2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案 一次函數(shù)之找規(guī)律

一次函數(shù)之找規(guī)律

可知識(shí)點(diǎn)精講

找規(guī)律在考試試卷中經(jīng)常出現(xiàn)一類題型，它要求學(xué)生通過(guò)對(duì)題目中所給出的一些“數(shù)或圖形”的特點(diǎn)，

分析其規(guī)律，從而給出結(jié)論，這就是所謂“探索規(guī)律題”。

規(guī)律探索型題是根據(jù)已知條件或題干所提供的若干特例，通過(guò)觀察、類比、歸納,發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含的數(shù)

字或圖形的本質(zhì)規(guī)律與特征的一類探索性問(wèn)題。這類問(wèn)題在素材的選取、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)等

方面都比較新穎新。其目的是考查學(xué)生收集、分析數(shù)據(jù)，處理信息的能力

規(guī)律探索型問(wèn)題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問(wèn)題，它往往

給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件,要求學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、分析、猜想來(lái)探索規(guī)律.它體

現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法,考察了學(xué)生的分析、解決問(wèn)題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及

探究能力和創(chuàng)新能力，題型主要是填空題

技巧與方法：

用代數(shù)式把一列變化著的式或圖形的規(guī)律表示出來(lái)，是探究性題目中很重要的一類，下面研究解決這

類題目所用到的主要數(shù)學(xué)思想和思考方法

主要思路:觀察f類比f(wàn)歸納f猜想f驗(yàn)證

知識(shí)要點(diǎn)支撐

常見(jiàn)數(shù)例規(guī)律數(shù)列知識(shí)點(diǎn)

1.數(shù)列的概念

⑴數(shù)列定義:按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列

數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，記作a,,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置

的叫第2項(xiàng),……，序號(hào)為〃的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作:數(shù)列的一般形式：

簡(jiǎn)記作｛?！埃?/p>

(2)通項(xiàng)公式的定義:如果數(shù)列｛4｝的第"項(xiàng)與〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就

叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

(一)等差數(shù)列:相鄰數(shù)之間的差值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減

1、等差數(shù)列定義:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么

這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，用遞推公式表示為

an—an-i=d(n^2)

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式“=0+(〃-l)d

3、等差數(shù)列的前〃和的求和公式:$=位切=〃4=也二11〃（高斯算法）

22

（二）等比數(shù)列:相鄰數(shù)之間的比值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減

1.等比數(shù)列定義:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比:公比通常用字母q表示

%+*”=q（q*0）

2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：（%4關(guān)0）

3.等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式

一般地，設(shè)等比數(shù)列4，a2,a},―,an,…的前〃項(xiàng)和是S,=4+%+/,當(dāng)時(shí)，Sn

————豈1或S“=3——；當(dāng)q=l時(shí)，Sn—nat（錯(cuò)位相減法）.

\-q\-q

（三）二階等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式：

定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差按照前后次序排成新的數(shù)列，成為一個(gè)等差數(shù)

列，則稱數(shù)列（★）為二階等差數(shù)列.

相應(yīng)地，d=（a3—a2）—（a2—a1）=%+q—2a2稱為二階等差數(shù)列的二階公差.

n1

2

此即為二階等差數(shù)列的通項(xiàng).

例2]^^38173047

68,…

依次相差|H5913172A

依次相差|n/44444[

公差d

總結(jié)一階數(shù)列（等差數(shù)列）二階數(shù)列

一階等差數(shù)列第〃項(xiàng)的規(guī)律：%=%+（〃-D(1

二階等差數(shù)列第〃項(xiàng)的規(guī)律：%+（n-1）4+

2'’

1,3

a.+(n~1)b.+(一〃-——〃+l)d,(?)

'22

一階數(shù)列符合一次函數(shù)關(guān)系式，二階數(shù)列符合二次函數(shù)關(guān)系式.

