第五章 統(tǒng)計(jì)推斷

第五章統(tǒng)計(jì)推斷&5.4參數(shù)的區(qū)間估計(jì)&5.1統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)概述&5.2平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)&5.3百分?jǐn)?shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)推斷的意義和內(nèi)容統(tǒng)計(jì)推斷參數(shù)估計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷的前提條件：

資料必須來自隨機(jī)樣本；

統(tǒng)計(jì)數(shù)的分布規(guī)律必須已知。統(tǒng)計(jì)推斷是據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)的分布和概率理論，由樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)推論總體參數(shù)的方法。一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)二、統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的基本原理三、統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的基本步驟四、統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的幾何意義五、兩尾測(cè)驗(yàn)和一尾測(cè)驗(yàn)六、統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤&5.1統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)概述

μ≠μ0？統(tǒng)計(jì)假設(shè)：在科學(xué)研究中，往往首先要提出一個(gè)有關(guān)某一總體參數(shù)的假設(shè)。這種假設(shè)稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。

μ0=300kg，σ=75kg原品種n=25，x=330kg－

μ新品系一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)xi=μ0+εi

(i=1，2，…，n)從服從正態(tài)分布N(μ0=300，σ=75)的原品種總體中，隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，則樣本觀察值可表示為xi=μ+εi(i=1，2，…，n)(4.2)而從新品系總體中隨機(jī)抽取的樣本觀察值，則為新品系與原品種的產(chǎn)量差異為τ=μ-μ0(4.3)xi

=

μ0

+τ+

εi

(i=1，2，…，n)(4.4)將(4.3)代入(4.2)得二、統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的基本原理對(duì)一個(gè)樣本的n個(gè)觀察值xi求平均數(shù)上式說明，與μ0的表面差異(-μ0)是由真實(shí)差異(μ-

μ0)和試驗(yàn)誤差εi構(gòu)成。

因xi=

μ0

+τ+

εi(i=1，2，…，n)統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)(statisticalhypothesistest):

是指據(jù)某種需要，對(duì)末知的或不完全清楚的總體提出一些假設(shè)（Hypothesis），由樣本實(shí)際結(jié)果經(jīng)過一定的概率測(cè)驗(yàn)，作出接受或否定假設(shè)的推論。小機(jī)率原理:

概率很小的事件，在一次試驗(yàn)中是不至于發(fā)生的。三、統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的基本步驟例5.1設(shè)某地區(qū)的單地小麥品種一般畝產(chǎn)300kg，多年種植結(jié)果獲得標(biāo)準(zhǔn)差為75kg?，F(xiàn)有某新品種n=25,平均數(shù)330kg，問新品種樣本所屬總體與當(dāng)?shù)仄贩N這個(gè)總體是否差異顯著。第一步統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0:第二步計(jì)算統(tǒng)計(jì)量判定是否屬小概率事件的概率值叫顯著水平(significantlevel),一般以α表示。農(nóng)業(yè)上常取0.05和0.01。凡計(jì)算出的概率p小于α的事件即為小概率事件。u=2>u0.05=1.96，即對(duì)應(yīng)的概率p＜0.05。表明30Kg差異屬于試驗(yàn)誤差的概率小于5%。根據(jù)小概率原理，應(yīng)否定，即表面差異不全為試驗(yàn)誤差，新品系與原品種之間存在真實(shí)差異。第三步統(tǒng)計(jì)推斷

