《金融數(shù)學(xué)》（3）變額年金

孟生旺中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院變額年金

（VaryingAnnuities）1整理課件主要內(nèi)容遞增年金（離散支付，離散遞增）遞減年金（離散支付，離散遞減）復(fù)遞增年金：按幾何級數(shù)遞增的年金每年支付m次的遞增年金（略去遞減年金）連續(xù)支付的變額年金：連續(xù)支付，離散遞增（或遞減）連續(xù)支付連續(xù)遞增（或遞減）的年金一般的連續(xù)支付連續(xù)變額現(xiàn)金流2整理課件回顧：等額年金公式年金基本年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值期末付期初付3整理課件年金每年支付m次的年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值期末付期初付4整理課件連續(xù)支付的年金（連續(xù)年金）連續(xù)支付的永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值5整理課件1、遞增年金（increasingannuity）期末付遞增年金：第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。按算術(shù)級數(shù)遞增。如果用表示其現(xiàn)值，則有上式兩邊同時乘以(1+i)則有6整理課件

用第二式減去第一式則有

所以遞增年金的現(xiàn)值為7整理課件遞增年金分解表時期

0123…n–1

n遞增年金123…n–1n等額年金111…1111…111…11………111遞增年金=n年定期年金

+延期1年的(n–1)年定期年金

+延期2年的(n–2)年定期年金

+…+延期(n–1)年的1年定期年金8整理課件將上述各項年金的現(xiàn)值相加即得遞增年金的現(xiàn)值為

9整理課件根據(jù)現(xiàn)值求得其累積值為期初付遞增年金的現(xiàn)值期初付遞增年金的累積值建議：只記憶期末付年金的現(xiàn)值公式。10整理課件當(dāng)時，還可以得到遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值為在計算上述極限時，11整理課件例：某人希望購買一項年金，該項年金在第一年末的付款為1000元，以后每年增加100元，總的付款次數(shù)為10次。如果年實際利率為5%，這項年金的現(xiàn)值應(yīng)該是多少？解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200900100012整理課件例：寫出下述年金的現(xiàn)值公式設(shè)A表示此年金的現(xiàn)值，則13整理課件例：證明下列關(guān)系式成立：

（1）（2）14整理課件（2）由于，因此（1）15整理課件時期

0123…n–1

n遞減年金nn–1n–2…

21等額年金111…11111…1111…………

111111期末付遞減年金：第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。按算術(shù)級數(shù)遞減。2、遞減年金（decreasingannuity）16整理課件因此遞減年金的現(xiàn)值也可以表示為上述等額年金的現(xiàn)值之和，即：17整理課件遞減年金的其他公式：18整理課件例：一項年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。從第n+1年開始，每年遞減1元，直至最后一年付款1元。試計算該項年金的現(xiàn)值是多少？12nn-1119整理課件

20整理課件3、復(fù)遞增年金（compoundincreasingannuity）

含義：付款金額按照某一固定比例增長的年金。期末付復(fù)遞增年金：在第1年末支付1元，此后每年的支付金額按的復(fù)利r增長，直到第n年末支付(1+r)n-1。21整理課件上述年金的現(xiàn)值：變形可得：若r

i,

令，則現(xiàn)值為：

若r=i,

則現(xiàn)值為

n/(1+i)

其中22整理課件例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的給付金額按5％遞增，假設(shè)年實際利率為11.3%，請計算這項年金在時刻零的現(xiàn)值。解：本例年金的現(xiàn)金流如下圖所示：23整理課件

現(xiàn)值：其中因此該項年金的現(xiàn)值為：24整理課件期初付復(fù)遞增年金：假設(shè)一項年金在第1年初給付1元，此后給付金額按復(fù)利增長，直到第n年初給付金額為元。25整理課件此項年金的現(xiàn)值表達式：若r

i，則可令，上式變形為：

其中

若r=i,則現(xiàn)值為n26整理課件問題：對于等額年金，期初付年金的現(xiàn)值是期末付年金的(1+i)倍，對于復(fù)遞增年金而言，期初付與期末付存在什么關(guān)系？

若r=i,

期末付的現(xiàn)值為

n/(1+r)=n/(1+i)，期初付的現(xiàn)值為n.

