《探究與發(fā)現(xiàn)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)(廣西縣級(jí)優(yōu)課)-數(shù)學(xué)教案

1.2.1排列一、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．過(guò)程與方法:經(jīng)歷排列數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從中體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想．情感、態(tài)度與價(jià)值：能運(yùn)用所學(xué)的排列知識(shí)，正確地解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)“化歸”思想的魅力．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：排列、排列數(shù)的概念．難點(diǎn)：排列數(shù)公式的推導(dǎo)．三、教學(xué)模式與教法、學(xué)法教學(xué)模式：本課采用“探究——發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式．教師的教法：利用多媒體輔助教學(xué)，突出活動(dòng)的組織設(shè)計(jì)與方法的引導(dǎo)．“抓三線”，即(一)知識(shí)技能線（二）過(guò)程與方法線（三）能力線.“抓兩點(diǎn)”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，二抓知識(shí)的切入點(diǎn).學(xué)法：突出探究、發(fā)現(xiàn)與交流．四、教學(xué)過(guò)程(一)創(chuàng)設(shè)情境，探究新知問(wèn)題：有30個(gè)人參加吃西瓜比賽，分別選出冠軍、亞軍、季軍有多少中選法？選出前四名呢？選出前10名呢？（二）探究新知提出問(wèn)題：你能把上述問(wèn)題總結(jié)一下，概括出排列的定義嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生舉手發(fā)言、學(xué)生補(bǔ)充，教師總結(jié)．活動(dòng)成果：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．說(shuō)明：(1)排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；(2)兩個(gè)排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同．從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示．注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)．所以符號(hào)Aeq\o\al(m,n)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例總結(jié)概括出排列和排列數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．提出問(wèn)題2：繼續(xù)剛才30個(gè)人吃西瓜比賽的問(wèn)題，怎樣求排列數(shù)？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答．活動(dòng)成果：這顯然是個(gè)排列問(wèn)題，解決這個(gè)問(wèn)題分三個(gè)步驟：第一步先確定冠軍，在30個(gè)數(shù)中任取1個(gè)，有30種方法；第二步確定亞軍，從余下的29個(gè)數(shù)中取，有29種方法；第三步確定季軍，從余下的28個(gè)數(shù)中取，有28種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有：30×29×28＝24360種不同的方法，用樹(shù)形圖排出，并寫出所有的排列．由此可寫出所有的排法．顯然，從30個(gè)人中，每次取出3個(gè)，按冠軍、亞軍、季軍的順序排成一列，就得到一個(gè)前三名．因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)．可以分三個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：第1步，確定冠軍，在1,2,3,4……30個(gè)人中任取1個(gè)，有30種方法；第2步，確定亞軍，當(dāng)冠軍位上的人確定后，亞軍位上的人只能從余下的29個(gè)中去取，有29種方法；第3步，確定季軍，當(dāng)冠軍、亞軍位上的人確定后，季軍的人只能從余下的28個(gè)人中去取，有28種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3,4……30個(gè)人中，每次取出3個(gè)數(shù)字，按“冠軍”“亞軍”“季軍”位的順序排成一列，共有30×29×28＝24360種不同的排法，因而共可得到24360個(gè)不同的前三名取法．設(shè)計(jì)意圖：分析具體例子，鞏固排列的定義，探索求排列數(shù)的方法．提出問(wèn)題3：由以上兩個(gè)問(wèn)題我們發(fā)現(xiàn)：Aeq\o\al(2,3)＝3×2＝6，Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24，你能否得出Aeq\o\al(2,n)的意義和Aeq\o\al(2,n)的值？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生舉手發(fā)言、學(xué)生補(bǔ)充，教師總結(jié)．活動(dòng)成果：由Aeq\o\al(2,n)的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從n個(gè)元素a1，a2，…，an中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反過(guò)來(lái)，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)Aeq\o\al(2,n).由分步乘法計(jì)數(shù)原理知完成上述填空共有n(n－1)種填法，∴Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)．設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)出排列數(shù)公式．提出問(wèn)題5：有上述推導(dǎo)方法，你能推導(dǎo)出Aeq\o\al(3,n)，Aeq\o\al(m,n)嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自己推導(dǎo)，學(xué)生板演．活動(dòng)成果：求Aeq\o\al(3,n)可以按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮，∴Aeq\o\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，求Aeq\o\al(m,n)可以按依次填m個(gè)空位來(lái)考慮：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，由此可以得到排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．說(shuō)明：(1)公式特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是n－m＋1，共有m個(gè)因數(shù)；(2)全排列：當(dāng)n＝m時(shí)即n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列．全排列數(shù)：Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0！＝1.所以Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(n－m,n－m)).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生逐步利用分步乘法計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出排列數(shù)公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))分析下列問(wèn)題，哪些是求排列數(shù)問(wèn)題？(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？(2)有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？(3)用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(4)用1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(5)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其不同結(jié)果有多少種？(6)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其不同結(jié)果有多少種？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自己完成，沒(méi)有把握的問(wèn)題和同桌討論．教師巡視，找同學(xué)說(shuō)出答案和理由．活動(dòng)成果：(1)是(2)不是(3)是(4)是(5)不是(6)不是(2)不是從5個(gè)不同的元素中選出三個(gè)不同的元素，而是從多個(gè)可以相同的元素中，選出三個(gè)元素排成一列，不符合排列中元素不同的規(guī)定．(3)是排列問(wèn)題，但排列數(shù)中有一部分0在百位的不是三位數(shù)．(5)中選出的兩個(gè)元素的和與順序無(wú)關(guān)，不符合排列的定義．設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)排列和排列數(shù)的理解．（三）應(yīng)用鞏固[典例1]判斷下列問(wèn)題是否是排列問(wèn)題：(1)從2，3，5，7，11中任取兩數(shù)相乘可得多少個(gè)不同的積？(2)從上面各數(shù)中任取兩數(shù)相除，可得多少個(gè)不同的商？(3)某班共有50名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正副班長(zhǎng)各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？(4)某商場(chǎng)有四個(gè)大門，若從一個(gè)門進(jìn)去，購(gòu)買商品后再?gòu)牧硪粋€(gè)門出，不同的出入方式共有多少種？解：(1)乘法符合交換律與順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題．(2)上、下互換結(jié)果不一樣，與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題．

(3)請(qǐng)同學(xué)們記住“正”的就是“正”的，正副不同，是排列問(wèn)題．(4)“門”不同，先后也不一樣，是排列問(wèn)題．[變式訓(xùn)練1]判斷下列問(wèn)題是否是排列問(wèn)題．(1)從2，3，5，7，9中任取兩數(shù)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，可得多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？(2)空間有10個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，則這10個(gè)點(diǎn)共可組成多少個(gè)不同的四面體？(3)某班有10名三好學(xué)生，5名后進(jìn)生，班委會(huì)決定選5名三好學(xué)生對(duì)5名后進(jìn)生實(shí)行一幫一活動(dòng)，共有多少種安排方式？(4)若從10名三好學(xué)生中選出5名和5名后進(jìn)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種安排方式？解：(1)對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)不同，所得的結(jié)果不同，是排列問(wèn)題．(2)四面體與四個(gè)頂點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題．

(3)選出的5名三好學(xué)生與5名后進(jìn)生進(jìn)行一幫一活動(dòng)與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題．

(4)選出的5名三好學(xué)生與5名后進(jìn)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組與順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題．[典例2]計(jì)算：解：（2）=變式訓(xùn)練2計(jì)算：解：原式=五、小結(jié)1．知識(shí)收獲：排列概念、排列數(shù)公式．2．方法收獲：化歸．3．思維收獲：分類討論、化歸思想．六、作業(yè)1.課堂檢測(cè)七、課后記分類加法計(jì)數(shù)原理是對(duì)完成一件事的所有方法的一個(gè)劃分，依分類加法計(jì)數(shù)原理解題，首先明確要做的這件事是什么，其次分類時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，最后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類．分類要注意不重復(fù)、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事．分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后才算完成這件事，每步中的任何一種方法都不能完成這件事．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類加法計(jì)數(shù)原理更具有一般性，解決復(fù)