練(1)1,2,4,7,11,16,22,…

(2)1,3,6,10,15,21,28,…

(3)1,3,7,13,21,31,43,…

(4)2,2,5,11,20,32,47,…

(三)常見(jiàn)的數(shù)字變化規(guī)律：

自然數(shù)數(shù)列12345.................n

偶數(shù)數(shù)列24681012................2n

奇數(shù)數(shù)列13579.................2/?-1

3579................2〃+1

2481632................2"

13715312?-1

35917332"+1

392781................3"

完全平方數(shù).............................n

一個(gè)數(shù)的平方加一個(gè)數(shù)等于第二個(gè)數(shù)25101726.....n2+l

一個(gè)數(shù)的平方減一個(gè)數(shù)等于第二個(gè)數(shù)03815263548...n2-l

加法數(shù)列11235813213455斐波那契數(shù)列

符合規(guī)律

-+-+-+..............(—1)"

+-+-+-+..............(-1)/1

010n+\

010111(-1)

2+2

典型例題

例1如圖，直線y=x+l分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B,以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)

A，再過(guò)點(diǎn)4作x軸的垂線交直線于點(diǎn)q以點(diǎn)A為圓心，A長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)兒，…，按此

做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)義的坐標(biāo)是()

A.(15,0)B.(16,0)C.(872,0)D.(8&-1,0)

【答案】A.

根據(jù)題意，利用勾股定理求出44,A4,A&的長(zhǎng)，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，找到規(guī)律即可解答.

【詳解】

解：當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)>,=0時(shí)，x=-1；可得A(—1,0),8(0,1),4A1=AB=\JOA2+OB2=JF+T

—5/2；AA,—Afl,—(V2j—2；AAj—AB-,—\J2~+2-—25/2；

A(5/2-1,0),A2(2-1,0),A(2>/2-1,0),即A(正一1,0),4(4一1,0),A3(Vs

—1,0)；可得4=5/?—1=16—1=15.故選A.

例2如圖，直線/1_Lx軸于點(diǎn)(1,0),直線軸于點(diǎn)(2,0),直線軸于點(diǎn)(3,0),……

直線/“_Lx軸于點(diǎn)("，0),函數(shù)y=x的圖象與直線4、4、匕、…、/“分別交于點(diǎn)A,、A2、&、…、An；

函數(shù)y=2x的圖象與直線《、4、4、…、/“分別交于點(diǎn)片、B2,鳥、…、紇.如果△。人用的面積記

作S,,四邊形AAB2S,的面積記作52,四邊形A,&aB2的面積記作S3，…，四邊形4rA?B?B,i的

面積記作5.，那么S刈8=()

A.2017.5B.2018C.2018.5D.2019

【答案】A.

【分析】根據(jù)直線解析式求出4_,紇T,A,8“的值，再根據(jù)直線/,I與直線/“互相平行并判斷出四邊形A,I

A,,￡紇一是梯形，然后根據(jù)梯形的面積公式求出S,,的表達(dá)式，然后把“=2013代入表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算即可

得解.

【詳解】

解：根據(jù)題意，An_{=2(n—1)—(n—1)=2n—1—n+\=n—1,AnBn=2n—n=n,

?.?直線軸于點(diǎn)(〃-1,0),直線/軸于點(diǎn)(小0),A,-，且加與間的距離

為1,...四邊形A,-A“紇瓦一是梯形，S“=g(n-l+n)Xl=l(2〃-1),當(dāng)〃=2018時(shí)，S20l8=

(2X2018-1)=2017.5,故選：A.

本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，讀懂題意，根據(jù)直線解析式求出A,-紇A"紇的值是解題

的關(guān)鍵.

例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù))，=2犬和丫=一》的圖象分別為直線/-12,過(guò)點(diǎn)(1,0)作x軸

的垂線交/］于點(diǎn)4，過(guò)A1點(diǎn)作y軸的垂線交4于點(diǎn)42，過(guò)42點(diǎn)作X軸的垂線交4于點(diǎn)A?3，過(guò)點(diǎn)43作》軸

的垂線交4于點(diǎn)…依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)人019的坐標(biāo)為.

