不等式解題技巧

不等式解題技巧近年來(lái)在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點(diǎn),有極大的遷移性,對(duì)它的運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性?！胺趴s法”它可以和很多知識(shí)內(nèi)容結(jié)合，對(duì)應(yīng)變能力有較高的要求。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對(duì)讀者能有所幫助。1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)） 例1、已知求證：證明： 若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時(shí)就舍去了，從而是使和式得到化簡(jiǎn).2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例2、函數(shù)f（x）=，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.證明：由f(n)==1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>.此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征,先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和.若分子,分母如果同時(shí)存在變量時(shí),要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降姆趴s對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。3、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）例3、已知an=n，求證：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3．證明：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))=eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))＜1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(1,eq\r((k－1)k(k＋1)))＜１＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(2,eq\r((k－1)(k＋1))(eq\r(k＋1)＋eq\r(k－1)))==1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))(eq\f(1,eq\r((k－1)))－eq\f(1,eq\r((k＋1))))=1＋1＋－－eq\f(1,eq\r((n＋1)))＜2＋＜3．本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；例4、已知數(shù)列滿足求證：證明本題通過(guò)對(duì)因式放大，而得到一個(gè)容易求和的式子，最終得出證明.5、逐項(xiàng)放大或縮小例5、設(shè)求證：證明：∵∴∴，∴本題利用，對(duì)中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。6、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；例6、求證：證明：此題采用了從第三項(xiàng)開(kāi)始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開(kāi)始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。7、利用基本不等式放縮例7、已知，證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.證明：要證，只要證.因?yàn)?，，故只要證，即只要證.因?yàn)?，所以命題得證.本題通過(guò)化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不等式由放大即可.8、先適當(dāng)組合,排序,再逐項(xiàng)比較或放縮例8、.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：niA＜miA；(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m證明：(1)對(duì)于1＜i≤m，且A=m·…·(m－i+1)，，由于m＜n，對(duì)于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有，所以(2)由二項(xiàng)式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，由(1)知miA＞niA(1＜i≤m＜n，而C=∴miCin＞niCim(1＜m＜n∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)還需要幾種方法融為一體。在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力．本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．9．先求和后放縮例1．正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：解：（1）由已知得，時(shí)，，作差得：，所以，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式．如果此數(shù)列的前項(xiàng)和能直接求和或者通過(guò)變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來(lái)證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來(lái)求和．10．先放縮再求和1）．放縮后成等差數(shù)列，再求和例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求證：；(2)求證：解：（1）在條件中，令，得，，又由條件有，上述兩式相減，注意到得∴所以，，所以（2）因?yàn)?，所以，所以?）．放縮后成等比數(shù)列，再求和例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：；（2）等比數(shù)列{an}中，，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：B解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an≥a，于是，．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a－1≥1，且an≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3）．放縮后為差比數(shù)列，再求和例4．已知數(shù)列滿足：，．求證：證明：因?yàn)?，所以與同號(hào)，又因?yàn)?，所以，即，即．所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：．令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．4）．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5．在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時(shí)Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)．（1）求a4、a5，并寫(xiě)出an的表達(dá)式；（2）令，證明，n=1,2,….解（1）由已知得，.（2）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?.綜上，.注：常用放縮的結(jié)論：（1）（2）．在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式．如例２要證明的結(jié)論、為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論為差比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為差比數(shù)列，再求和即可；如例5要證明的結(jié)論為裂項(xiàng)相消求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為相鄰兩項(xiàng)或相隔一項(xiàng)的差，再求和即可．雖然證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中比較困難的問(wèn)題，但是我們通過(guò)仔細(xì)分析它的條件與要證明的結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項(xiàng)朝什么方向進(jìn)行放縮．如果我們平時(shí)能多觀測(cè)要證明結(jié)論的特征與數(shù)列求和之間的關(guān)系，則仍然容易找到解決這類問(wèn)題的突破口．新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個(gè)向量的數(shù)量積有一個(gè)性質(zhì)：（其中θ為向量a與b的夾角），則，又，則易得到以下推論： （1）； （2）； （3）當(dāng)a與b同向時(shí)，；當(dāng)a與b反向時(shí)，； （4）當(dāng)a與b共線時(shí)，。 下面例析以上推論在解不等式問(wèn)題中的應(yīng)用。 11、證明不等式 例1已知。 證明：設(shè)m=（1，1），，則 由性質(zhì)，得 例2已知。 證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 由性質(zhì) 例3已知a，b，c，求證：。 證明：設(shè)，， 則 由性質(zhì)，得 例4已知a,b為正數(shù)，求證：。 證明：設(shè) 由性質(zhì)，得 例5設(shè)，求證：。 證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則 由性質(zhì)，得 12、比較大小 例6已知m,n,a,b,c,d，那么p，q的大小關(guān)系為（） A. B. C.p<q D.p,q大小不能確定 解：設(shè)，，則 由性質(zhì)得 即，故選（A） 13、求最值 例7已知m,n,x,y，且，那么mx+ny的最大值為（） A. B. C. D. 解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則 由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得 而 從而有 當(dāng)p與q同向時(shí)，mx+ny取最大值，故選（A）。 例8求函數(shù)的最大值。 解：設(shè)，則 由性質(zhì)，得 當(dāng) 14、求參數(shù)的取值范圍 例9設(shè)x,y為正數(shù)，不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：設(shè)，則 由性質(zhì)，得 又不等式恒成立 故有15、求極值例1

過(guò)點(diǎn)P(3，2)作直線l分別交x軸、y軸正方向于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積S的最小值．【解】

如圖2-21，設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3)(k＜0)，則它