希爾伯特幾何公理

-.z.希爾伯特幾何公理石門中學高二〔2〕鄧樂濤一、符號及一些說明有三組不同的對象：點，直線，平面點用A,B,C,D……來表示；直線用a,b,c,d……來表示；平面用α,β,γ,δ……來表示。點稱為直線幾何的元素，點和直線稱為平面幾何的元素，點、直線和平面稱為立體幾何的元素則點，幾何元素之間又有一定的相互關(guān)系點A在直線a上：點A在平面α上：直線a在平面α上：QUOTE〔直線的每一點都在平面上〕點B在點A與點C之間：〔我自己規(guī)定的符號〕線段AB與CD相等：QUOTE〔原書是用號的，不過對于我們不常見，所以我用了=號〕QUOTE與QUOTE相等：QUOTE等等……〔線段，角之類的能在點線面下給出定義，具體在表達公理的時候再說〕在希爾伯特幾何里面，其實點直線和平面是三個未定義的數(shù)學對象，在上面給的最根本的關(guān)系也是沒有定義的，也就是說用什么來代表這些東西都是可以的，正如希爾伯特所說“我們必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’來代替‘點、線、面’〞。最簡單的例子就是解析幾何：我們定義點是實數(shù)對(*,y)，定義線是QUOTE，其實在這個定義下，“幾何〞已經(jīng)失去了“直觀〞的形式了，因為在這個定義下的幾何圖形就變成了毫無幾何直觀的數(shù)字了，只是我們方便研究又將它畫在了坐標系中而已。我這里的關(guān)系符號，QUOTE，QUOTE并不來自于集合論，不要混淆，要再強調(diào)的是他們本身沒有含義，我只是借用過來化簡論述罷了?？傊?，希爾伯特幾何，就是將直觀地幾何語言〔歐氏幾何〕抽象成了邏輯語言，我們所有的幾何定理都可以用邏輯推理得到?！财鋵嵪柌貛缀尉褪峭陚浠臍W氏幾何〕公理I關(guān)聯(lián)公理本組公理有八條，是前面所提的點，直線，平面這三組對象之間建立的一種聯(lián)系：〔為了方便論述，以后說二、三……點的，直線或平面是，都是指不同的點，直線或平面〕I1：對于兩點A和B，恒有一直線a，使得QUOTE〔存在性〕；I2：對于兩點A和B，至多有一直線a，使得QUOTE〔唯一性〕；〔對于1,2，我們可以說兩點確定一直線〕I3：一直線上至少有兩點，至少有三點不在同一直線上；I4：對于不在同一直線的三點A,B和C，恒有一平面α，使得QUOTE；〔存在性〕對于任一平面QUOTE，恒有一點A，使得；I5：對于不在同一直線的三點A,B和C，至多有一平面α，使得QUOTE；〔唯一性〕〔對于4,5，我們可以說三點確定一平面〕I6：假設(shè)QUOTE且QUOTE，則QUOTE；I7：假設(shè)兩平面QUOTE有一個公共點A，則他們至少還有一個公共點B；I8：至少有四點不在同一個平面上。以上。其實我想用形式語言寫出來的，但是實在書上的太難翻譯，而且符號難打，所以放棄了。公理II順序公理本組公理有四條，規(guī)定了“在……之間〞這個關(guān)系。根據(jù)這個概念，直線上的，平面上的，空間上的點才有順序可言。II1：對于點A,B,C，如果，則點A,B,C是直線上不同的三點；這時，也成立；〔如圖〕II2:對于點QUOTE恒有一點，使得；〔如上圖〕II3:一直線的任意三點中，至多有一點在其他兩點間；根據(jù)上面，我們就可以定義線段了：對于直線a和直線上的兩點A,B；我們把這一點對{A,B}稱為線段，用AB或BA表示。在A和B之間的點叫做線段AB的點；A點和B點叫做線段AB的端點。II4:設(shè)A,B,C是不在同一個平面的三點：對于在平面ABC且不經(jīng)過點A,B,C的直線a，假設(shè)a交于線段AB的一點，則它必定交于線段AC或CB的一點〔如圖〕以上。接下來定義射線先定義同側(cè)：設(shè)A,A’,O,B是直線a上的四點，而O在A,B之間，但不在A,A’之間，則A和A’稱為在a上點O的同側(cè)，而A,B兩點稱為異側(cè)。則射線就定義為直線a上點O同側(cè)的點的全體。比方與上圖關(guān)于點O與B同側(cè)的射線我們記為OB〔雖然跟線段的記號一樣，但注意不要混淆〕公理III合同公理本組公理包含五條公理，主要說明幾何對象“相等〞的關(guān)系。III1：對于線段AB和一點A’，恒有一點B’，使得線段AB與線段A’B’相等，記為因為線段與端點的次序無關(guān)，所以一下四個等式的意義一樣：III2：假設(shè)QUOTE且QUOTE，則QUOTE；〔根據(jù)1,2，我們才能得到線段AB與自己相等，才能得到QUOTE與QUOTE等價，這并不是不證自明的事實，有了這個我們才能說兩線段“互相相等〞?？偠灾鶕?jù)1,2我們才能得到線段相等的“反身性〞，“對稱性〞，和“傳遞性〞，這才說明這是一個等價關(guān)系。〕III3：線段AB，BC在同一直線a上，且無公共點；線段A’B’，B’C’在同一直線a’上，且也無公共點。如果QUOTE,則這條公理還要求線段能夠相加，可以定義AB+BC=AC〔其中A,B,C共線〕相當于線段一樣，我們也這樣來規(guī)定角相等。我們先定義角的概念：對于不同一直線的三點O,A,B，射線OA，和射線OB的全體我們稱為角，記為QUOTE。O稱為QUOTE的頂點，射線OA，和射線OB稱為QUOTE的邊。同樣與A,B的次序無關(guān)。根據(jù)定義，平角，零角和凸角〔大于平角的角〕都不在考慮的圍。III4：對于QUOTE，和一條射線O’A’，在射線O’A’所在的一個平面，有且只有一條射線O’B，使得QUOTE與QUOTE相等，記為QUOTE。而且有QUOTE。如同線段一樣，下面四條等式的意義是一樣的然后先定義三角形：線段AB,BC,CA所構(gòu)成的圖形，記為。III5：假設(shè)與，有以下等式則有QUOTE這條公理可以理解為三角形全等〔SAS〕，事實上SAS這個公理的直接推論。公理IV平行公理這條公理顯得很蒼白，但在歷史上很重要……先定義平行：對于同一平面上的兩條直線線a和b，a與b無公共點，則稱a與b平行，記為.IV〔歐幾里得平行公理〕：設(shè)a是任意一條直線，A是a外的任意一點，在a和A所決定的平面上，至多有一條直線b，使得且。根據(jù)這個公理，我們可以得到平行線錯角，同位角相等；反之也成立。公理V連續(xù)公理V1〔阿基米德原理〕：對于線段AB,CD，則必定存在一個數(shù)n，使得沿著射線AB，自A作首尾相連的n個線段CD，必將越過B點。在這里必須說下數(shù)的阿基米德原理：任意給定兩個數(shù)a,bQUOTE，必存在正整數(shù)n，使na>bV2〔直線完備公理〕：將直線截成兩段a,b(不是直線)，對于任意的A∈a，B∈b，則總存在一個點C，C∈AB。也就是說，不再存在一點不在直線上，把這點添加到直線上之后，仍滿足前面的公理I~IV的〔書上的描述太籠統(tǒng)，我還是用我自己的話說了〕要注意的是直線完備公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公理的相容性這里所謂的相容性，就是這五組公理是互不矛盾的。也就是說，不能從這些公理推導到相矛盾的結(jié)果。但是，如果直接從公理出發(fā)證明相容性幾乎是一件不可能的事情〔而且如果一個公理體系含有皮亞諾算術(shù)公理的話，這還是一個不可能的事情，這是根據(jù)哥德爾不完全定理得到的〕，則我們應(yīng)該如何來證明呢？希爾伯特將方向轉(zhuǎn)向了“數(shù)〞。我們只說明平面幾何〔因為好說明〕，立體幾何類似。。我們考慮的是實數(shù)域R。點我們用實數(shù)對QUOTE來表示：QUOTE；直線我們用QUOTE來表示：QUOTE。兩條直線QUOTE，QUOTE平行，當且僅當QUOTE點QUOTE在直線QUOTE上：點QUOTE在點QUOTE與點QUOTE之間：QUOTE；對于點，線的平移，對稱，旋轉(zhuǎn)的變換，我們用一個變換來表達：QUOTE，其中然后如果線段相等就是，兩線段在以上的坐標變換中能重合，角亦然?！睵S把線段和角也看做點的集合，定義懶得寫了〕則用以上規(guī)定幾何對象公理I〔關(guān)聯(lián)公理〕顯然都是成立的，只需要用到①②③規(guī)定。公理II〔順序公理〕顯然也都是成立的，再加上④規(guī)定。公理III〔合同公理〕也是成立的，加上規(guī)定⑤。需要一點點論述，就是點與直線在經(jīng)過⑥的變換后仍然是我們所研究的幾何對象〔也就是說*’,y’都還是實數(shù)，其實就是要說明QUOTE形的數(shù)還是實數(shù)，這是顯然的〕公理IV〔平行公理〕在直線的這種規(guī)定下是成立的。公理V〔連續(xù)公理〕根據(jù)實數(shù)的完備性，還有實數(shù)是阿基米德域這一性質(zhì)可以直接得到。也就是說我們所做的規(guī)定都是滿足“稱為幾何〞的性質(zhì)的，我們便可以將這些實數(shù)，實數(shù)對作為幾何對象。則這樣，就把這五組公理的相容性就與算術(shù)的相容性聯(lián)系在了一起了。則只需要證明算術(shù)的相容性就可以了。關(guān)于算術(shù)的相容性，這里是對于實數(shù)理論，但是其相容性能在自身證明〔這是個完備的公理系統(tǒng)〕。但是按照希爾伯特的意愿一般來說指的是皮亞諾算術(shù)公理的相容性，不過根據(jù)哥德爾不完備定理，這是在算術(shù)公理是無法自證的，只能根據(jù)另外一個跟更強的公理系統(tǒng)〔比方說集合論ZFC公理〕來證明，可是這“另外一個公理系統(tǒng)〞的相容性，又不能用自身證明了==〔根茨〔G.Gentaen，1909-1945〕1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性〕。簡短提一下的是，這個幾何公理系統(tǒng)不僅是相容的，而且是完備的〔就是這個公理的任一語句都能在這個公理系統(tǒng)證明，即確定其真值〕三、平行公理的獨立性〔非歐幾何〕我們知道了公理的相容性之后，其實還有一個有趣的問題是公理的獨立性，雖然這并不影響論證〔多些方便的公理還方便于論證呢〕，但是數(shù)學家們總喜歡簡潔的東西……額不說了。什么是獨立性？就是一個公理不能是其他公理的邏輯推論。如何證明這里*個公理獨立性？一個方法就是剔除掉這個公理，然后根據(jù)其它公理構(gòu)建一個新的模型，使得被剔除掉的公理不滿足于這個模型。歷史上最令人爭議的就是平行公理了，也就是用歐幾里得提出的公理來證明平行公設(shè)……當然都失敗了。之后，人們就發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。什么是非歐幾何學？其實就是滿足以上除了平行公理的所有公理的幾何模型。既然有了非歐幾何，則平行公里的獨立性就不證自明了?，F(xiàn)在主要是分成兩種，一個是黎曼幾何，一個是羅氏幾何。然而黎曼幾何我不清楚〔手頭的書也沒有〕，所以我不提……對于羅氏幾何，來代替原來平行公理的公理描述如下：如果b是任一直線，且A是不在b上，則過點A有不在同一直線的兩條射線a1，a2，它們與b都不相交，而且在a1，a2所成角的任一射線都與b都相交。則a1，a2所在的直線稱為與b平行然后非歐幾何學最簡單的一個特例就是球面幾何，連高中選修都會講到只需要定義“直線〞為大圓便好……我就不深入了。四、合同公理的獨立性相對平行公理來說，合同公理的獨立性并沒有在歷史上并沒有引起太大的爭議。因為合同公理1~4并沒有什么卵用，所以我們只需要說明公理III5(可以說是三角形全等的SAS)具有獨立性就好。一般來說，我們定義線段相等就是長度相等，角相等就是角度相等，而我們所說的長度，比方對QUOTE,QUOTE，QUOTE，這個可以在前面在規(guī)定坐標變換中得到。接下來我們便拋棄這個“長度〞的設(shè)定〔就是拋棄上面規(guī)定⑥中線段相等的定義〕，噢，要保存原來角相等的設(shè)定。我們新定義一個長度：對于QUOTE,QUOTE，QUOTE規(guī)定線段相等就是長度相等。在這個規(guī)定下驗算公理I,II,III1~4,IV,V都是成立的。只不過唯獨對于III5就不一定成立了。舉一個反例：顯然QUOTE，OA=OC=OB。按照公理III5，但是在這種規(guī)定下顯然QUOTE。從而證明了公理III5的獨立性。五、連續(xù)公理的獨立性這是我們要表達獨立性的最后一組公理〔其他的沒必要〕。同上面的方法一樣，我們又得找一個數(shù)學對象只滿足公理I~IV了。我們又是要把研究的方向轉(zhuǎn)向了數(shù)。其實在說明五組公理的相容性的時候我們是用了實數(shù)域R來構(gòu)建幾何，其實域有許許多多，而實數(shù)恰好又滿足眾多域不滿足的性質(zhì)：完備性，阿基米德原理。則其實我們只要找一個域不滿足這兩個性質(zhì)的就好，然而這樣的域又有許許多多。〔域通俗來說就是滿足加減乘除的東西的集合，當然還要滿足乘法交換率〕首先我們很容易就構(gòu)建一個域F，從1開場，其加減乘除，還有QUOTE〔QUOTE是經(jīng)過這五種運算的結(jié)果〕的得到的所有結(jié)果都放在F里。則這個域的數(shù)字構(gòu)造的幾何對象滿足公理I~IV，但是因為其自身并不滿足完備性〔也就是畫出來的數(shù)軸有“洞〞〕，比方說，也就從而說明了完備性的獨立性。題外話，這個域F其實挺重要的，在證明尺規(guī)作圖的可行性就是基于這個域。然后是非阿基米德域，也就是不滿足阿基米德原理的數(shù)域，舉個最簡單的例子，一個集合，可以驗證其加減乘除都在QUOTE里，所以這是一個域。這是實數(shù)的一個子集，我們一般描述這個集合里這些數(shù)的序關(guān)系是最簡單的大小關(guān)系，比方說QUOTE。然后我們要構(gòu)建一個新的描述這些數(shù)的序關(guān)系，在這個序關(guān)系下QUOTE是一個非阿基米德域。定義序關(guān)系QUOTE舉個例子QUOTE；QUOTE等等。也就是優(yōu)先比擬QUOTE的大小.則在這個順序關(guān)系下，QUOTE并不滿足阿基米德原理〔由讀者自己驗證〕，所以這是一個非阿基米德域。當然非阿基米德域還有好多好多，比方說上面的域F，也可以找一個類似的序關(guān)系來代替掉大小關(guān)系〔這種序關(guān)系〕，使得F是一個非阿基米德域。再構(gòu)造幾何對象，那就是一個除了連續(xù)公理〔完備性和阿基米德原理兩個個都不滿足〕的幾何體系了。不過值得注意的是同時滿足阿基米德原理和完備性的就只有實數(shù)R了。這點也說明了希爾伯特幾何的唯一性。六、一些補充皮亞諾算術(shù)公理QUOTE0不是任何數(shù)的后繼數(shù)QUOTE*與y的后繼數(shù)相等，則*與y相等QUOTE，QUOTE為算術(shù)公理的任一公式這個就是數(shù)學歸納法QUOTE存在零元和幺元QUOTE加法的定義QUOTE乘法的定義這里QUOTE就是后繼數(shù)，比方1的后繼數(shù)就是2.這里的公理3,5,6決定了皮亞諾公理的不完備性，具體怎樣就不說了，哥德爾不完備定理的證明用的是遞歸函數(shù)，然后遞歸函數(shù)又是以公理3,5,6所定義的。實數(shù)公理約定，所有實數(shù)記為QUOTE，一局部實數(shù)*，記為QUOTE;*中存在實數(shù)*，則記為加法公理QUOTE零元存在性QUOTE存在相反數(shù)QUOTE加法結(jié)合律QUOTE加法交換律乘法公理QUOTE幺元存在性QUOTE存在倒數(shù)QUOTE乘法結(jié)合律QUOTE乘法交換律乘法對加法的分配率序公理QUOTE反身性QUOTE反對稱性QUOTE傳遞性QUOTE任意兩個實數(shù)都能比擬大小加法和乘法與序的關(guān)系QUOTE不等式兩端同時加上一個實數(shù)，不等號方向不改變QUOTE正數(shù)之積為正數(shù)完備公理QUOTE對于任意的兩局部實數(shù)*,Y，滿足對于任意實數(shù),，有，則存在一個實數(shù)c，使得。對于完備公理，要說明一下，這里用的是二階邏輯來寫的。還有只有QUOTE才滿足。舉個例子。如果自然數(shù)QUOTE，滿足完備公理，我把自然數(shù)分成兩局部：QUOTE，QUOTE，則不存在一個數(shù)〔QUOTE,QUOTE〕,這個數(shù)就是QUOTE.這里對應(yīng)的就是直線的完備公理。關(guān)于公理系統(tǒng)什么是公理系統(tǒng)？一個公理系統(tǒng)可以這樣理解：它是一個形式化的語言，由字符表〔比方幾何公理中用A，a，α表示的點線面〕，形成規(guī)則〔邏輯公理，就是推理的規(guī)則，還有非邏輯公理，就是我們給出的公理，比方說完備公理〕，還有公式〔按照形成規(guī)則構(gòu)成的字符串〕組成。他們沒有任何含義，就像一部按規(guī)則擺弄拼湊字符的機器罷了，它們給出的只是