若r≠i,期末付的現(xiàn)值為：期初付的現(xiàn)值為：結(jié)論：期初付的現(xiàn)值是期末付的(1+i)倍（參見下頁圖示）。27整理課件期末付：期初付：28整理課件例：一份20年期的年金，在第1年初給付200元，以后給付金額按10％的遞增，假設(shè)年實際利率為5%，請計算此項年金在時刻零的現(xiàn)值。解：本例年金的現(xiàn)金流如下圖所示：29整理課件此項年金的現(xiàn)值為：其中因此，此項年金的現(xiàn)值為：30整理課件10年期期末付年金的現(xiàn)值a與利率i的關(guān)系31整理課件4、每年支付m次的遞增年金如果每年支付m次，付款又是遞增的，將會出現(xiàn)下述兩種情況：同一年的每次付款相同同一年的每次付款也是遞增的32整理課件每年支付m次的遞增年金：同一年的每次付款相同現(xiàn)值：注：見下頁說明33整理課件第一年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為第二年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為……第n年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為因此該項年金的現(xiàn)值為：34整理課件每年支付m次的遞增年金：同一年的每次付款遞增兩種方法計算現(xiàn)值：（1）看做nm次付款的遞增年金，應(yīng)用遞增年金的公式。（2）建立新公式（了解）35整理課件（1）應(yīng)用遞增年金公式計算現(xiàn)值：36整理課件令在式兩邊同時乘以，則有（2）建立新公式（了解）37整理課件上式兩邊同時乘以m，則有所以38整理課件比較：請寫出累積值的公式。問題：如何應(yīng)用上述公式？（每年付款m次，第一年的每次付款為1/m，第一年的付款總額為1）（每年付款m次，第一次付款為1/m2）39整理課件例：寫出下述年金的現(xiàn)值計算公式（年利率i=10%)：10010010010020020020020001240整理課件100200300400500600700800012例：寫出下述年金的現(xiàn)值計算公式（年利率i=10%)：41整理課件每年支付m次的遞減年金（了解，課外練習(xí)）

42整理課件5、連續(xù)支付的變額年金

(continuouslypayablevaryingannuity)含義：支付次數(shù)趨于無窮，即支付是連續(xù)進行的，但支付金額隨時間呈離散變化。連續(xù)支付的遞增年金連續(xù)支付的遞減年金假設(shè)在第一年連續(xù)支付1元，第二年連續(xù)支付2元，…，第n年連續(xù)支付n元，如下圖所示：43整理課件連續(xù)支付的遞增年金的現(xiàn)值為：44整理課件例：一個現(xiàn)金流在第1年連續(xù)支付30元，第2年連續(xù)支付40元，第3年連續(xù)支付50元，直到第10年連續(xù)支付120元，假設(shè)年實際利率為5%，求這項年金的現(xiàn)值。解：可以把這項年金分解為兩項年金:45整理課件本例年金的現(xiàn)值為：可以計算出

46整理課件連續(xù)支付的遞增年金的終值：連續(xù)支付的遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值：第1年連續(xù)支付1元，第2年連續(xù)支付2元，第3年連續(xù)支付3元，并以此方式無限地延續(xù)下去。其現(xiàn)值為47整理課件連續(xù)支付的遞減年金：支付是連續(xù)進行的，但支付金額隨時間離散遞減。第1年連續(xù)支付n元，第2年連續(xù)支付n-1元，直到第n年連續(xù)支付1元。該年金的現(xiàn)金流如下圖所示。48整理課件上述年金的現(xiàn)值：49整理課件例：一項年金在第1年連續(xù)支付100元，第2年連續(xù)支付90元，第3年連續(xù)支付80元，直到第10年連續(xù)支付10元，假設(shè)年實際利率為6％，求其現(xiàn)值。解：其現(xiàn)值的表達式為：因此本例年金的現(xiàn)值為：50整理課件變額年金公式小結(jié)年金遞增年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值每年支付1次每年支付m次連續(xù)支付51整理課件年金遞減年金現(xiàn)值累積值每年支付1次每年支付m次連續(xù)支付52整理課件6、連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金（簡稱：連續(xù)遞增年金）

