第01講 基本立體圖形、簡單幾何題的表面積與體積（原卷版）

第01講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)2．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4．柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3基本立體圖形命題點(diǎn)1結(jié)構(gòu)特征例1．（1）下列說法正確的有（

）①兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；②以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；④圓錐的軸截面是等腰三角形.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)（2）下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（

）①各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；②各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐；③各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；④底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐．A． B． C． D．（3）以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè) B．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形C．正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直 D．棱臺的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直（4）下列說法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形B．以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C．用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺D．空間中，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球命題點(diǎn)2直觀圖例2．（1）如圖所示，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是平行四邊形，且，則平面圖形的周長為（

）A．12 B． C．5 D．10（2）如圖，△是水平放置的△ABC的直觀圖，其中2，，分別與軸，軸平行，則BC=（）A．2 B．2 C．4 D．（3）已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（

）A． B． C． D．（4）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為__________.命題點(diǎn)3展開圖例3．（1）已知某圓臺的高為1，上底面半徑為1，下底面半徑為2，則側(cè)面展開圖的面積為（

）A． B． C． D．（2）如圖，圓柱的高為2，底面周長為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為（

）．A． B． C．3 D．2（3）如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形.把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．（4）若圓錐的底面半徑為3，體積為，則此圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是（

）A． B． C． D．（5）如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長為的正，糧堆母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是__________m．（6）如圖，已知正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長相等．螞蟻甲從A點(diǎn)沿表面經(jīng)過棱、爬到點(diǎn)，螞蟻乙從B點(diǎn)沿表面經(jīng)過棱爬到點(diǎn)．設(shè)，，若兩只螞蟻各自爬過的路程最短，則______（7）在正三棱錐中，，，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿三棱錐的表面爬行一周后又回到點(diǎn)，則螞蟻爬過的最短路程為___________．二．表面積與體積命題點(diǎn)1表面積例4．（1）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知.底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．（2）已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為2，則圓錐的側(cè)面積是（

）．A． B．2 C． D．（3）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺的組合體，已知，則該青銅器的表面積為（

）（假設(shè)上、下底面圓是封閉的）A． B．C． D．（4）如圖，某學(xué)具可看成將一個(gè)底面半徑與高都為的圓柱挖去一個(gè)圓雉（此圓錐的頂點(diǎn)是圓柱的下底面圓心、底面是圓柱的上底面）所得到的幾何體，則該學(xué)具的表面積為_________．命題點(diǎn)2體積例5．（1）某藥廠制造一種藥物膠囊，如圖所示，膠囊的兩端為半球形，半徑，中間可視為圓柱，若該種膠囊的表面積為，則該種膠囊的體積為（

）A． B． C． D．（2）已知直角三角形ABC，，，，現(xiàn)將該三角形沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．（3）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________．三．與球有關(guān)的切、接問題命題點(diǎn)1簡單幾何體的外接球例6．（1）已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱兩兩垂直，若此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．（2）若棱長均相等的正三棱柱的體積為，且該三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．（3）將長、寬分別為4和2的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．（4）圓臺上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為________．命題點(diǎn)2簡單幾何體的內(nèi)切球例7．（1）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．（2）下圖是戰(zhàn)國時(shí)期的一個(gè)銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm?底面邊長為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為（

）A． B． C． D．（3）如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為()A．eq\f(\r(6)π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(\r(3)π,3)（4）如圖，已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的表面積為，則球的體積為______．1．給出下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;②有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;④棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．球體是旋轉(zhuǎn)體 B．圓柱的母線垂直于其底面C．斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形 D．用正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺3．如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是（

）A． B． C．16 D．84．用斜二測畫法作一個(gè)邊長為2的正方形，則其直觀圖的面積為（）A． B．2 C．4 D．5．如圖正方形OABC邊長為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是多少cm？（

）A．4 B．8 C．12 D．166．如圖，在三棱錐中，，，過點(diǎn)作截面，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．7．用一張長為，寬為的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是（

）A． B． C．或 D．或8．兩個(gè)圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是（

）A． B． C． D．9．已知圓臺的母線長為4，上底面圓和下底面圓半徑的比為1：3，其側(cè)面展開圖所在扇形的圓心角為，則圓臺的高為（

）A． B． C．4 D．10．已知一個(gè)圓錐的體積為，其側(cè)面積是底面積的2倍，則其底面半徑為（

）A． B．3 C． D．11．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．12．在炎熱的夏天里，人們都喜歡在飲品里放冰塊.如圖是一個(gè)高腳杯，它的軸截面是正三角形，容器內(nèi)有一定量的水.若在高腳杯內(nèi)放入一個(gè)球形冰塊后，冰塊沒有開始融化前水面所在的平面恰好經(jīng)過冰塊的球心（水沒有溢出），則原來高腳杯內(nèi)水的體積與球的體積之比是（