【答案】(-22009,-22010).

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)4、4、4、A,、4、4、4、4等的坐標(biāo)，根

據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“4用㈠"，22〃"),A應(yīng)(-22B+,,22""),七(-22n+l,-22n+2),4M

(2""2,-22nt2)("為自然數(shù))”，依此規(guī)律結(jié)合2019=504X4+3即可找出點(diǎn)&oi9的坐標(biāo).

【詳解】

當(dāng)x=l時(shí)，y=2,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,2)；當(dāng)y=-x=2時(shí)，元=-2,...點(diǎn)&的坐標(biāo)為(-2,2)；同

—-

理可得：&(—2,—4),A4(4,4),A5(4,8),A(—8,8),A7(—8,16),4(16,

—16),Ag(16132),,,,,

2n+12n+l2n+12n+l2n+22n+221,+2

(2?"，2),4?+2(-2,2),4什3(-2,-2),4,I+4(2,-2)(n

04

為自然數(shù))，V2019=504X4+3,AA2()l9的坐標(biāo)為(一2，4*?)，即(—，—2刈°),故

答案為(-2皿，-22010).

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)的圖象以及規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)

2n+l2n+l2n+l2n+,2n+22n+

的變化找出變化規(guī)律"44"+13,2),44n+2(-2,2),A4“+3(-2,-2),A4n+4(2

2,—22"+2)(〃為自然數(shù))”是解題的關(guān)鍵.

例5.正方形4B1G。，A2B2C2C1,&&C3c2…按如圖所示放置，點(diǎn)4、A2、4…在直線)，=x+l上，點(diǎn)C

|、C2、C3…在X軸上，則A5的坐標(biāo)是.

【答案】（15,16）

【解析】

【分析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征及正方形的性質(zhì)求出4、4、4的坐標(biāo)，找出規(guī)律，即可解答.

【詳解】

?.?直線y=x+l和y軸交于4

二4的坐標(biāo)（0,1）

即。4=1

?.?四邊形GO48是正方形

OC\=OA\=\,把x=l代入y=x+l得：y=2,

，A2的坐標(biāo)為（1，2）,同理A3的坐標(biāo)為（3,4）

二4的坐標(biāo)為（2"-|-1,2。,

的坐標(biāo)是（25-1-1,25-1）,即（15,16）

故答案為：（15,16）

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及正方形的性質(zhì)；通過(guò)求出第一個(gè)正方形、第二個(gè)正方形和第

三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)得出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵

例6.如圖，己知點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）,直線/為），=x.過(guò)點(diǎn)Ai作4囪_1_、軸交直線/于點(diǎn)Bi,過(guò)點(diǎn)囪

作AzB」/交y軸于點(diǎn)A2；過(guò)點(diǎn)A2作4%，丫軸交直線/于點(diǎn)6，過(guò)點(diǎn)比作A382，/交y軸于點(diǎn)4，…,

則AnBn的長(zhǎng)是.

【答案】2"-'

【解析】

【分析】

由點(diǎn)4的坐標(biāo)可得出點(diǎn)8的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出48的長(zhǎng)，由A28，/交y軸于點(diǎn)4結(jié)合直線/為y=x可

得出△4A2s為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)A2的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)

的坐標(biāo)可得出點(diǎn)民的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)，同理，可得出A/4,….的長(zhǎng)，再根據(jù)各線段

長(zhǎng)度的變化可找出變化規(guī)律"A,B,=2"-”'，此題得解

【詳解】

解：：點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）

.,.點(diǎn)81的坐標(biāo)為（1,1）,A\B\—\

交y軸于點(diǎn)4，直線/為y=x

：./\AXA2B\為等腰直角三角形，

.?.點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（2,2）,

：.A2B2=2

同理，可得：A3%=4,A4&=8,…，

二AnBn=2n~x

故答案為：2廣1

本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)線段

長(zhǎng)度的變化找出變化規(guī)律"A〃B"=2"

