《圓的極坐標(biāo)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)(部級(jí)優(yōu)課)-數(shù)學(xué)教案

4.2圓的極坐標(biāo)方程如皋市搬經(jīng)中學(xué)章杰【教學(xué)目標(biāo)】1.了解直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的聯(lián)系與區(qū)別，掌握求曲線極坐標(biāo)方程的步驟；2.掌握求圓的極坐標(biāo)方程的方法；3.會(huì)進(jìn)行圓的直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化.4.讓學(xué)生體會(huì)類比的思想，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法【教學(xué)重點(diǎn)】圓的極坐標(biāo)方程的求法和直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互相轉(zhuǎn)化.【教學(xué)難點(diǎn)】在極坐標(biāo)系中求圓的極坐標(biāo)方程.【教學(xué)方式】啟發(fā)式、探究式【教學(xué)設(shè)計(jì)】活動(dòng)一、復(fù)習(xí)引入（創(chuàng)設(shè)情境）引導(dǎo)學(xué)生回憶在直角坐標(biāo)系下，曲線方程的定義師：在平面直角坐標(biāo)系下，曲線方程可以用表示，曲線的方程是如何定義的？生：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，那么這條曲線叫做方程的曲線，這個(gè)方程叫做曲線的方程.師：求曲線的方程的基本步驟是什么？生：建系---設(shè)點(diǎn)---列式----化簡(jiǎn)-----檢驗(yàn)作答活動(dòng)二、概念引入（探索發(fā)現(xiàn)）師：在直角坐標(biāo)系中，垂直于軸和軸的直線可以用方程（為常數(shù)）表示，那么，在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓可以用什么方程來(lái)表示呢？生1：可以用生2：極坐標(biāo)系任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可以用表示，也可以用表示，所以也可以用來(lái)表示.思考：1.滿足方程的所有的點(diǎn)都在圓上嗎？2.圓上所有的點(diǎn)的極坐標(biāo)都滿足方程嗎？生：第一點(diǎn)滿足，但第二點(diǎn)不滿足，比如說(shuō)點(diǎn)在圓上，但不滿足方程.師：通過(guò)以上問題的討論，類比直角坐標(biāo)系下曲線方程的定義，同學(xué)們能總結(jié)出在極坐標(biāo)系下曲線方程的定義嗎？生：一般地，在極坐標(biāo)系下，如果平面曲線上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程，并且坐標(biāo)適合方程的點(diǎn)都在曲線上，那么方程叫做曲線的極坐標(biāo)方程.師：極坐標(biāo)系下曲線方程的定義和直角坐標(biāo)系下曲線方程的定義有什么區(qū)別和聯(lián)系？生：直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)和方程的解是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在極坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.師：說(shuō)得非常準(zhǔn)確，但我們讓極坐標(biāo)系中的點(diǎn)滿足“”就滿足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系了，為了研究的方便，以后我們寫點(diǎn)的極坐標(biāo)方程時(shí)就滿足.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生理解直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)中曲線方程的區(qū)別和聯(lián)系.讓學(xué)生體會(huì)類比的思想.活動(dòng)三、求圓的極坐標(biāo)方程例1：在極坐標(biāo)系中,半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為C(a,0)(a>0),求圓C的極坐標(biāo)方程.解：如圖，圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)設(shè)圓與極軸的另一個(gè)交點(diǎn)為則有設(shè)為圓上除點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)，則在中，即經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)滿足方程所以，所求圓的極坐標(biāo)方程為(）討論：1.圓心為半徑為1，求圓的極坐標(biāo)方程；()2.圓心為，半徑為1，求圓的極坐標(biāo)方程；()3.圓心為，半徑為1，求圓的極坐標(biāo)方程；()完成上述3個(gè)問題，小組討論1、2、3題對(duì)應(yīng)的方程與的關(guān)系，以及它們圖像之間的關(guān)系思考：1.2.3個(gè)問題中的方程和曲線有什么關(guān)系？生：由繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為負(fù)角時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）得到.圓心為,半徑為，求圓的極坐標(biāo)方程.學(xué)生板演，并講解解題思路.解：在圓上任取一點(diǎn)，連接,在中所以，由余弦定理得即小結(jié)：1.如何求圓的極坐標(biāo)方程生：在極坐標(biāo)系下求圓的極坐標(biāo)方程就是確定和的等量關(guān)系，涉及到角度和長(zhǎng)度的問題，其本質(zhì)是尋找三角形中的邊角關(guān)系，轉(zhuǎn)化成解直角或斜三角形的問題.2.求曲線的極坐標(biāo)方程的基本步驟（1）建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系；（2）在曲線上任取一點(diǎn)（3）根據(jù)曲線上的點(diǎn)滿足的條件寫出等式；（4）用極坐標(biāo)表示上述等式，并化簡(jiǎn)得到極坐標(biāo)方程；（5）證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程.練習(xí)1：按下列要求寫出圓的極坐標(biāo)方程:（1）以為圓心，半徑為的圓；（2）以為圓心，且過(guò)極點(diǎn)的圓；（3）以極點(diǎn)與點(diǎn)連接的線段為直徑的圓；（4）圓心在極軸上，且過(guò)極點(diǎn)與點(diǎn)的圓.前三題口答，第四題請(qǐng)兩位同學(xué)板演，展示兩種方法，一種在極坐標(biāo)系下運(yùn)用幾何性質(zhì)求解，另一種先求出圓的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程.活動(dòng)四、圓的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互相轉(zhuǎn)化例2：將化成直角坐標(biāo)方程.解：等式兩邊同時(shí)乘以，得到因?yàn)樗?，即?：將方程化成極坐標(biāo)方程，并指出圓心和半徑.解：因?yàn)樗约椿蚪?jīng)檢驗(yàn)練習(xí)2：已知一個(gè)圓的極坐標(biāo)方程是，