）A．1 B． C． D．13．如圖l，在高為h的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為（如圖2），則=（

）A．B．C．D．14．已知圓錐SO，其側(cè)面展開圖是半圓，過SO上一點(diǎn)P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上，且圓柱PO的側(cè)面積與圓錐SO的側(cè)面積的比為，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比為（

）A． B． C． D．15．如圖，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，則三棱錐的體積為（

）A． B． C．2 D．16．為了給熱愛朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．17．若圓錐高的平方等于其底面圓的半徑與母線的乘積，則稱此圓錐為“黃金圓錐”.現(xiàn)有一個(gè)黃金圓錐，則該黃金圓錐側(cè)面積與表面積的比值是（

）A． B． C． D．18．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（

）A． B． C． D．19．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早多年．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖是陽馬，，，，．則該陽馬的外接球的表面積為（

）A．B．C．D．20．如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體,設(shè)圓錐部分的高為米,圓柱部分的高為米,底面圓的半徑為米,則該組合體體積為(

)A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米21．蕭縣皇藏峪國家森林公園位于蕭縣城區(qū)東南30公里，是中國歷史文化遺產(chǎn)?中國最大古樹群落?國家AAAA級旅游景區(qū)?國家森林公園.皇藏峪有“天然氧吧”之稱.皇藏峪，原名黃桑峪.漢高祖劉邦稱帝前，曾因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景區(qū)內(nèi)古樹繁多，曲徑通幽，庭院錯(cuò)落有致.一庭院頂部可以看成一個(gè)正四棱錐，其底面四邊形的對角線長是側(cè)棱長的倍，則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為（

）A． B． C． D．22．已知圓臺的上?下底面圓的半徑之比為，側(cè)面積為，在圓臺的內(nèi)部有一球，該球與圓臺的上?下底面及母線均相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．23．已知球與一正方體的各條棱相切，同時(shí)該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（

）A．2：3 B．3：2 C． D．24．如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個(gè)多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個(gè)全等的等腰梯形，，和是兩個(gè)全等的正三角形.已知該多面體的棱BF與平面ABCD所成的角為45°，，，則該屋頂?shù)谋砻娣e為（

）A．100 B． C．200 D．25．如圖是某廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成.其中，圓錐的底面和球的直徑都是0.6m，圓錐的高是0.4m.要對這個(gè)臺燈表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠200克，則共需膠（

）克.A． B． C． D．26．某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實(shí)踐活動中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨27．如圖，一個(gè)底面邊長為cm的正四棱柱形狀的容器內(nèi)裝有部分水，現(xiàn)將一個(gè)底面半徑為1cm的鐵制實(shí)心圓錐放入容器，圓錐放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若該容器的厚度忽略不計(jì)，則該圓錐的側(cè)面積為（

） B． C． D．28．已知某圓臺的高為，上底面半徑為，下底面半徑為，則其側(cè)面展開圖的面積為（

）A． B． C． D．29．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛30．（多選）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則下列說法正確的是（

）A．圓錐的高是 B．圓錐的母線長是4C．圓錐的表面積是 D．圓錐的體積是31．（多選）已知某圓錐的母線長為1，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中正確的有（

）A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形D．圓錐的內(nèi)切球表面積為32．（多選）如圖，圓臺O2O2中，母線AB與下底面所成的角為60°，BC為上底面直徑，O2A=6O1B=6，則（

）A．圓臺的母線長為10B．圓臺的側(cè)面積為C．由點(diǎn)A出發(fā)沿側(cè)面到達(dá)點(diǎn)C的最短距離是D．在圓臺內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，則正方體棱長的最大值是433．(多選)沙漏，據(jù)《隋志》記載：“漏刻之制，蓋始于黃帝”．它是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．以下結(jié)論正確的是（

）A．沙漏的側(cè)面積是B．沙漏中的細(xì)沙體積為C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是837秒34．（多選）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為35．已知表示水平放置的的直觀圖，且的面積是，則的面積是__________.36．如圖所示，一個(gè)水平放置的斜二測畫法畫出的直觀圖是，則原的周長是___________.37．已知圓錐的母線長度為3，一只螞蟻從圓錐的底面圓上一點(diǎn)出發(fā)，繞著圓錐側(cè)面爬行一周，再回到出發(fā)點(diǎn)的最短距離為3，則此圓錐的底面圓半徑為____________．38．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.39．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．40．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(即圓錐用平行于底面