2023-2024學年江蘇省南京師范大學灌云附屬中學高一上學期期初摸底考試數學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat10頁2023-2024學年江蘇省南京師范大學灌云附屬中學高一上學期期初摸底考試數學試題一、單選題1．若集合，則集合中的元素個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據條件，直接寫出集合，即可得到結果.【詳解】由，即，所以集合中的元素個數為5個，故選：C.2．滿足的集合A的個數為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據已知條件可知集合中必有，集合還可以有元素，寫出集合的所有情況即可求解.【詳解】因為集合滿足，所以集合中必有，集合還可以有元素，滿足條件的集合有：，，，，共有4個，故選：A.3．若不等式的一個充分條件為，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解，得到，再利用條件即可求出結果.【詳解】由，得到，又不等式的一個充分條件為，所以，故選：C.4．已知集合，，且，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出，再根據條件，即可求出結果.【詳解】因為，所以，又，，所以，得到，故選：A.5．已知兩個正數a，b滿足，則的最小值是A．23 B．24 C．25 D．26【答案】C【分析】根據題意，分析可得，對其變形可得，由基本不等式分析可得答案．【詳解】根據題意，正數a，b滿足，則，當且僅當時等號成立.即的最小值是25．本題選擇C選項.【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．6．下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據不等式性質、基本不等式成立的條件逐個選項分析可得答案.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，因為，所以，僅當a為±1時等號成立，故C正確；對于D，因為，所以，僅當a為±1時等號成立，故錯誤.故選：C7．已知函數的兩個零點中，一個零點大于2，另外一個零點小于2，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意畫出函數的草圖可知，，由此即可得解.【詳解】如下圖所示：

不妨設函數的兩個零點分別為，由于拋物線開口向上，所以由題意有，整理得，解得，即實數m的取值范圍是.故選：B.8．甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩個人步行速度、跑步速度均相同，步行速度小于跑步速度，那么下列結論中正確的是（

）A．甲先到教室 B．乙先到教室C．兩個人同時到教室 D．誰先到教室不確定【答案】B【分析】根據題意求出兩人所用時間，再運用差比法進行求解判斷即可.【詳解】設兩個人步行速度、跑步速度分別是為，且，甲、乙兩人同時從寢室到教室的時間分別為，寢室到教室的距離為，所以有，，，因為，所以，因此乙先到教室，故選：B二、多選題9．對任意實數a，b，c，給出下列命題，其中為真命題的是（

）A．“”是“”的必要條件B．“”是“”的充分條件C．“”是“”的必要條件D．“是無理數”是“a是無理數”的充分條件【答案】CD【分析】根據充分性和必要性的定義逐一判斷即可.【詳解】A：當時，顯然成立，但推不出，因此本選項不正確；B：當時，顯然，但是推不出，因此本選項不正確；C：因為，所以本選項正確；D：由是無理數能推出a是無理數，所以本選項正確，故選：CD10．已知集合，，若，則實數a的值可以是（

）A．0 B． C．2 D．【答案】ABD【分析】先求出集合，再利用條件，即可求出結果.【詳解】由，得到或，即，因為，由，當時，無解，此時，滿足題意，當時，得到，所以或，得到或，故選：ABD.11．已知，則的值可以是（

）A．4 B．10 C． D．3【答案】ABC【分析】分和兩種情況，利用基本不等式即可求出結果.【詳解】因為，當時，，當且僅當時，取等號，當時，，當且僅當時，取等號，所以選項ABC滿足題意，故選：ABC.12．已知且，則下列不等式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用基本不等式，對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.【詳解】對于選項A，因為，，所以，當且僅當時取等號，所以選項A正確；對于選項B，因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以選項B正確；對于選項C，當時，滿足，此時，所以選項C錯誤；對于選項D，因為，當且僅當，即時取等號，所以選項D錯誤.故選：AB.三、填空題13．已知一元二次不等式的解集為，則的解集為.【答案】【分析】由題意知是方程的兩根，根據韋達定理可得出，代入解不等式即可求出結果.【詳解】因為一元二次不等式的解集為，所以，是方程的兩根，由韋達定理得，，得到，代入，得到，即，令，因為，所以的解集為，故答案為：.14．化簡的結果為.【答案】【分析】根據根式的性質化簡即可.【詳解】.故答案為：.15．設a為實數，，，若，則a的取值范圍是.【答案】【分析】直接根據集合的關系結合數軸得到不等式即可.【詳解】因為，，，所以.

故答案為：16．若“，恒成立”是真命題，則實數m的最大值是.【答案】2【分析】根據條件，將問題轉成在區(qū)間上恒成立，構造函數，求出在區(qū)間上的最小值即可求出結果.【詳解】因為對，恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，易知，當時，，所以，得到，故答案為：2.四、解答題17．設m為實數，，.若，求m的值.【答案】或【分析】由分類討論求出，結合集合互異性確定取值即可.【詳解】因為，當時，，，，滿足題設；當時，，，，滿足題設，故或18．解下列關于x的不等式.(1)(2)【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）令，將不等式轉化為t的一元二次不等式先求t的范圍再求x的范圍；（2）將原式分解因式再對參數進行討論可解不等式.【詳解】（1）令得，解得，又因為，所以，所以解得，即；（2）原式分解因式得，當時，得，當時，無解，當時，得.19．設全集，集合，集合，其中，若“”是“”的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】【分析】由“”是“”的充分不必要條件，可得，從而可得不等式組求解即可.【詳解】“”是“”的充分不必要條件可得，則且不能同時取到等號，解得滿足要求，故實數a的取值范圍是.20．（1）若方程在上有兩個根，求a的取值范圍.（2）若函數的兩個零點都在內，求a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【分析】（1）利用一元二次方程根的判定方法即可求出結果；（2）利用二次函數的圖像，借助圖形來確定函數的零點.【詳解】（1）方程在上有兩個根，所以，即，解得或，所以a的取值范圍為或.（2）因為的兩個零點都在內，所以且，同時，即，解得，所以a的取值范圍為.21．某地區(qū)上年度電價為0.8元/kw·h，年用電量為akw·h.本年度計劃將電價降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kw·h.經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數為k)．該地區(qū)電力的成本價為0.3元/kw·h.(1)寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式；(2)設k=0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%?【答案】(1)；(2)0.60元/kw·h.【分析】(1)根據給定條件列出下調電價后年用電量的表達式，再列出收益函數關系即可作答.(2)由(1)的結論結合給定的條件列出不等式組，求解即可作答.【詳解】（1）設下調后的電價為x元/kw·h，依題意知，用電量增至()kw·h，電力部門的收益為：，所以電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式是：.（2）依題意，，化簡整理得：，解此不等式組得：，所以當電價最低定為0.60元/kw·h時，仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%.22．已知.(1)如果對一切，恒成立，求實數的取值范圍；(2)是否存在實數，使得對任意，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由二次函數對