新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值課件新人教B版選擇性必修第三冊

第六章6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值課程標準1.理解極值、極值點的概念,明確極值存在的條件;2.會求函數(shù)的極值;3.會求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值;4.能利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)極值、最值相關(guān)的綜合問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值1.極值點與極值一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,設(shè)x0∈D,如果對于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)

,則稱x0為函數(shù)f(x)的一個

,且f(x)在x0處取極大值;

(2)

,則稱x0為函數(shù)f(x)的一個

,且f(x)在x0處取極小值.

只與附近值比較

f(x)<f(x0)極大值點

f(x)>f(x0)極小值點

極大值點與極小值點都稱為

,極大值與極小值都稱為

.顯然,極大值點在其附近函數(shù)值最大,極小值點在其附近函數(shù)值最小.

不是點的坐標

2.極值點的求法一般地,如果x0是y=f(x)的極值點,且f(x)在x0處可導(dǎo),則必有

.

極值點

極值

f'(x0)=0名師點睛求函數(shù)y=f(x)極值的步驟第1步,求導(dǎo)數(shù)f'(x).第2步,求方程f'(x)=0的所有實數(shù)根.第3步,觀察在每個根x0附近,從左到右,導(dǎo)函數(shù)f'(x)的符號如何變化.如果f'(x)的符號由正變負,則f(x0)是極大值;如果由負變正,則f(x0)是極小值.如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右側(cè),f'(x)的符號不變,則f(x0)不是極值.過關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題]函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,試找出函數(shù)f(x)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.解

函數(shù)f(x)的極值點有x2,x4,其中極大值點為x2,極小值點為x4.2.[2023江蘇南京鼓樓校級期末]若函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)存在,則“函數(shù)f(x)在x0處取得極值”是“f'(x0)=0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件A解析

當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處取得極值時,f'(x0)=0一定成立,即“函數(shù)f(x)在x0處取得極值”是“f'(x0)=0”的充分條件;當(dāng)f'(x0)=0時,若f'(x0)左右兩側(cè)同號時,則不能推出在x0處取得極值,如f(x)=x3,其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=3x2,當(dāng)x=0時,f'(x0)=0,但f(x)=x3是單調(diào)函數(shù),無極值點,所以“函數(shù)f(x)在x0處取得極值”不是“f'(x0)=0”的必要條件.綜上,“函數(shù)f(x)在x0處取得極值”是“f'(x0)=0”的充分不必要條件.故選A.3.[2023重慶永川校級月考]函數(shù)y=xex的極小值是(

)A.-1 B.-eC解析

由y=xex,得y'=ex+xex=(1+x)ex,令y'=0,得x=-1,所以當(dāng)x<-1時,y'<0;當(dāng)x>-1時,y'>0,所以當(dāng)x=-1時,函數(shù)取得極小值

.故選C.知識點2函數(shù)的最值函數(shù)f(x)的最大(小)值是函數(shù)定義域內(nèi)最大(小)的函數(shù)值.一般地,如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的每一點都可導(dǎo),且函數(shù)存在極值,則函數(shù)的最值點一定是某個極值點;如果函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]且存在極值,函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么函數(shù)的最值點要么是區(qū)間端點a或b,要么是極值點.名師點睛求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步驟第1步,求f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)所有使f'(x)=0的點.第2步,計算函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)使f'(x)=0的所有點和端點的函數(shù)值,其中最大的為最大值,最小的為最小值.過關(guān)自診1.函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]的圖象如圖所示,請寫出它的極值和最值.解f(x1),f(x3),f(x5)是函數(shù)y=f(x)的極小值,f(x2),f(x4),f(x6)是函數(shù)y=f(x)的極大值.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值是f(x3),最大值是f(a).2.[2023河南月考]函數(shù)f(x)=x-3x3,x∈[0,1]的最大值是(

)B重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一函數(shù)的極值角度1.函數(shù)極值點的判定【例1】

(1)[2023河南月考]已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極大值點的個數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間(a,b)內(nèi),f'(x)與x軸共有5個交點,從左往右設(shè)為x1,x2,x3,x4,x5.第一個點x1處導(dǎo)數(shù)左負右正,第二個點x2處導(dǎo)數(shù)左正右負,第三個點x3處導(dǎo)數(shù)左負右正,第四個點x4處導(dǎo)數(shù)左正右正,第五個點x5處導(dǎo)數(shù)左正右負,所以極大值點是x2,x5,共兩個.故選B.(2)[2023四川自貢模擬]已知函數(shù)f(x)=3x4-8x3+6x2,則f(x)(

