《復(fù)習題》教學設(shè)計(福建省縣級優(yōu)課)-七年級數(shù)學教案

《專題復(fù)習：利用旋轉(zhuǎn)解決一類圖形關(guān)系》教學設(shè)計一、教材的地位與作用圖形的旋轉(zhuǎn)是繼平移、軸對稱之后的又一種圖形基本變換，是義務(wù)教育階段數(shù)學課程標準中圖形變換的一個重要組成部分，屬全等變換，初三年又學了位似變換，屬相似變換。數(shù)學教材中剛學旋轉(zhuǎn)變換時，是從學生實際接觸、觀察到的一些現(xiàn)象出發(fā)，從具體到抽象，從感性到理性，從實踐到理論，再用理論檢驗實踐，循序漸進地指導學生認識自然界和生活中具有旋轉(zhuǎn)特點的事物，進而探索其性質(zhì)，培養(yǎng)學生思維能力、樹立運動變化觀點的良好素材。同時“圖形的旋轉(zhuǎn)”是一個重要的基礎(chǔ)知識，隱含著重要的變換思想。在后續(xù)的學習中，學生又會慢慢體會到旋轉(zhuǎn)更是一種解題方法，是研究圖形之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的一種有力工具，為以后高中的數(shù)學學習做好準備。在初中總復(fù)習時需要老師引導學生進行歸納建構(gòu)，讓學生對旋轉(zhuǎn)變換的認識從感性的、片面的上升到理性的、全面的、系統(tǒng)的深刻認識，這是復(fù)習課的重點，也是復(fù)習課的難點。二．學情分析初中的學生已學了平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)這幾種圖形全等變換，學了位似變換這種相似變換，有了一定的變換思想。學生們已經(jīng)有一定的觀察、抽象和分析能力，他們能由簡單的物體運動中抽象出幾何圖形的變換，但思維的嚴謹性、抽象性仍相對薄弱。對圖形變換本身的性質(zhì)比較熟悉，對利用圖形變換來研究圖形之間的關(guān)系比較薄弱，不系統(tǒng)。三、教學目標知識目標（1）復(fù)習旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念、旋轉(zhuǎn)前后圖形中的對應(yīng)點、對應(yīng)線段、對應(yīng)角、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角；復(fù)習旋轉(zhuǎn)后圖形上的每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動了相同的角度，但圖形的形狀和大小都沒有變化；（2）探究如何利用旋轉(zhuǎn)來解決線段、角等圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，體會到旋轉(zhuǎn)更是一種解題方法。能力目標通過觀察、操作、交流、歸納等過程，培養(yǎng)學生的動手能力、觀察能力、探究問題的能力以及與人合作交流的能力。經(jīng)歷探索旋轉(zhuǎn)變換把原本毫不相關(guān)的基本圖形聯(lián)系起來，體會旋轉(zhuǎn)變換對研究圖形之間的關(guān)系的作用。情感目標經(jīng)歷對旋轉(zhuǎn)變換的觀察、討論、實踐操作，使學生充分感知數(shù)學美，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和熱愛生活的情感；通過小組合作交流活動，培養(yǎng)學生合作學習的意識和研究探索的精神。四、重點與難點利用旋轉(zhuǎn)把線段、角等圖形集中起來，綜合利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來解決圖形之間的關(guān)系五、教法與學法按照學生認知規(guī)律，遵循以“學生為主體，教師為主導，數(shù)學活動為主線”的指導思想，采用以引導學生觀察思考為主的教學方法。根據(jù)學法指導自主性和差異性原則，讓學生在“觀察——思考——交流——歸納——引導——解決”的實踐探索中，自主參與解題方法的產(chǎn)生、發(fā)展、形成與應(yīng)用的過程。通過學生的自主活動、主動探索、合作交流等活動來構(gòu)建與此相關(guān)的解題經(jīng)驗，使學生掌握解題思路，從而達到舉一反三的效果。六．教具準備多媒體課件七．教學過程（一）復(fù)習旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1、初中階段我們學了哪些圖形的基本變換？