第4章單樣本決策

西南科技大學(xué)工業(yè)工程與設(shè)計系朱伏平10/24/2023110/24/20232

統(tǒng)計學(xué)是一門有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的科學(xué)。它提供了探索數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律的一套方法，通過對數(shù)據(jù)得收集和分析，找出內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律。一般來說，包括以下幾類問題：一、參數(shù)估計的基本問題(Thebasicparameterestimationproblems)未知分布函數(shù)的估計參數(shù)估計統(tǒng)計假設(shè)檢驗點估計區(qū)間估計參數(shù)估計的幾類問題矩估計法最大似然估計法10/24/20233統(tǒng)計量是用樣本構(gòu)造的函數(shù)，它包含了樣本中的信息，因而可以用統(tǒng)計量的值來推斷總體參數(shù)，如均值、方差、成數(shù)等。統(tǒng)計量設(shè)X1,X2,···,Xn

為總體X

的一個樣本,g(X1,X2,···,Xn)為一連續(xù)函數(shù)，若g中不含未知參數(shù)，為一個統(tǒng)計量。設(shè)x1,x2,···,xn是一組樣本觀察值，稱g(x1,x2,···,xn)是統(tǒng)計量g(X1,X2,···,Xn)的一個觀察值。則稱g(X1,X2,···,Xn)10/24/20234點估計的概念

設(shè)

是總體X分布的未知數(shù)，是用X的樣本構(gòu)造的統(tǒng)計量，的一個觀察值去估計未知參數(shù)

的真值，參數(shù)

的點估計；為

的估計量；為

的一個估計值。由于估計量是隨機變量，抽取不同的樣本，其取值是各不相同的。用一個特定樣本對總體未知參數(shù)所作的估計，僅是所有可能估計值中的一個點，故稱為點估計。

稱為并稱統(tǒng)計量10/24/2023510/24/2023610/24/20237參數(shù)的點估計(Thepointestimateparameters)常用的兩種點估計方法：矩估計法和最大似然估計法。1矩估計法：基本思想：樣本X1，……，Xn作為總體的一個代表，由其構(gòu)成的樣本一定程度上反映了總體矩，由大數(shù)定理知，樣本矩依概率收斂于總體矩。因此只要總體X的K階原點矩存在，就可以用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的估計量。按矩估計法，樣本均值是總體均值的估計量，即：10/24/20238樣本方差S2是總體方差的估計量，即：備注：矩估計法的優(yōu)缺點：優(yōu)點：簡單、直觀，并且不必知道總體的分布類型，廣泛應(yīng)用。缺點：首先它要求總體的k階原點矩存在，否則無法估計；其次它不考慮總體分布類型，不利于充分利用總體分布函數(shù)所提供的信息。10/24/20239統(tǒng)計學(xué)中對矩的定義，所謂的k階原點矩和k階中心矩，對于離散情形下，是取和之后再平均；而對于連續(xù)情況，取而代之的則是積分。而原點矩和中心矩的區(qū)別就在于對數(shù)據(jù)的處理上的不同，原點矩描述的是數(shù)據(jù)在原點0處附近的特性，中心矩則描述的是數(shù)據(jù)在其平均值附近的特性，二者的關(guān)系就好比如概率論中期望與方差的關(guān)系。10/24/202310設(shè)某種元件的壽命X～N(

,

2)，其中

,

2未知，現(xiàn)隨機測得10個元件的壽命如下(小時)1502,1453,1367,1108,16501213,1208,1480,1550,1700試估計

和

2。解：使用excel中，AVERAGE，VARP功能可得【例1】產(chǎn)品壽命均值和方差的估計10/24/20231110/24/20231210/24/20231310/24/20231410/24/20231510/24/2023161.無偏性為未知參數(shù)

的估計量，則稱為

的無偏估計量，無偏性是對估計量的最基本要求，無偏估計將不會出現(xiàn)系統(tǒng)性的估計偏差。不難證明，對任意總體X，和樣本方差S2分別是總體均值和總體方差的無偏估計。估計量的優(yōu)良準則簡稱無偏估計。若樣本均值樣本比例也是總體比例的無偏估計。

10/24/20231710/24/202318有效性是衡量估計量最重要的標準。對給定的樣本容量，有效估計是所有無偏估計量中估計誤差最小的。是參數(shù)

的兩個無偏估計，若有效；容量，是

所有無偏估計中方差最小的，是

的最小方差無偏估計，2.有效性對固定的樣本若則稱也稱為

的有效估計。樣本均值和樣本比例都是總體均值和總體比例的有效估計；而對正態(tài)總體，樣本方差也是總體方差的有效估計。

可以證明，對任意總體，10/24/20231910/24/202320n1n2n3n3

n2n13、一致性設(shè)是參數(shù)的估計量，對于任意給定的，當(dāng)時有則稱為的一致估計量。10/24/20232110/24/20232210/24/202323二、假設(shè)檢驗1、

參數(shù)假設(shè)檢驗

在總體的分布函數(shù)已知，但參數(shù)未知時，如對總體分布中的未知參數(shù)提出假設(shè)，則如何利用樣本提供的信息來檢驗這個假設(shè)，即接受此假設(shè)還是拒絕此假設(shè)。

這類統(tǒng)計問題我們稱之為參數(shù)的假設(shè)檢驗問題。參數(shù)估計和參數(shù)檢驗是利用樣本對總體的統(tǒng)計特性提供的信息，建立樣本的函數(shù)，即估計量或檢驗統(tǒng)計量，是從不同角度處理總體未知參數(shù)的兩種統(tǒng)計方法。

10/24/20232410/24/202325假設(shè)檢驗的基本思想

設(shè)總體為，建立假設(shè)這里表示原假設(shè)，表示備擇假設(shè)。假設(shè)檢驗問題，就是要建立一個合理的法則，根據(jù)這一法則，利用已知樣本作出接受原假設(shè)（即拒絕備擇假設(shè)），還是拒絕原假設(shè)（即接受備擇假設(shè)）的決策。

10/24/202326判斷“假設(shè)”的依據(jù)

實際推斷原理：概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不會發(fā)生的。如果原假設(shè)為真，則由一次抽樣計算而得的樣本觀測值，滿足不等式此事件幾乎是不會發(fā)生的。

現(xiàn)在在一次觀測中竟然出現(xiàn)了滿足上述不等式的樣本均值，則我們有理由懷疑原來的假設(shè)的正確性，因而拒絕原假設(shè)。

若出現(xiàn)的觀測值不滿足上述不等式，此時沒有足夠的理由拒絕，因此只能接受原假設(shè)。

10/24/20232710/24/20232810/24/20232910/24/202330兩類錯誤

在使用任何一個檢驗法(相當(dāng)于確定一個拒絕域)時,由于抽樣的隨機性,作出的判斷總可能會犯兩類錯誤：一是假設(shè)實際上為真時,我們卻作出拒絕的錯誤決策,稱這類“棄真”的錯誤為第一類錯誤；二是當(dāng)實際上不真時,我們卻接受了,稱這類“取偽”的錯誤為第二類錯誤。我們這里討論的檢驗問題中的顯著性水平控制了犯第一類錯誤的概率。

這種只對犯第一類錯誤的概率加以控制,而不考慮犯第二類錯誤的檢驗問題,稱為顯著性檢驗問題。

10/24/20233110/24/20233210/24/20233310/24/20233410/24/202335參數(shù)假設(shè)檢驗問題的步驟：

第一步：根據(jù)實際問題的要求,提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；第二步：給定顯著性水平以及樣本容量；第三步：確定檢驗統(tǒng)計量及其分布，并由原假設(shè)的內(nèi)容確定拒絕域的形式（構(gòu)建統(tǒng)計量）；第四步：

由{拒絕|為真}≤求出拒絕域；

第五步；根據(jù)樣本觀測值計算檢驗統(tǒng)計量的具體值；第六步；作出拒絕還是接受原假設(shè)的統(tǒng)計判斷。

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