)A.有2個極大值點B.有1個極大值點和1個極小值點C.有2個極小值點D.有且僅有一個極值點D解析

f'(x)=12x3-24x2+12x=12x(x2-2x+1)=12x(x-1)2,因為(x-1)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號),則當(dāng)x<0時,f'(x)<0,當(dāng)x>0時,f'(x)≥0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),所以函數(shù)f(x)的極小值點為0,沒有極大值點,即函數(shù)f(x)有且僅有一個極值點.故選D.規(guī)律方法

x0是極值點滿足的條件f'(x0)=0(從圖象上看,在(x0,f(x0))處切線平行于x軸)↓x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(從圖象上看,x0左、右兩側(cè)f(x)的單調(diào)性相反)變式訓(xùn)練1(1)[2023山東菏澤鄄城校級月考]設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是(

)C解析

由函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)f(x)在x=-2的左側(cè)附近單調(diào)遞減,f'(x)<0,y=xf'(x)的圖象在x=-2的左側(cè)附近在x軸上方;函數(shù)f(x)在x=-2的右側(cè)附近單調(diào)遞增,f'(x)>0,y=xf'(x)的圖象在x=-2的右側(cè)附近在x軸下方,且f'(-2)=0,則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是選項C.故選C.(2)[2023河北邯鄲武安校級月考]已知函數(shù)f(x)=x3+(a-2)x2+x+5有極值,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)D解析

由f(x)=x3+(a-2)x2+x+5,得f'(x)=x2+2(a-2)x+1,根據(jù)題意得Δ=[2(a-2)]2-4>0,解得a>3或a<1,所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,1)∪(3,+∞).故選D.角度2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值【例2】

求下列函數(shù)的極值:(1)f(x)=1+3x-x3;解

函數(shù)定義域為R,且f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0,得x=±1.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘-1↗3↘所以f(x)在x=-1處取極小值-1,在x=1處取極大值3.解

函數(shù)定義域為(0,+∞),(3)f(x)=x2e-x.解

函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=x(2-x)e-x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘0↗4e-2↘從表中可以看出,當(dāng)x=0時,函數(shù)有極小值,且f(0)=0;當(dāng)x=2時,函數(shù)有極大值,且f(2)=4e-2.規(guī)律方法

求函數(shù)極值的解題策略求函數(shù)的極值必須嚴格按照求函數(shù)極值的步驟進行,其重點是列表判斷導(dǎo)數(shù)為零的點的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是不是異號,若異號,則是極值;否則,不是極值.另外,在求函數(shù)的極值前,首先要研究函數(shù)的定義域.變式訓(xùn)練2[人教A版教材例題改編]給定函數(shù)f(x)=(x+1)ex.判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出f(x)的極值.解(1)函數(shù)的定義域為R.f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex.令f'(x)=0,解得x=-2.f'(x),f(x)的變化情況如表所示.x(-∞,-2)-2(-2,+∞)f'(x)-0+f(x)↘↗所以,f(x)在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)x=-2時,f(x)有極小值f(-2)=,無極大值.探究點二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【例3】

求下列函數(shù)的最值:(1)f(x)=x3-2x2+1,x∈[-1,2];解

f'(x)=3x2-4x,令f'(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0或x=.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:從上表可知,最大值是f(0)=f(2)=1,最小值是f(-1)=-2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:由上表可知,方程的解.令g(x)=x2+ln

x-1,x∈(0,+∞),∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴x=1是方程f'(x)=0的唯一解.當(dāng)x>1時,f'(x)<0,∴函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)有最大值,且最大值是f(1)=-1,函數(shù)f(x)無最小值.規(guī)律方法

求函數(shù)最值的解題策略(1)如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值可簡化過程,即直接將極值點的函數(shù)值與端點的函數(shù)值比較大小,即可判定最大(或最小)的函數(shù)值,就是最大(或最小)值.(3)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時,需要對各個極值與端點的函數(shù)值進行比較,有時需要作差、作商,有時還要估算,甚至有時需要進行分類討論.(4)求函數(shù)在開區(qū)間上的最值時,要借助導(dǎo)數(shù)分析研究函數(shù)的單調(diào)性與極值情況,從而畫出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象求出最值.變式訓(xùn)練3[北師大版教材習(xí)題]求函數(shù)y=x3-12x2+45x-10在區(qū)間[0,10]上的最值.解

y'=3x2-24x+45=3(x2-8x+15)=3(x-3)(x-5).令y'=0,得x1=3,x2=5,設(shè)f(x)=x3-12x2+45x-10,則f(0)=-10,f(10)=1

000-1

200+450-10=240,f(3)=27-12×9+45×3-10=44,f(5)=53-12×52+45×5-10=40.因為f(0)<f(5)<f(3)<f(10),所以函數(shù)的最大值是240,函數(shù)的最小值是-10.探究點三根據(jù)函數(shù)的極值與最值求參數(shù)值(或范圍)【例4】

(1)[2023天津河?xùn)|期中]已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+1的圖象在點(1,a+b+1)處的切線斜率為6,且函數(shù)f(x)在x=2處取得極值,則a+b=(

)C解析

由題意可知f'(x)=3ax2+b,則f'(1)=3a+b=6.又函數(shù)f(x)在x=2處取得極值,則f'(2)=12a+b=0,故選C.(2)[2023上海松江二模]已知函數(shù)y=x3-x2-3x+a,a∈R,在區(qū)間(t-3,t+5)上有最大值,則實數(shù)t的取值范圍是(

)A.(-6,0) B.(-6,0]C.(-6,2) D.(-6,2]B又函數(shù)在區(qū)間(t-3,t+5)上有最大值,則t-3<-1<t+5≤5,解得-6<t≤0,即t∈(-6,0].故選B.規(guī)律方法

根據(jù)函數(shù)極值與最值求參數(shù)值(或范圍)的解題策略(1)已知函數(shù)的極值或最值求參數(shù)值時,主要根據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0和已知的極值,列出方程(組),利用待定系數(shù)法求解;同時應(yīng)注意,導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.(2)對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若它有極值點x0,則必有f'(x0)=0,因此函數(shù)f(x)有極值的問題,往往可以轉(zhuǎn)化為方程f'(x)=0有根的問題,從而可借助方程的知識進行求解.(3)有些含參數(shù)的問題,需要對參數(shù)進行分類討論求解.(1,+∞)內(nèi)有兩個極值點,求實數(shù)m的取值范圍.解

f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因為函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有兩個極值點,所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點,如圖所示.解得m>3.故實數(shù)m的取值范圍是(3,+∞).探究點四極值問題的綜合應(yīng)用【例5】

已知函數(shù)f(x)=x3-3x+a(a為實數(shù)),若方程f(x)=0有三個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍.解

令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x<-1時,f'(x)>0;當(dāng)-1<x<1時,f'(x)<0;當(dāng)x>1時,f'(x)>0.所以當(dāng)x=-1時,f(x)有極大值f(-1)=2+a;當(dāng)x=1時,f(x)有極小值f(1)=-2+a.因為方程f(x)=0有三個不同實根,所以y=f(x)的圖象與x軸有三個交點,如圖.解得-2<a<2,故實數(shù)a的取值范圍是(-2,2).變式探究1本例中,若方程f(x)=0恰有兩個不同實根,則實數(shù)a的值如何求解?解由例題,知函數(shù)的極大值f(-1)=2+a,極小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有兩個不同實根,則有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.變式探究2本例中,若方程f(x)=0有且只有一個實根,求實數(shù)a的取值范圍.解由例題可知,要使方程f(x)=0有且只有一個實根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.故a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).規(guī)律方法

極值綜合問題的求解策略利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù).變式訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).(1)若函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,求a,b的值;(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,6]時,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范圍.解

(1)f'(x)=3x2-2ax+b(a,b,c∈R).因為函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,所以-1,3是方程3x2-2ax+b=0的兩根.經(jīng)檢驗當(dāng)a=3,b=-9時,f(x)在x=-1和x=3處取得極值.故a=3,b=-9.(2)由(1),知f(x)=x3-3x2-9x+c(c∈R),則f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值c+5↘極小值c-27↗而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,所以當(dāng)x∈[-2,6]時,f(x)的最大值為c+54.要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|成立即可.當(dāng)c≥0時,c+54<2c,所以c>54;當(dāng)c<0時,c+54<-2c,所以c<-18.所以c的取值范圍為(-∞,-18)∪(54,+∞).成果驗收·課堂達標檢測1234561.[2023河南洛陽期中]已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2時有極大值,則f(x)的極大值為(

)A.0 B.32

C.0或32 D.0或-32B解析

∵f(x)=x(x-c)2,∴f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c).∵f(x)在x=2處取得極大值,∴f'(2)=0,即(2-c)(6-c)=0,∴c=2或c=6.當(dāng)c=2時,f'(x)=(x-2)(3x-2).123456∴x=2是f(x)的極小值點,f(x)在x=2處取得極小值,不符合題意;當(dāng)c=6時,f'(x)=(x-6)(3x-6),令f'(x)>0,則x<2或x>6,∴f(x)在(-∞,2)和(6,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,令f'(x)<0,則2<x<6,∴f(x)在(2,6)內(nèi)單調(diào)遞減,∴x=2是f(x)的極大值點,x=6是f(x)的極小值點,∴f(x)的極大值為f(2)=2×(2-6)2=32.故選B.1234562.[2023山東月考]當(dāng)x=0時,函數(shù)f(x)=aex+bx取得最小值1,則f'(1)=(

)A.e-1 B.e+1

C.-e-1 D.-e+1A解析

∵