數(shù)學建模線性規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃試驗

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學建模線性規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃試驗1、線性規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃試驗

1、加工奶制品的生產(chǎn)計劃

（1）一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1,A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在甲車間用12小時加工成3千克A1產(chǎn)品，或者在乙車間用8小時加工成4千克A2產(chǎn)品.根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的A1、A2產(chǎn)品全部能售出，且每千克A1產(chǎn)品獲利24元，每千克A2產(chǎn)品獲利16元.現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動時間為480小時，并且甲車間的設(shè)備每天至多能加工100千克A1產(chǎn)品，乙車間的設(shè)備的加工能力可以認為沒有上限限制.試為該廠制訂一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大，并進一步探討以下3個附加問題:

（i）若用35元可以買到1桶牛奶，是否應(yīng)作這項投資?若投資，每天最多購買多少桶牛奶?

(ii)若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給臨時工人的工資最多是每小時幾元?

(iii)由于市場需求變化，每千克A1產(chǎn)品的獲利增加到30元，是否應(yīng)改變生產(chǎn)計劃?

(2)進一步，為增加工廠獲利，開發(fā)奶制品深加工技術(shù).用2小時和3元加工費，可將1千克A1加工成0.8千克高級奶制品B1，也可將1千克A2加工成0.75千克高級奶制品B2，每千克B1可獲44元，每千克B2可獲32元.試為該廠制訂一個生產(chǎn)銷售計劃，使每天獲利最大，并進一步探討以下問題:

(i)若投資30元可增加供應(yīng)1桶牛奶，投資3元可增加1小時勞動時間，是否應(yīng)作這項投資?若每天投資150元，或賺回多少?

(ii)每千克高級奶制品B1,B2的獲利經(jīng)常有10%的波動，對制訂的生產(chǎn)銷售計劃有無影響?若每千克B1的獲利下降10%，計劃是否應(yīng)作調(diào)整?

解：由已知可得1桶牛奶，在甲車間經(jīng)過十二小時加工完成可生產(chǎn)3千克的A1，利潤為72元；在乙車間經(jīng)八小時加工完成可生產(chǎn)四千克的A2，利潤為64元。利用lingo軟件，編寫如下程序：model:

max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.

12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end

求解結(jié)果及靈敏度分析為：

Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.0000002.00000030.00000048.00000440.000000.000000ObjectiveCoefficientRanges

CurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecrease

X172.0000024.000008.000000X264.000008.00000016.00000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease2480.000053.3333380.00000350.0000010.000006.6666674100.0000INFINITY40.00000分析結(jié)果：1）從結(jié)果可以看出在供應(yīng)甲車間20桶、乙車間30桶的條件下，獲利可以達到最大3360元。

?。挠嬎憬Y(jié)果可以看出，多增加一桶可以獲利48元，大于35元，因此可以做此項投資，在結(jié)果顯示中，修改相關(guān)參數(shù)，可得還可以再購買10桶。

ⅱ）從結(jié)果中可以看出，增加一小時勞動時間可以增加利潤兩元，因此，若聘用臨時工人以增加勞動時間，工人每小時的工資應(yīng)不超過2元錢。

ⅱⅰ）從程序的運行結(jié)果看，A產(chǎn)品系數(shù)變化范圍為64到96，當A1產(chǎn)品獲利增加到30元時，系數(shù)變化為30*3=90=0;3*A2-Y>=0;

運行以上程序，得到如下結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:3460.800Totalsolveriterations:3

VariableValueReducedCostA18.0000000.000000A242.000000.000000X24.000000.000000

Y0.0000001.520000

RowSlackorSurplusDualPrice13460.8001.00000020.00000037.9200030.0000003.260000476.000000.00000050.000000-1.6800006126.00000.000000

從上面的結(jié)果可以看出，50桶牛奶中，8桶用于生產(chǎn)產(chǎn)品A1，42桶用于生產(chǎn)產(chǎn)品A2，且其中用以加工B1產(chǎn)品的A1為24千克，而A2不需要，可獲得的最大利潤為3460.8元。

?。慕Y(jié)果可以看出，每增加一桶牛奶可賺錢37.92元大于30，每增加一小時可賺錢3.26元大于3，因此應(yīng)做此項投資。若投入150元，可買5桶，所得利潤分別為：39.6和13元。

ⅱ）從靈敏度分析可知，B1和B2獲利10%的波動對生產(chǎn)銷售計劃沒有影響，而B1獲利減少10%對生產(chǎn)銷售計劃有影響。

2、下料問題

用長度為500厘米的條材，截成長度分別為98厘米和78厘米二種毛坯，要求共截出長98厘米的毛坯10000根，78厘米的20000根，問怎樣截法，(1)使得所用的原料最少?(2)使得所剩余的邊料最少?試分析兩種問題的答案是否一致.