2、平面內(nèi)的圖形繞一個定點沿某個方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，有什么性質(zhì)嗎？3、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)為什么可以幫助我們解題？【設(shè)計意圖】：引導學生回憶、思考初中階段學過的基本變換，用自己的語言來描述旋轉(zhuǎn)變換的特征，重溫旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度，重溫旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)。同時拋出問題：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)為什么可以幫助我們解題？這個問題是基于學生的認知的最近發(fā)展區(qū)提出來的問題，學生經(jīng)過以前的學習和現(xiàn)在的回顧，對旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)已比較熟悉，但對于如何利用旋轉(zhuǎn)解決圖形之間的關(guān)系的認識是片面的，不系統(tǒng)的，茫然的。從這個最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，讓學生思考如何利用旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)來探究圖形之間的關(guān)系，是學生“跳一跳夠得著”的問題，從揭示本節(jié)課的研究課題-----利用圖形的旋轉(zhuǎn)解決圖形之間的關(guān)系，（二）探究學習：1、例題：（1）如圖1，若P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，PA=2，PB=，PC=4，求∠APB的度數(shù)。引導學生分析：如圖2，把ΔACP繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則AC與AB重合，旋轉(zhuǎn)后得到三角形ABP′圖1圖1是等邊三角形,PP′=PA=2，在ΔBPP′中，，∴ΔBPP′是直角三角形，∠BPP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°我們還能求出圖形中其它的角度或長度嗎？∠APC的度數(shù)可以求嗎？C、P、P′在同一直線上嗎？可以求出ΔABC的邊長嗎？引導學生分析：如圖2圖2，在RTΔBPP′中，cos∠PP′B=，得∠PP′B=圖2∴，∴+=，C、P、P′在同一直線上?！摺唷嗟玫剑害BC的邊長可求。（2）反思：三角形中要利用旋轉(zhuǎn)來解題一般需要什么條件？引導學生得出：一般來說要有一組鄰邊相等，但也會遇到鄰邊不相等的。【設(shè)計意圖】：設(shè)計的例1是學生似曾相識的問題，以前學生都曾做過教材中的習題“若P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)”，例1故意只改變了數(shù)字，以防止學生不動腦直接把以前做過的內(nèi)容直接背出來寫出答案，但又不得不回憶以前的解題思路，思考與這題存在的異同點（條件有什么不同？結(jié)論會不同嗎？解題方法一樣還是類似？），培養(yǎng)了學生的解題思維能力。引導學生解決完第一個問題后，學生以為大功告成了，老師卻趁熱打鐵追問：我們還能求出圖形中其它的角度或長度嗎？這個問題是以前大部分同學做完該類型題時從沒想過的問題，既然老師這樣問了，說明可能是可以求出圖形中其它的角度或長度的，從而產(chǎn)生認知沖突，引發(fā)探究的欲望。這樣追問還可使同學體會到原來數(shù)學題還是可以這樣研究的，做數(shù)學題不能追求數(shù)量，深入探究才是提高數(shù)學核心素養(yǎng)的根本途徑。引導學生突破難點求出ΔABC的邊長后，老師又引導學生反思：三角形中要利用旋轉(zhuǎn)來解題一般需要什么條件？使學生對如何利用圖形的旋轉(zhuǎn)解決圖形之間的關(guān)系有了一個相對深刻的認知，從以前的模糊認識中變得清晰起來。2、你來試一試：把等邊三角形改成等腰直角三角形，情況會怎樣呢？你來試一試吧！