高數(shù)上總復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)五大部分內(nèi)容：一、函數(shù)與極限二、導(dǎo)數(shù)與微分三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、不定積分五、定積分及其應(yīng)用1注1：試卷內(nèi)容覆蓋教材中第一章至第六章，主要測(cè)試學(xué)生對(duì)一元函數(shù)的微積分、微分方程的基本思想、基本理論及計(jì)算技巧的掌握情況。注2：課本中帶有星號(hào)＊的內(nèi)容不考；另外不考的內(nèi)容有：第二章第四節(jié)中的相關(guān)變化率、第二章第五節(jié)中的微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；第三章第七節(jié)曲率以及第八節(jié)方程的近似解；第六章第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用。2一、函數(shù)與極限基本要求1、掌握極限四則運(yùn)算法則，掌握用兩個(gè)重要極限公式求極限的方法，了解無(wú)窮小量及其性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較和等價(jià)無(wú)窮小替換。2、理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念。掌握判斷簡(jiǎn)單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、零點(diǎn)定理、介值定理）及其應(yīng)用。3i）函數(shù)極限存在的充要條件。注：在討論某一函數(shù)在點(diǎn)x0處的極限，而該函數(shù)在點(diǎn)x0處左右兩邊的表達(dá)式不同時(shí)，一般都要用這個(gè)結(jié)論。ii）極限的性質(zhì)函數(shù)極限的唯一性、函數(shù)極限的局部有界性、函數(shù)極限的局部保號(hào)性、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系iii）極限存在的準(zhǔn)則1）夾值同限原理（夾逼準(zhǔn)則）2）單調(diào)有界原理1、函數(shù)極限4定義.若則稱

是比

高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱

是比

低階的無(wú)窮小;則稱

是

的同階無(wú)窮小;則稱

是關(guān)于

的k階無(wú)窮小;則稱

是

的等價(jià)無(wú)窮小,記作2、無(wú)窮小及無(wú)窮小的比較53、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)間斷點(diǎn):設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若函數(shù)f(x)有下列情形之一：（1）在x=x0沒(méi)有定義；（2）雖在x=x0有定義，但不存在；（3）雖在x=x0有定義，且存在，但則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)，而點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。64、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1）（有界性與最大值、最小值定理）：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界，且一定能取得它的最大值與最小值。2）（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a).f(b)<0)，則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得

3）（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，則對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。75、極限的計(jì)算方法1）利用函數(shù)的連續(xù)性2）利用極限的四則運(yùn)算法則3）利用“無(wú)窮小與有界函數(shù)的積仍是無(wú)窮小法則”。若，函數(shù)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有界，則4）利用“等價(jià)無(wú)窮小替換定理”設(shè)存在，則5）利用“夾逼準(zhǔn)則”6）利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則”。7）利用兩個(gè)重要極限8常用等價(jià)無(wú)窮小:

～～～～～～～～～9例11)2)BB10例2求下列極限11極限運(yùn)算法則P451(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)4,5極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限P521(4)，(5)，(6);2(2)，(3)，(4);4(2),(3)無(wú)窮小的比較

P553;5(2),(3),(4)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

P614;5連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性P663(5),(6),(7);4(4),(5),(6);6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

P702;3;5習(xí)題課P711、2、3、4、9(2),(3),(6);10;11;12;1312二、導(dǎo)數(shù)與微分基本要求：1、理解導(dǎo)數(shù)的概念并能熟練利用導(dǎo)數(shù)的定義求解一些特殊形式函數(shù)的極限；2、了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義，了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；3、掌握求導(dǎo)數(shù)的基本公式及四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法、隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的方法；4、會(huì)求函數(shù)的微分。13一、導(dǎo)數(shù)的定義1、函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：2、導(dǎo)數(shù)概念是函數(shù)變化率的精確描述。3、若極限不存在,則稱函數(shù)在處不可導(dǎo)。144、單側(cè)導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)

定理

函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。

5、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.導(dǎo)數(shù)在幾何上表示:曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即

（其中是切線的傾角）6、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.定理

如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。15二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法1、直接求導(dǎo)法2、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：常用求由多個(gè)因子的積、商、冪或根式組成的函數(shù)或冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。冪指函數(shù)3、用反函數(shù)的求導(dǎo)法則求之。16六、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法定理設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定,若有反函數(shù),與均可導(dǎo)且,則

即

2、若、還是二階可導(dǎo)的,則

17例4設(shè)函數(shù)由方程所確定，求函數(shù)在處的微分。例1設(shè)存在,求例2

設(shè)

，求

例3已知

=

則——————18例51)2)C23)4)5)19例6.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①得再代入②得求①P1231120例7.設(shè)求提示:分別用對(duì)數(shù)微分法求答案:21導(dǎo)數(shù)概念

P836,7,8,11,16(2),18,19函數(shù)的求導(dǎo)法則P942(2),(8),(10);3(2),(3);6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);10;11(3),(8),(10);14隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)P1081(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);函數(shù)的微分P1201;3(4),(7),(8),(9),(10);4;習(xí)題課

P1221,2,3,6;7;8(3),(4),(5);9(2);11;12(2);1322三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用基本要求：1、掌握幾個(gè)微分中值定理的條件和結(jié)論及其應(yīng)用；2、會(huì)用洛必達(dá)法則求常見(jiàn)不定式的極限；3、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間，進(jìn)而用來(lái)證明一些不等式問(wèn)題，掌握求函數(shù)極值和最值的方法；4、會(huì)判定曲線的凹凸性，并求出凹凸區(qū)間，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。23（一）微分中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理（二）洛必達(dá)法則（三）泰勒公式（四）函數(shù)的單調(diào)性、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)函數(shù)的極值、最大值、最小值（五）函數(shù)圖形的描繪241、羅爾定理若函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)使得252、拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）可導(dǎo)；則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)使得263、柯西中值定理若函數(shù)及滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）可導(dǎo)；（3）對(duì)任一則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)使得27定理1設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，及都存在且（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）則的未定式的情形：（二）洛必達(dá)法則未定式：28（三）函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1、函數(shù)單調(diào)性的判定法定理設(shè)函數(shù)在[a，b]連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)1）若在（a，b）內(nèi)則函數(shù)在[a，b]上單調(diào)增加；2）若在（a，b）內(nèi)則函數(shù)在[a，b]上單調(diào)減少。29定理2設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的。2、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)30定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。1）若時(shí)，，而時(shí)，則在處取得極大值；2）若時(shí)，，而時(shí)，則在處取得極小值；3）若時(shí)，的符號(hào)保持不變，則在處沒(méi)有極值。31定理3（第二充分條件）設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值；2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值。注1）若在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，則該駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。2）若函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為0，則還得用一階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)左右鄰近的符號(hào)來(lái)判定。32

函數(shù)圖形的描繪利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的一般步驟如下：1、確定函數(shù)的定義域，討論函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如奇偶性、對(duì)稱性和周期性等；2、求出使和；及不存在的點(diǎn)；3、確定函數(shù)的上升或下降區(qū)間，圖形的凹凸區(qū)間以及極值；4、定漸近線；5、描點(diǎn)作圖33例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為34對(duì)應(yīng)例2.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)及均為拐點(diǎn).凹凹凸35例3.

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.36例4設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在使.37例51）B2）3）384）5）39微分中值定理

P1327,8,9,