若│ｕ│＜

1.96，故p＞5%

，接受假設(shè)H0，差異不顯著。若2.58＞│ｕ│≥

1.96，故1%＜p≤5%，拒絕假設(shè)H0，差異達(dá)顯著。若│ｕ│≥

2.58，故p≤1%，拒絕假設(shè)H0，差異達(dá)極顯著。第四步依題意寫結(jié)論

＊上例u=2>1.96，新品種產(chǎn)量顯著高于當(dāng)?shù)仄贩N。統(tǒng)計(jì)上，當(dāng)1%＜p≤5%稱所測(cè)差異顯著，p≤1%稱差異極顯著，p＞5%稱差異不顯著，所以，統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)又叫差異顯著性測(cè)驗(yàn)(differencesignificancetest)顯著水平a的選擇應(yīng)根據(jù)試驗(yàn)要求和試驗(yàn)結(jié)論的重要性而定。H0：μ=μ0=300kg的接受區(qū)域?yàn)?四、統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的幾何意義小麥品種例x-＜μ0－1.96σx-()μ0＋1.96σx-()＜即270.6＜＜329.4--x≤(μ0－1.96σx-)σx-x≥(μ0＋1.96)或-否定區(qū)域?yàn)?即＜270.6或>329.4五、兩尾測(cè)驗(yàn)和一尾測(cè)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)中H0：μ=μ0具有兩個(gè)否定區(qū)，HA：μ≠μ0，這類測(cè)驗(yàn)稱兩尾測(cè)驗(yàn)(two-tailedtest)，在假設(shè)測(cè)驗(yàn)中所考慮的概率為左右兩尾概率之和。象這種在假設(shè)測(cè)驗(yàn)中所考慮的概率只用一尾概率的測(cè)驗(yàn)稱為一尾測(cè)驗(yàn)(one-tailedtest)(圖5.2)。圖5.3選用一尾測(cè)驗(yàn)還是兩尾測(cè)驗(yàn)，應(yīng)根據(jù)專業(yè)知識(shí)而定。x-當(dāng)H0：μ≥μ0，HA：μ＜μ0，則否定區(qū)在分布的左尾。當(dāng)H0：μ≤μ0，HA：μ＞μ0，則否定區(qū)在分布的右尾。x-六、統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤一、兩類錯(cuò)誤的概述第一類錯(cuò)誤：H0本來是真，而作出了拒絕的判斷所犯的錯(cuò)誤稱”棄真”錯(cuò)誤或α錯(cuò)誤。第二類錯(cuò)誤：H0本來是不真，而作出了接受的判斷所犯的錯(cuò)誤稱”取偽”錯(cuò)誤或β錯(cuò)誤。犯第一類錯(cuò)誤的概率：以小麥品種為例，H0；=0=300,=0.05接受H0，即接受=0=300否定H0，實(shí)際上是否定=0=300圖5.1由平均數(shù)的分布可知，當(dāng)當(dāng)現(xiàn)仍用小麥品種一例來說明β值的計(jì)算。如果H0：μ=μ0=300㎏是錯(cuò)誤的，正確的是μ=315㎏，并設(shè)標(biāo)準(zhǔn)誤σ=15，則兩平均數(shù)的分布如圖5.6。那么β值的計(jì)算方法為u1=270.6-31515=-2.96u2=329.4-31515=0.96查附表1，P(u＜-2.96)=0.0015，P(u＜0.96)=0.8315。故有β=P(u＜0.96)-P(u＜-2.96)=0.8315-0.0015=0.83或83%。如果提高顯著水平，即α值取小些，則c1、c2線將向左和向右移動(dòng)，因而β值會(huì)增大。如果假設(shè)新品種的μ=345㎏，離300㎏更遠(yuǎn)些(圖4.7)，則β=0.15=15%。二、降低兩類錯(cuò)誤的措施1、在樣本容量n一定時(shí)，提高顯著水平，可以減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，但同時(shí)增大了犯第二類錯(cuò)誤的概率。

2、在n和顯著水平相同的條件下，真正的總體平均數(shù)

和假設(shè)的平均數(shù)

0的相差越大，則犯第二類錯(cuò)誤的概率越小。3、為了降低犯兩類錯(cuò)誤的概率，需采用一個(gè)較低的顯著水平，如α=0.05。同時(shí)適當(dāng)增加樣本容量。如第一節(jié)小麥產(chǎn)量一例，如n從25增至225，則-σx=75/√225=5㎏由此計(jì)算的接受區(qū)間變小，為290.2㎏~309.8㎏。若μ=315㎏，則不能發(fā)現(xiàn)H0：μ=μ0為錯(cuò)誤的概率β=0.1492=14.92%(圖4.8)。4、如顯著水平一定，則改進(jìn)試驗(yàn)技術(shù)和增加樣本容量可以有效的降低犯兩類錯(cuò)誤的概率。&5.2平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)一、t分布用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(u分布)計(jì)算所作假設(shè)的概率進(jìn)行的假設(shè)測(cè)驗(yàn)叫u測(cè)驗(yàn)(u-test)_-u=μ0xσx-σ(σx-=√n)sσssx-=√n根據(jù)抽樣分布有叫樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，是σx-的估計(jì)值。sx-當(dāng)n≥30N(0,1)?？捎胾測(cè)驗(yàn)測(cè)驗(yàn)H0：μ=μ0μ0xx-_s-服從t分布，df=n-1。當(dāng)n＜30μ0xx-_s-μ0xx-_s-t=t分布又叫學(xué)生氏t分布。其概率密度函數(shù)為f(t)=(df-1)2[]！√

df(1+dft2)(df-2)2[]！df+12()_(-∞＜t＜∞)因此，t分布的參數(shù)為df，其分布曲線為一組對(duì)稱曲線，圍繞μt=0向兩側(cè)遞降(圖5.3)。其累積概率函數(shù)為Fdf(t)=P(T＜t)=∫t∞_f(T)dT于是左右兩尾概率為2[1-Fdf(t)](圖5.4)。例如，當(dāng)df=3時(shí)，查這p360附表4，t0.05,3=3.182。這表明從3.182~∞的概率和從-3.182~-∞的概率各為0.025。t0.01,3=5.841，

df不變時(shí):P越大，t越小，反之…兩尾測(cè)驗(yàn)，H0：μ=μ0t≥tα(df)，否定H0，反之接受H0。一尾測(cè)驗(yàn)，H0：μ≤μ0t≥t2α(df)，否定H0，反之接受H0。若H0：μ≥μ0t≤-t2α(df),否定H0，反之接受H0。這種用t分布計(jì)算所作假設(shè)的概率,進(jìn)行的假設(shè)測(cè)驗(yàn)叫t測(cè)驗(yàn)(t-test)(圖5.5)二、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)差異的假設(shè)測(cè)驗(yàn)1.σ已知，或σ未知，但為大樣本(n＞30)時(shí)用u測(cè)驗(yàn)。2.當(dāng)σ未知且為小樣本時(shí)，用t測(cè)驗(yàn)。[例5.2]某地雜交玉米在原種植規(guī)格下一般畝產(chǎn)350㎏，現(xiàn)為了間套作，需改成一種新種植規(guī)格,新規(guī)格下8個(gè)小區(qū)產(chǎn)量分別為360、340、345、352、370、361、358、354(㎏/畝)。問新規(guī)格與原規(guī)格下玉米產(chǎn)量差異是否顯著？第一步H0：μ=μ0=350㎏

，HA：μ≠μ0。第三步查附表4，t＝1.491＜t0.05,7＝2.365，p>5%,故接受H0，差異不顯著。第四步結(jié)論：認(rèn)為改變種植規(guī)格后的玉米產(chǎn)量與原種植規(guī)格的玉米產(chǎn)量無顯著差異。三、兩個(gè)樣本平均數(shù)差異的假設(shè)測(cè)驗(yàn)測(cè)驗(yàn)兩個(gè)處理的效果是否一樣。（一）成組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較將試驗(yàn)單位完全隨機(jī)分為兩組，再隨機(jī)各實(shí)施一處理，這樣得到的數(shù)據(jù)稱為成組數(shù)據(jù)，以組的平均數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn)。1.已知時(shí)，用u測(cè)驗(yàn)2.末知且時(shí)，用u測(cè)驗(yàn)sx1-x2--=√s12n1s22n2+--x2)(x1_st′=x1-x2--由此計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)化離差不服從t分布。Cochran和Con提出近似t測(cè)驗(yàn)法，用t’與t’α相比較，t’＞t’α否定H0。t′α=s2x2-tα(df2)tαs2x1-(df1)+x2-s2x1-s2+但n1=n2=n,t’α=

tα(df)近似df=n-1的t分布。(5.19)不要求！[例5.2]據(jù)以往資料，已知某小麥品種每平方米產(chǎn)量的平均方差為0.4(kg)2。今在該品種的一塊地上用A、B兩法取樣，Ａ法取12個(gè)樣點(diǎn)，得每平方米產(chǎn)量為1.2(kg)；B法取8個(gè)樣點(diǎn)，得1.4(kg)。試比較A、B兩法的每平方米產(chǎn)量是否有顯著差異？因?yàn)閨u|＜u0.05=1.96，故P＞0.05，推斷：接受H0:。結(jié)論：A、B兩種取樣方法所得的每平方米產(chǎn)量沒有顯著差異。甲生產(chǎn)線（x2）乙生產(chǎn)線（x1）74715654717862576269736361 7262707874776554586362596278536770655354605669584951536662585866715356607065585669687052555557甲、乙兩條生產(chǎn)線日產(chǎn)量記錄例5.3：某食品廠在甲、乙兩條生產(chǎn)線上各測(cè)了30個(gè)日產(chǎn)量如下表所示。試檢驗(yàn)兩條生產(chǎn)線的平均日產(chǎn)量有無顯著差異。甲生產(chǎn)線（x2）乙生產(chǎn)線（x1）74715654717862576269736361 7262707874776554586362596278536770655354605669584951536662585866715356607065585669687052555557本例兩個(gè)樣本均為大樣本，符合檢驗(yàn)條件。第一步統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0:第二步計(jì)算甲、乙兩條生產(chǎn)線日產(chǎn)量記錄|u|=3.28>u0.01=2.58，故說明甲生產(chǎn)線日均產(chǎn)量極顯著高于乙生產(chǎn)線日均產(chǎn)量。[例5.4]有一水稻施肥試驗(yàn)，處理為甲乙兩種施肥方法，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，試驗(yàn)結(jié)果見表4.1。試測(cè)驗(yàn)兩種施肥方法水稻產(chǎn)量有無顯著差異。表5.1兩種施肥方法水稻小區(qū)產(chǎn)量(㎏)x1(甲)x2(乙)8.29.68.78.99.48.510.711.29.210.911.110.8H0：μ1=μ2

，HA：μ1≠μ2，α=0.01-x1=8.88(㎏)-x2＝10.65(㎏)df=df1+df2=10查附表3，t0.01(10)=3.169，t=4.77＞t0.01(10)，故否定H0，結(jié)論：甲乙兩種施肥方法的水稻產(chǎn)量有極顯著的差異。[例5.5]研究矮壯素使玉米矮化的效果，抽穗期測(cè)定噴施小區(qū)玉米8株、對(duì)照區(qū)9株，株高結(jié)果如表4.2。試作測(cè)驗(yàn)。表5.3噴矮壯素與否的玉米株高(㎝)x1(噴矮壯素)x2(對(duì)照)160160200160200170150210170270180250270290270230170Σ=1410Σ=2100H0：μ1≥μ2

，HA：μ1＜μ2，α=0.05-x1=176.3(㎝)-x2=233.3(㎝)SS1=3787.5SS2=18400se2=18400+3787.57+8=1479.17=18.688(㎝)sx1-x2--=√1479.17(+8191)df=df1+df2=7+8=15查附表3，t0.1(15)=1.753，t=3.04＞t0.1(15)，故否定H0，即認(rèn)為玉米噴矮壯素后，株高顯著矮于對(duì)照。176.3-233.318.688=-3.04=t[例5.6]調(diào)查玉米三交種5塊地和單交種7塊地的產(chǎn)量、平均數(shù)、均方見表5.4。試測(cè)驗(yàn)三交種和單交種產(chǎn)量有無顯著差異。表5.4玉米三交種、單交種產(chǎn)量(㎏/畝)產(chǎn)量ni

三交種31028527036030553061167.5233.50單交種330310315325320318322732043.06.14s2xi-s2iH0：μ1=μ2，HA：μ1≠μ2，α=0.05S2x1-S12n11167.55===233.50S2x2-S22n243.67===6.14sx1-x2--=√s12n1s22n2+√233.5+6.14==15.48據(jù)遺傳學(xué)理論或F測(cè)驗(yàn)σ12≠σ22，用t′測(cè)驗(yàn)。306-32015.48=-0.904=t′查附表3，t0.05(4)=2.776，t0.05(6)=2.447233.5×2.776+6.14×2.447233.5+6.14=2.768=t′0.05現(xiàn)實(shí)得t=0.904＜tα′故p＞0.05。所以不能否定H0，認(rèn)為玉米三交種和單交種的產(chǎn)量無顯著差異。(見4.19式)（二）成對(duì)數(shù)據(jù)的比較

當(dāng)試驗(yàn)單元間差異較大，用完全隨機(jī)試驗(yàn)將對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有明顯影響。可把條件一致的兩個(gè)供試單元配成一對(duì)，并設(shè)多個(gè)配對(duì)，再對(duì)每一配對(duì)兩個(gè)單元隨機(jī)獨(dú)立實(shí)施一處理，這就是配對(duì)試驗(yàn)，實(shí)為處理數(shù)為2的隨機(jī)區(qū)組試驗(yàn)，這樣得到的數(shù)據(jù)稱為成對(duì)數(shù)據(jù)。配對(duì)試驗(yàn)的觀察值模型為(x11,x21),

(

x12,

x22),……,(

x1n,

x2n)由于各配對(duì)間供試單元差異較大，可由di=x1i-x2i消除不同配對(duì)間試驗(yàn)單元的差異.因此可通過各配對(duì)差數(shù)的平均數(shù)來推斷μd=0或某一常數(shù)？-μd)(d_st=d-sd-=√nsd遵從df=n-1的t分布。sd-稱為差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤-sd=Σ(di-d)2n-1√√Σdi2–(Σdi)2/nn-1=[例5.7]為測(cè)定A、B兩種病毒對(duì)煙草的致病力，取8株煙草，每一株半葉接種A，另半葉接種B，以葉面出現(xiàn)枯斑數(shù)的多少作為致病力強(qiáng)弱的指標(biāo)，得結(jié)果于表4.4。試測(cè)驗(yàn)兩種病毒致病力的差異顯著性。表4.4兩病毒在煙葉上產(chǎn)生的枯斑數(shù)株號(hào)12345678∑Ax1i9173118782010Bx2i1011181467175差數(shù)di-16134113532H0：μd=0，HA:μd≠0d-328==4.00Sd=4.31查附表3，t0.05(7)=2.365，t=2.632＞t0.05(7)，故否定H0，接受HA，即A、B兩種病毒的致病力有顯著差異。[例5.8]表4.5為1990年川單9號(hào)和中單2號(hào)在四川省不同生態(tài)區(qū)的同田對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果。試測(cè)驗(yàn)川單9號(hào)是否比中單2號(hào)增產(chǎn)15%以上。∑125721.44728.4993.0平均476.78394.0382.75沐川443.0342.0101.0資中404.0292.3111.7：：：：名山478.8434.244.6宜賓388.0295.093.0試驗(yàn)地點(diǎn)畝產(chǎn)量差數(shù)川單9號(hào)(x1)中單2號(hào)(x2)di=x1-x2

表4.5川單9號(hào)與中單2號(hào)同田對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果(㎏/畝)H0：μd≤394.03×15%=59.1(㎏/畝)，HA:μd＞59.1α=0.05Sd=1012+…+932-9932/1212-1√=39.1599(㎏/畝)sd=-39.1599√12=11.3045(㎏/畝)-μd)(d_st=d-82.75-59.111.3045==2.632查附表3，t0.05(11)(一尾)=t0.10(11)(二尾)=1.796。因?yàn)閠＞t0.05,即P＜0.05，所以否定H0，接受HA，認(rèn)為川單9號(hào)確比中單2號(hào)增產(chǎn)15%以上。

成對(duì)數(shù)據(jù)的比較是假定各個(gè)配對(duì)的差數(shù)的分布為正態(tài)分布，具有N(0,

2);而每一配對(duì)的兩個(gè)供試單位是彼此相關(guān)的。

成組數(shù)據(jù)的比較是假定兩個(gè)樣本皆來自于各自的正態(tài)總體，兩個(gè)樣本的各個(gè)供試單位都是彼此獨(dú)立的，兩個(gè)樣本平均數(shù)的差數(shù)服從平均數(shù)為（

1-2）,方差為的正態(tài)分布。&5.3二項(xiàng)資料百分?jǐn)?shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)二項(xiàng)分布屬間斷性變數(shù)資料，但是，當(dāng)n較大，p不過小，而np和nq又不小于5時(shí)，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布，因而可將百分?jǐn)?shù)資料作正態(tài)分布處理，從而作出近似的測(cè)驗(yàn)。關(guān)于試驗(yàn)結(jié)果為兩種以上屬性的百分?jǐn)?shù)或次數(shù)資料的假設(shè)測(cè)驗(yàn)留待下章討論。

np，nq小于5時(shí)，通過二項(xiàng)展開式計(jì)算概率；

np，nq大于5，小于30時(shí)，可以進(jìn)行u測(cè)驗(yàn)，但要作連續(xù)性矯正；

np，nq大于30時(shí)，可進(jìn)行u測(cè)驗(yàn)，無需作連續(xù)矯正。即可測(cè)驗(yàn)H0:P=P0一、單個(gè)樣本百分?jǐn)?shù)(成數(shù))的假設(shè)測(cè)驗(yàn)這是測(cè)驗(yàn)?zāi)骋粯颖景俜謹(jǐn)?shù)所屬總體百分?jǐn)?shù)P與某一理論值或期望值P0的差異顯著性。由于樣本百分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤:故:若滿足正態(tài)接近法的條件,則有服從N~(0,1)，故可對(duì)H0：P=P0作u測(cè)驗(yàn)。無需連續(xù)矯正需要連續(xù)矯正[例5.7]以紫花和白花的大豆品種雜交，在289個(gè)F2植株中，紫花208株，白花81株，問這一結(jié)果是否表明大豆花色受一對(duì)等位基因控制，即F2代紫花植株與白花植株的分離是否為3∶1？H0：P=P0=0.75，HA:P≠P0α=0.05，u0.05=1.96因∣u∣=1.19＜u0.05，故P＞0.05所以，不能否定H0

認(rèn)為大豆花色遺傳符合一對(duì)等位基因的遺傳規(guī)律。

二、兩個(gè)樣本百分?jǐn)?shù)差異的假設(shè)測(cè)驗(yàn)