（1）如圖3，在ΔAB中，∠ACB=90°，BC=AC，P為ΔABC內(nèi)一點，PA=3,PB=1,PC=2圖3求∠BPC的度數(shù)。圖3引導學生分析：如圖4，把ΔBCP繞C順時針旋轉(zhuǎn)90°,則BC與AC重合,得ΔACP′∴P′A=PB=1,P′C=PC=2,∠PCP′=90°,∴∠PP′C=45°,圖4又圖4∴ΔP′PA是直角三角形,∠PP′A=90°∴∠BPC=∠AP′C=∠PP′C+∠PP′A=135°回想上題的探究過程，我們還能求出什么結(jié)論？P′、P、B在同一條直線上嗎？能求出ΔABC三邊的長嗎？引導學生模仿例一的解題方法得到結(jié)論：P′、P、B在同一條直線上，可求出ΔABC三邊的長。（2）如圖5，若P是AB上任意一點，你能求出AP、BP、CP三者之間的數(shù)量關(guān)系嗎？如圖圖5圖66，引導學生得出：圖5圖6【設(shè)計意圖】：本節(jié)是一節(jié)初三總復(fù)習的復(fù)習課，圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形變換中相對抽象的內(nèi)容，復(fù)習時不能滿足于重溫旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)的一般應(yīng)用，以及零散的利用旋轉(zhuǎn)變換解決圖形之間的關(guān)系的幾道數(shù)學題，而應(yīng)該引導學生總結(jié)歸納提升，并得到一般結(jié)論，教給學生解題思維方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，這才是老師的教育教學目的。老師在例1中已引導學生經(jīng)歷了一次利用旋轉(zhuǎn)變換解決圖形之間的關(guān)系的完整過程，得到一般性結(jié)論：借助三角形中鄰邊相等的條件，可利用旋轉(zhuǎn)變換把一些看似不相關(guān)的線段、角集中到同一個三角形中，解決圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。在這個基礎(chǔ)上，學生對如何利用圖形的旋轉(zhuǎn)解決圖形之間的關(guān)系有了一個相對深刻的認知，很有必要讓學生獨立試一試，練習一題，以達到鞏固和加深認識的作用，但這題如果僅是把例1的數(shù)字換一換，學生單憑模仿就可完成，會讓學生失去探究熱情，必需有適當?shù)淖兓吞嵘?。本題把例1中等邊三角形變成等腰三角形，第（1）題和例1的方法完全一樣，達到鞏固的目的，第（2）題把點P移到AB邊上，要求的是AP、BP、CP的數(shù)量關(guān)系，這就進了一步，從上一小題的只求線段的長、只求角度提升到求線段之間的數(shù)量關(guān)系，用的方法還是利用旋轉(zhuǎn)把相關(guān)線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，使學生進一步認識到旋轉(zhuǎn)變換在解決圖形關(guān)系中的作用。在感受旋轉(zhuǎn)變換作為解題工具的過程中，老師借geogrbra軟件，動態(tài)呈現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)后形成新圖形過程，既解決了圖形間的關(guān)系，又感受到旋轉(zhuǎn)變換過程中蘊涵的數(shù)學美。并鼓勵學生可嘗試把不同圖形進行旋轉(zhuǎn)，亦有異曲同工之妙，體驗圖形旋轉(zhuǎn)作為解題工具的美妙，同時也激發(fā)了學生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。3、勇攀高峰圖7（1）把三角形改成正方形，繼續(xù)探究：圖7如圖7，正方形ABCD邊長是4，P、Q分別是AB、AD上的動點，ΔAPQ周長是8，求∠PCQ的度數(shù)。引導學生分析：圖8如圖8，ΔBCP繞C順時針旋轉(zhuǎn)90°,則BC與DC重合,得ΔDCP′圖8∴P′D=PB,P′C=PC,∠PCP′=90°,∴P′Q=P′D+DQ=PB+DQ∵正方形ABCD邊長是4,∴AB+AD=8,∵ΔAPQ周長是8,∴AP+AQ+PQ=8,∴PQ=PB+DQ∴P′Q=PQ,∵P′C=PC,CQ=CQ,∴ΔP′CQ?PCQ（2）反過來呢，結(jié)論還成立嗎？如圖9，正方形ABCD邊長是4，P、Q分別是AB、AD上的動點，∠PCQ=45°,ΔAPQ周長是定值嗎?