邊行形的判定定理3的教學時，設置了這樣一組變式題目：

例題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是OB、OD的中點，四邊形AECF是平行四邊形嗎？請說明理由。（引導學生分析，完成此例題）

變式訓練：

變式1:若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為點E、F三等分對角線BD，其它條件不變，問上述結(jié)論成立嗎？為什么？

變式2:若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為BE=DF，其它條件不變，結(jié)論成立嗎？為什么？

變式3:若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為E、F為直線BD上兩點且BE=DF，結(jié)論成立嗎？為什么？

變式4:如圖2：在平行四邊形ABCD中，H、G、E、F分別為線段BO、DO、AO、CO的中點，問四邊形EGFH是平行四邊形嗎？為什么？若結(jié)論成立，那么直線EG、FH有什么位置關(guān)系？

圖1

圖2

圖3

變式5:如圖3在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個點；G、H是對角線BD上的兩點。已知AE=CF，DG=BH，上述結(jié)論仍舊成立嗎？

這組題中，例題主要是利用“對角線相互平分