解：由已知可得現(xiàn)有500厘米的條材，要截出98厘米和78厘米兩種不同的長度的條材，

可選擇的模式如下表所示：

選擇模式12345698厘米條材根數(shù)54321078厘米條材根數(shù)012356余料/厘米103050701232（1）欲使所用原料最少，建立如下數(shù)學模型，其中xi為采用第i中模式的切割根數(shù)：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;

5*x1+4*x2+3*x3+2*x4+x5>=10000;x2+2*x3+3*x4+5*x5+6*x6>=20000;

運行結(jié)果如下：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:5200.000Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCostX11200.0000.000000X20.0000000.4000000E-01X30.0000000.8000000E-01X40.0000000.1200000X54000.0000.000000X60.0000000.4000000E-01

RowSlackorSurplusDualPrice15200.000-1.00000020.000000-0.200000030.000000-0.1600000

從運行結(jié)果可以看出，欲使所用原料最少，應(yīng)采用第一種模式的截法1200根，第五種模式的截法4000根，做簡單計算可得余料為60000cm。

（2）欲使剩余的邊料最少，建立如下數(shù)學模型，并運行相應(yīng)程序：min=10*x1+30*x2+50*x3+70*x4+12*x5+32*x6;5*x1+4*x2+3*x3+2*x4+x5>=10000;x2+2*x3+3*x4+5*x5+6*x6>=20000;運行程序，結(jié)果如下：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:60000.00Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCostX11200.0000.000000X20.00000020.00000X30.00000040.00000X40.00000060.00000X54000.0000.000000X60.00000020.00000

RowSlackorSurplusDualPrice160000.00-1.00000020.000000-2.00000030.000000-2.000000

從運行結(jié)果可以看出，最少邊料依舊是60000cm，采用第一種模式裁1200根，采用第5中模式裁4000根，這與欲使使用原料最少的結(jié)果是一致的。

3、投資問題

假設(shè)投資者有如下四個投資的機遇.

(A)在三年內(nèi)，投資人應(yīng)在每年的年初投資，每年每元投資可獲利息0.2元，每年取息后可重新將本息投入生息.

(B)在三年內(nèi)，投資人應(yīng)在第一年年初投資，每兩年每元投資可獲利息0.5元.兩

年后取息，可重新將本息投入生息.這種投資最多不得超過20萬元.

(C)在三年內(nèi)，投資人應(yīng)在其次年年初投資，兩年后每元可獲利息0.6元，這種投資最多不得超過15萬元.

(D)在三年內(nèi)，投資人應(yīng)在第三年年初投資，一年內(nèi)每元可獲利息0.4元，這種投資不得超過10萬元.假定在這三年為一期的投資中，每期的開始有30萬元的資金可供投資，投資人應(yīng)怎樣決定投資計劃，才能在第三年底獲得最高的收益.

解：用xiA，xiB，xiC，xiD（i＝1，2，3）表示第i年初給項目A，B，C，D的投資金

額，則

max1.2x3A＋1.6x2C＋1.4x3Ds．t．x1A+x1B=30

1.2x1A=x2A+x2C

x3B＋x3A+x3D=1.2x2A+1.5x1Bx1B≤20x2C≤15x3D≤10程序如下：MODEL:

1]max=1.2*X3a+1.6*X2c+1.4*X3d;2]X1a+X1b=30;

3]X2a+X2c-1.2*X1a=0;

4]X3b+X3a+X3d-1.2*X2a-1.5*X1b=0;5]@bnd(0,X1b,20);6]@bnd(0,X2c,15);7]@bnd(0,X3d,10);END

運行結(jié)果如下：

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:4