圖9引導學生分析：圖9如圖10，ΔBCP繞C順時針旋轉(zhuǎn)90°,則BC與DC重合,得ΔDCP′∴DP′=PB,PC=P′C,∠PCQ=∠P′CQ=45°,又CQ=CQ,∴ΔPCQ?ΔP′CQ∴PQ=P′Q=DP′+QD=PB+QD圖10∴ΔAPQ周長=AP+PQ+AQ=AP+PB+QD+AQ=AB+AD=8圖10∴ΔAPQ的周長是定值（3）反思：四邊形中要利用旋轉(zhuǎn)來解題一般需要什么條件？引導學生得出：有一組鄰邊相等，對角互補！圖11（4）增加條件圖11如圖11，正方形ABCD邊長是4，P、Q分別是AB、AD上的動點，∠PCQ=45°,若DQ=1，直線PQ交直線BC于點E，試求CE的長。引導學生分析：如圖12，ΔBCP繞C順時針旋轉(zhuǎn)90°,則BC與DC重合,得ΔDCP′圖12由上知ΔPCQ≌ΔP′CQ,得PQ=P′Q=P′D+DQ=PB+DQ圖12設(shè)PB=x,則AP=4?x,,PQ=x+1由勾股定理得，圖13解得圖13∴,由已知易得ΔAPQ∽ΔBPE,得解得，從剛才的探究過程，我們發(fā)現(xiàn)了一個重要結(jié)論：PQ=PB+QD如圖13，如果P、Q分別在BA、AD的延長線上，還有類似的結(jié)論嗎？圖14如圖14，引導學生分析得出：圖14PQ=P'Q=P'D-DQ=PB-DQ圖15（5）通過上面利用旋轉(zhuǎn)對四邊形的探究，你能得出一個一般性的結(jié)論并說明理由嗎？圖15如果∠BCD≠90°，但保持，CB=CD,還會有類似的結(jié)論嗎？如圖15，CB=CD，P、Q分別在邊AB、AD上，∠PCQ=∠BCD，∠B+∠D=180°，試探究PQ與PB、DQ的數(shù)量關(guān)系。圖16如圖16，引導學生分析得出：圖16PQ=PB+QD【設(shè)計意圖】有了前面在三角形中利用旋轉(zhuǎn)變換解決圖形之間的關(guān)系的基礎(chǔ)，老師再順勢引導學生向新的高地出發(fā)，把三角形換成四邊形，這時學生思維活躍，把本節(jié)課的探究活動推向高潮。本節(jié)從引導學生接觸特殊例子并觀察思考出發(fā)，從特殊到一般，再從一般到特殊，用一般性結(jié)論檢驗實踐，循序漸進地引導學生利用旋轉(zhuǎn)變換解決圖形之間的關(guān)系的過程，進而深刻認識其本質(zhì)，是培養(yǎng)學生思維能力、樹立運動變化觀點的過程。把三角形改成正方形后，先是已知ΔAPQ周長是正方形周長的一半，根據(jù)在三角形中的解題經(jīng)驗，利用旋轉(zhuǎn)變換求得∠PCQ的度數(shù)是90°的一半，再是反過來，已知∠PCQ的度數(shù)是90°的一半，利用旋轉(zhuǎn)變換求得ΔAPQ周長是正方形周長的一半，接著增加條件，在已知∠PCQ的度數(shù)是90°的一半的條件下，增加知道線段DQ的長，結(jié)合勾股定理、相似的判定和性質(zhì)求得其它線段的長。再引導學生探究當∠PCQ的度數(shù)是90°的一半，但P、Q分別在BA、AD的延長線上時，結(jié)論會變嗎？又是利用旋轉(zhuǎn)變換解決了這個問題。最后引導學生探究把正方形改成一般四邊形，但保持，CB=CD,還會有類似的結(jié)論嗎？引導學生通過旋轉(zhuǎn)變換得到了一般性結(jié)論。（三）小結(jié)通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？1、利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可幫我們解題。2、旋轉(zhuǎn)可把零散的點、線段、角等圖形對象集中起來。3、旋轉(zhuǎn)可把不是三角形三邊關(guān)系的三條線段變成同一個三角形的三條邊。4、三角形中要利用旋轉(zhuǎn)來解題一般來說要有一組鄰邊相等，但也會遇到鄰邊不相等的5、四邊形中要利用旋轉(zhuǎn)來解題一般需要有一組鄰邊相等，對角互補?！驹O(shè)計意圖】通過引導學生回顧本節(jié)課所學的收獲并進行總結(jié)歸納，教師對學生是否完成對所學解題方法的建構(gòu)進行評價，引導學生自主小結(jié)方法及結(jié)論，教師對學生的數(shù)學探索探究能力進行評價，讓學生總結(jié)自己的收獲、教師對學生個人的學習成果進行評價，對學生課堂上的情感與態(tài)度進行評價。（四）作業(yè)(A為必做題，B、C為選做題）A：如圖17，P是正方形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA:PD: