華師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè) 5.1相交線

第5章相交線與平行線5.1相交線1.對(duì)頂角【基本目標(biāo)】1.在現(xiàn)實(shí)情境中識(shí)別對(duì)頂角，理解對(duì)頂角的性質(zhì)；能畫出對(duì)頂角，并能利用對(duì)頂角相等的性質(zhì)進(jìn)行簡單的計(jì)算以及解決一些相關(guān)的實(shí)際問題.2.經(jīng)歷觀察、猜想、說理、交流等過程，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和有條理的表達(dá)能力.3.在動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流中獲得成功的體驗(yàn)，建立自信心；感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí).【教學(xué)重點(diǎn)】通過觀察思考，了解對(duì)頂角的概念及其性質(zhì)；進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和有條理的表達(dá)能力.【教學(xué)重點(diǎn)】從復(fù)雜圖形中分解出基礎(chǔ)圖形，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.一、情境導(dǎo)入,激發(fā)興趣觀察下列圖片，你們覺得這些圖片有什么共同點(diǎn)嗎？【教學(xué)說明】通過觀察圖片，找到相交線的形象，激發(fā)探究興趣，滲透數(shù)學(xué)來源于生活的理念.二、合作探究，探索新知1.請(qǐng)同學(xué)們畫兩條相交的直線，觀察它們有幾個(gè)交點(diǎn)？形成幾個(gè)小于平角的角？2.學(xué)生畫圖，觀察后回答，教師畫圖總結(jié).圖1（1）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).（2）形成4個(gè)小于平角的角：∠1、∠2、∠3、∠4.【教學(xué)說明】學(xué)生畫圖解答，教師小結(jié)板書.3.你知道∠1與∠2、∠2與∠3、∠3與∠4、∠1與∠4在位置和數(shù)量上有什么關(guān)系？請(qǐng)?zhí)钕卤?【教學(xué)說明】學(xué)生自主探究，通過填表找到這些角的位置和數(shù)量關(guān)系.4.請(qǐng)你根據(jù)上面的探究，觀察思考∠1與∠3、∠2與∠4位置和數(shù)量上有什么關(guān)系？請(qǐng)?zhí)钕卤?，并說明理由.5.教師歸納總結(jié)：（1）對(duì)頂角：如果兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且它們的兩邊分別互為反向延長線，那么這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.如圖1，∠1與∠3是對(duì)頂角.（2）對(duì)頂角的性質(zhì):對(duì)頂角相等.【教學(xué)說明】這是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)于這些角的位置，學(xué)生描述可能不準(zhǔn)確，教師一定要結(jié)合圖形，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，掌握特征.對(duì)頂角相等需要通過推理得到，要求學(xué)生寫出推理的過程，以訓(xùn)練學(xué)生推理的能力.三、示例講解，掌握新知例1如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠1＝30°，求∠2、∠3、∠4的度數(shù).分析：∠1和∠2有什么關(guān)系？∠1和∠3有什么關(guān)系？∠2和∠4有什么關(guān)系？解：∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝180°—∠1＝180°—30°＝150°.∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝150°.【教學(xué)說明】要充分應(yīng)用對(duì)頂角相等來解決問題，注意推理格式的規(guī)范性.例2如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O,射線OE是∠BOD的平分線，已知∠AOD=110°，求∠COB，∠AOC,∠BOE，∠EOD的度數(shù).【教學(xué)說明】這個(gè)圖形比較復(fù)雜，教師可做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，注意過程的規(guī)范性和合理性.四、練習(xí)反饋，鞏固提高1.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠1的對(duì)頂角是，∠4的對(duì)頂角是.第1題圖第2題圖2.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC+∠BOD=118°，則∠AOD=.3.如圖，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，OE是∠AOC的平分線，那么OF是∠BOD的平分線嗎？為什么？【教學(xué)說明】學(xué)生獨(dú)立完成，對(duì)于第3題，圖形比較復(fù)雜，教師可以做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).注意解題過程的規(guī)范性.【答案】1.∠3，∠22.121°3.解：OF是∠BOD的平分線.∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE.∵∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF.∴∠BOF=∠DOF∴OF平分∠BOD五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)1.兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).2.對(duì)頂角：如果兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且它們的兩邊分別互為反向延長線，那么這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.3.對(duì)頂角的性質(zhì):對(duì)頂角相等.【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，加深印象，對(duì)出現(xiàn)的疑惑及時(shí)予以解答，使學(xué)生更好的掌握本節(jié)課知識(shí).完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)的練習(xí)本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)是建立在“以學(xué)生的發(fā)展為本，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)”的執(zhí)教理念上，融入了新課標(biāo)的思想內(nèi)涵，在重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程中發(fā)現(xiàn)和探究的同時(shí)，也十分重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，突出了學(xué)生的主體地位.使學(xué)生學(xué)會(huì)了將生活問題數(shù)學(xué)化.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中的相交線，從中抽象出數(shù)學(xué)模型，然后讓學(xué)生動(dòng)手畫圖——觀察——猜想——說理，從而認(rèn)識(shí)了對(duì)頂角，發(fā)現(xiàn)了“對(duì)頂角相等”這一性質(zhì).發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論的過程也是不斷反思、不斷提出問題的過程.這種反思應(yīng)該始終伴隨著活動(dòng)的進(jìn)行而開展，否則會(huì)丟掉很多很有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的機(jī)會(huì).學(xué)生在面對(duì)較難問題時(shí)，要學(xué)會(huì)合作交流，學(xué)會(huì)理性地思考，因?yàn)樵诂F(xiàn)代社會(huì)中，學(xué)會(huì)表達(dá)與交流尤為重要.2.垂線【基本目標(biāo)】1.使學(xué)生理解垂線的含義與垂線的畫法；2.能理解點(diǎn)到直線的距離，理解垂線段的意義；3.能在學(xué)習(xí)中了解幾何在不同情況下的分類，并能在一個(gè)三角形中作出三角形的高.【教學(xué)重點(diǎn)】理解點(diǎn)到直線的距離以及垂線段最短.【教學(xué)重點(diǎn)】垂線公理及垂線段最短的應(yīng)用.一、情境導(dǎo)入，激發(fā)興趣〔投影〕如圖，取兩根木條a、b，將它們釘在一起，固定木條a，轉(zhuǎn)動(dòng)木條b.當(dāng)b的位置變化時(shí)，a、b所成的角是如何變化的?其中會(huì)有特殊情況出現(xiàn)嗎?當(dāng)這種情況出現(xiàn)時(shí),a與b相交所成的四個(gè)角分別是多少度？總結(jié)歸納：有，當(dāng)∠α＝90°時(shí)，所成的四個(gè)角都是90°.【教學(xué)說明】在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，必須注意到變與不變，什么變，什么不變，為什么，怎么變？當(dāng)有一個(gè)角是直角時(shí)，另外三個(gè)角也是直角，這個(gè)在原理上必須讓學(xué)生明白.二、合作探究，探索新知1.垂直定義（1）顯然，兩條直線相交有一個(gè)角是90°是一種特殊的情況.（2）當(dāng)兩直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)為直角時(shí)，稱這兩直線互相垂直.兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖，直線AB垂直于直線CD，記作AB⊥CD,垂足為O.【教學(xué)說明】圖形與語言的結(jié)合（轉(zhuǎn)化）是幾何中的一個(gè)難點(diǎn)，教師要進(jìn)行示范.（3）在生產(chǎn)和日常生活中，兩條直線互相垂直的情形是很常見的,如：〔投影2〕你能再舉一些其它的例子嗎？【教學(xué)說明】舉出實(shí)際生活中的實(shí)例，加深學(xué)生對(duì)垂直定義的理解.同時(shí)，也使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，又在生活中有著廣泛的應(yīng)用.2.過一點(diǎn)畫已知直線的垂線（1）如圖，已知直線AB和直線AB外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出直線AB的垂線，你能畫出多少條呢？學(xué)生畫圖，觀察后總結(jié)：只能畫一條.（2）如圖，你能經(jīng)過直線AB上一點(diǎn)P，畫出垂直于直線AB的直線嗎？這樣的垂線能畫多少條呢？學(xué)生畫圖后總結(jié)：只能畫一條.【教學(xué)說明】作圖的方法，可以作為一個(gè)補(bǔ)充知識(shí)進(jìn)行講解.在畫垂線時(shí)，不一定局限于三角板或是量角器，也應(yīng)懂得利用身邊的東西.（3）通過以上的操作，你有什么發(fā)現(xiàn)？歸納總結(jié)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.