（continuouslyincreasingannuity）

假設(shè)在時刻t的付款率（paymentrate）為t，常數(shù)利息力為d，則連續(xù)支付連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值為：注:I和

a

上都有橫線。在時刻t

的付款率為t，表示按此付款，1年的付款總量將為t.53整理課件上式右邊可用分部積分法展開：54整理課件連續(xù)支付連續(xù)遞增年金的終值為55整理課件例：一項10年期的連續(xù)支付連續(xù)遞增年金，在時刻t的付款率為9t+6，利息力為9％，計算此項年金在時刻零的現(xiàn)值。解：分解成兩部分：連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金連續(xù)支付的等額年金其中：56整理課件例：一項年金的付款期是從第2年末至第7年末，并且在時刻t的付款率為3t-4，假設(shè)固定利息力為6％，試求此項年金在第7年末的終值。解：假設(shè)此年金的付款期是從時刻0到第7年末，則其終值可表示為：從時刻0到第2年末的付款累積到第7年末的價值為：因此，本例年金的終值為：57整理課件通過計算可得：

故本例年金的終值為：58整理課件連續(xù)支付連續(xù)遞增的永續(xù)年金：在連續(xù)支付連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值公式中，令n趨于無窮大，則可以得到連續(xù)支付連續(xù)遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值公式：59整理課件例：一項連續(xù)支付的永續(xù)年金在時刻t的付款比率為3t，付款從0時刻起并一直延續(xù)下去，年實際利率為5％，則其現(xiàn)值為：60整理課件7、連續(xù)支付連續(xù)遞減的年金（簡稱：連續(xù)遞減年金）

(continuouslydecreasingannuity)含義：年金的支付期為n年，在時刻t的付款率為n-t，固定利息力為d。其現(xiàn)值用符號表示。連續(xù)支付連續(xù)遞減年金的現(xiàn)值公式：

61整理課件例：一項10年期的年金，在時刻t的付款率為10-t，假設(shè)利息力為5％，試計算此項年金在時刻零的現(xiàn)值和在第10年末的終值。解：

現(xiàn)值：終值（累積值）：62整理課件8、一般的連續(xù)支付連續(xù)變額現(xiàn)金流現(xiàn)值：假設(shè)付款時間是從時刻a到時刻b，在時刻t的付款率為rt，利息力為dt。時刻

t支付的1在時刻a的現(xiàn)值為（下頁圖示）從時刻a到時刻b

內(nèi)，所有付款在時刻a的現(xiàn)值是將所有付款的現(xiàn)值加總，在連續(xù)情況下就是對它們進行積分：63整理課件abc0t1在0點的現(xiàn)值累積到a點在a點的現(xiàn)值64整理課件例：一個連續(xù)支付的現(xiàn)金流支付期從時刻0開始到時刻0.5結(jié)束在時刻t的支付率為利息力為試計算此現(xiàn)金流在時刻零的現(xiàn)值。解：65整理課件令則其現(xiàn)值為：

66整理課件非立即支付現(xiàn)金流的現(xiàn)值：一個現(xiàn)金流的起始時刻為a>0，結(jié)束時刻為b，計算在0點的現(xiàn)值：方法一：計算此現(xiàn)金流在時刻a的現(xiàn)值，再將此現(xiàn)值從時刻a貼現(xiàn)到時刻零。方法二：改變前式對利息力積分的下積分限來得到在時刻零的現(xiàn)值：67整理課件例：一個連續(xù)支付現(xiàn)金流的支付率為rt

=3元，支付期限從時刻2到時刻6，并且具有固定的利息力dt=0.05，試計算此現(xiàn)金流在時刻零的現(xiàn)值。解：改變對利息力積分的積分限，有：

68整理課件

另一種方法：先計算現(xiàn)金流在時刻2的現(xiàn)值：從時刻2到時刻零的貼現(xiàn)因子為：

因此上述現(xiàn)金流在時刻零的現(xiàn)值為：

69整理課件終值：在時刻t支付1元，將其累積到時刻b的終值為（下頁圖示）為了計算從時刻a到時刻b內(nèi)所有付款的終值，需要將該期間內(nèi)所有付款的終值加總，在連續(xù)情況下就是對它們進行積分：70整理課件abc0t1在0點的現(xiàn)值累積到b點在b點的累積值71整理課件為了將一個連續(xù)支付的現(xiàn)金流累積到支付期間以后的某一時點c，有兩種方法