【教學(xué)說明】這是一個(gè)難點(diǎn)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi).3.垂線段（1）演示：在黑板上固定木條l,l外一點(diǎn)P,木條a一端固定在點(diǎn)P，使之與l相交于點(diǎn)A.左右擺動(dòng)木條a,l與a的交點(diǎn)A隨之變動(dòng),線段PA的長度也隨之變化，a與l的位置關(guān)系怎樣時(shí)，PA最短?小結(jié)：a與l垂直時(shí)，PA最短.這時(shí)的線段PA叫做點(diǎn)P到直線l的垂線段.【教學(xué)說明】讓學(xué)生觀察思考后回答，教師強(qiáng)調(diào)垂線段和垂線的區(qū)別.（2）〔投影3〕畫出PA在擺動(dòng)過程中的幾個(gè)位置.如圖，點(diǎn)A1、A2、A3….在l上,連接PA1、PA2、PA3…，PO⊥l，垂足為O，用疊合法或度量法比較PO、PA1、PA2、PA3…的長短，可知垂線段PO最短.小結(jié)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短.簡單說成:垂線段最短.【教學(xué)說明】學(xué)生通過比較得出結(jié)論，可以再多畫一些線段進(jìn)行比較.然后教師再舉出一些實(shí)例加深理解.（3）我們知道，連接兩點(diǎn)的線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離，這里我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距離.如上圖，PO就是點(diǎn)P到直線l的距離.【教學(xué)說明】教師強(qiáng)調(diào)點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離一樣是一個(gè)正值，是一個(gè)數(shù)量，所以不能畫距離，只能量距離.三、練習(xí)反饋，鞏固提高1.如圖所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,則BD的范圍是()A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm2.到直線l的距離等于2cm的點(diǎn)有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.無數(shù)個(gè)D.無法確定3.點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn),點(diǎn)A,B,C為直線m上三點(diǎn),PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點(diǎn)P到直線m的距離為()A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm如圖,AC⊥BC,C為垂足,CD⊥AB,D為垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6，AC=6,那么點(diǎn)C到AB的距離是,點(diǎn)A到BC的距離是,點(diǎn)B到CD的距離是,A、B兩點(diǎn)的距離是.5.已知:如圖,直線AB,射線OC交于點(diǎn)O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.試判斷OD與OE的位置關(guān)系.【教學(xué)說明】對(duì)于第4題距離的理解是難點(diǎn)，要提醒學(xué)生注意觀察，第5題要注意推理的合理性和格式的規(guī)范性.【答案】1.D2.C3.D4.4.866.4105.解：OD⊥OE，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC.∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOC，∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=×180°=90°.∴OD⊥OE.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)1.當(dāng)兩直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)為直角時(shí)，稱這兩直線互相垂直.兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.2.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.3.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短,簡單說成:垂線段最短.4.我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距離.【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，加深印象，重點(diǎn)是對(duì)于垂線段最短的理解和應(yīng)用.對(duì)出現(xiàn)的疑惑及時(shí)予以解答，使學(xué)生更好的掌握本節(jié)課知識(shí).完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)的練習(xí).引入新課時(shí)，教師從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)，從兩根木條的轉(zhuǎn)動(dòng)中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的特殊位置，為新知識(shí)的探究學(xué)習(xí)做了較好的準(zhǔn)備.以此來激發(fā)學(xué)生的參與興趣，感受由垂線組成圖形的規(guī)矩之美，從而產(chǎn)生親近數(shù)學(xué)的情感.新知探究部分，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，體現(xiàn)以人為本.讓學(xué)生畫一條直線，經(jīng)過直線外一點(diǎn)畫一條垂線，可以讓學(xué)生們畫出了不同方位直線在不同側(cè)的垂線.初步體會(huì)了用作圖工具三角尺畫出的垂線比較規(guī)范，然后教師演示過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線的方法并同步介紹作圖步驟.然后放手讓學(xué)生畫過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線.大家通過動(dòng)口交流、動(dòng)手操作、合作學(xué)習(xí)，積極主動(dòng)地投入到垂線畫法的探究過程中去，利于學(xué)生操作技能的形成和實(shí)踐能力的培養(yǎng).既發(fā)揮了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，又體現(xiàn)了教師的指導(dǎo)作用，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性.讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖——觀察——總結(jié)——?dú)w納的過程，形成知識(shí)點(diǎn).對(duì)于垂線段的內(nèi)容，是本節(jié)課的難點(diǎn)，要讓學(xué)生通過比較，得出定義和性質(zhì)，教師結(jié)合具體的實(shí)例加深學(xué)生的理解.3.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【基本目標(biāo)】1.理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的意義；2.會(huì)熟練地識(shí)別圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.【教學(xué)重點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別.【教學(xué)重點(diǎn)】較復(fù)雜圖形中同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別.一、情境導(dǎo)入，激發(fā)興趣1.如圖，直線AB交直線CD于點(diǎn)O，則從前面的學(xué)習(xí)中，我們也知道在相交所形成的四個(gè)角中，有些角是相鄰且互補(bǔ)，有些角是對(duì)頂角且相等的.2.如圖，直線AB分別與直線CD、直線EF都相交，交點(diǎn)分別為P、Q，則圖中存在著八個(gè)角.這八個(gè)角中，有相同頂點(diǎn)的角是對(duì)頂角或是相鄰且互補(bǔ).那么其它沒有相同頂點(diǎn)的角之間，又有什么位置關(guān)系？【教學(xué)說明】從兩條相交直線引導(dǎo)到一條直線截兩條直線是一個(gè)比較正常、合理的方法，也比較能理順學(xué)生的思路.二、合作探究，探索新知如圖，直線AB、CD與EF相交（或兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截）構(gòu)成個(gè)角.現(xiàn)在，我們來研究其中沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角的關(guān)系.（一）同位角1.定義：如圖，∠1和∠5，分別在直線AB、CD的，在直線EF的.具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角.2.請(qǐng)你找出圖中還有哪幾對(duì)角構(gòu)成同位角？3.兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個(gè)角中，共有對(duì)同位角.【教學(xué)說明】主要是找兩個(gè)角的位置關(guān)系，注意語言的規(guī)范性.教師總結(jié)要強(qiáng)調(diào)同位角的特征.通過找其他的同位角，加深學(xué)生印象.（二）內(nèi)錯(cuò)角1.定義：如圖，∠3和∠5，分別在直線AB、CD的，在直線EF的.具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.2.請(qǐng)你找出圖中還有哪幾對(duì)角構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角？3.兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個(gè)角中，共有對(duì)內(nèi)錯(cuò)角.(三)同旁內(nèi)角1.定義：如圖，∠3和∠6，分別在直線AB、CD的，在直線EF的.具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.2.請(qǐng)你找出圖中還有哪幾對(duì)角構(gòu)成同旁內(nèi)角？3.兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個(gè)角中，共有對(duì)同旁內(nèi)角.【教學(xué)說明】注意總結(jié)方法和規(guī)律，與找同位角相比照，教師總結(jié)它們的特征.三、練習(xí)反饋，鞏固提高1.找出圖中所有的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.2.如圖所示：（1）∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直線、被第三條直線所截而成的.（2）∠2的同位角是，∠1的同位角是.（3）∠3的內(nèi)錯(cuò)角是，∠4的內(nèi)錯(cuò)角是.（4）∠6的同旁內(nèi)角是，∠5的同旁內(nèi)角是，（5）∠4與∠A是同旁內(nèi)角嗎？3.如圖所示：（1）AD，BC被BD所截而成的內(nèi)錯(cuò)角是；（2）CD，AE被AC所截而成的內(nèi)錯(cuò)角是；（3）AD，BF被AE所截而成的同位角是；（4）BD，AE被AD所截而成的同旁內(nèi)角是.4.如圖，四個(gè)圖