相似題

1.如圖所示，直線y=x+l與y軸相交于點(diǎn)Ai，以O(shè)A為邊作正方形O4SG，記作第一個(gè)正方形；然

后延長(zhǎng)GBi與直線y=x+l相交于點(diǎn)心，再以GA2為邊作正方形GA282c2,記作第二個(gè)正方形；同樣延

長(zhǎng)C2&與直線y=x+l相交于點(diǎn)A3,再以C2A3為邊作正方形C2482c3,記作第三個(gè)正方形；…依此類推，

則第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為.

【答案】2片|

【解析】

【分析】

解題的關(guān)鍵是求出第一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)，然后依次計(jì)算〃=1,〃=2…總結(jié)出規(guī)律.

【詳解】

解：根據(jù)題意不難得出第一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)=1,

那么：〃=1時(shí)，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：1=2°

〃=2時(shí)，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：2=2]

〃=3時(shí)，第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：4=22

第"個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：2?-'

故答案為：2廣1

2.如圖放置的△OABi，△8|4瓦，△82A2B3…都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)O,S，

B2,當(dāng)…都在直線/上，則點(diǎn)42019的坐標(biāo)是.

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得出直線8田的解析式為：y=Gx進(jìn)而得出B,Bi，Be，&坐標(biāo)，進(jìn)而得出坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)

而得出答案.

【詳解】

過(guò)Bi向x軸作垂線BiC垂足為C,

由題意可得：A(l,0),AO//AiBi，NOBC=30°,；.。8]=工~,

2

.??81的橫坐標(biāo)為：1,則囪的縱坐標(biāo)為：1,???點(diǎn)S，%,

…都在直線y=6x上,

22

同理可得出：A2(2,G)(1+-,—n).

22

亞1,鄴5,故答案為：(型，期6)

2222

此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及數(shù)字變化類，得出4點(diǎn)橫縱坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

4.如圖，正方形AOBO2的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(0,2),Oi為正方形4OB。2的中心；以正方形4OBOz的對(duì)

角線AB為邊，在AB的右側(cè)作正方形ABChA，。2為正方形AB。3Al的中心：再以正方形A3。3Al的對(duì)角

線A|B為邊，在A|B的右側(cè)作正方形488104,。3為正方形A1B8O4的中心；再以正方形4加8。4的對(duì)角

線AIBI為邊，在45的右側(cè)作正方形AiBOsA?，。4為正方形4BI0SA2的中心：…；按照此規(guī)律繼續(xù)下去，

則點(diǎn)02018的坐標(biāo)為.

【答案】⑵3°—2,21009).

【解析】

【分析】

由題意。|(1，1)，O2(2,2),。3(4,2),。4(6,4),05(10,4),06(14,8)…觀察可知，下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)

的縱坐標(biāo)為下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)在直線)，=gx+l上，點(diǎn)O20I8的縱坐標(biāo)為級(jí)009,可得2@9=gx+l,同

側(cè)x=2皿°-2,可得點(diǎn)0018的坐標(biāo)為⑵3°—2,2'009).

【詳解】

由題意Oi(l，1),02(2,2),5(4,2),。4(6,4),05(10,4),4(14,8)…

n

觀察可知，下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為”

下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)在直線y=gx+l上，

?.?點(diǎn)。2。18的縱坐標(biāo)為2I009,

2

：.x=2'mo-2,

.?.點(diǎn)。2。18的坐標(biāo)為⑵21009)

故答案為⑵°1°一2,21009).

4.如圖，Al,Ai,A3…，An,4"+1是直線/1：丫=出》上的點(diǎn)，且。A1=4A2=AM3=…A"A"+1=2,

分別過(guò)點(diǎn)4,A2,A3…，4,4+1作/i的垂線與直線L：>----尢相交于點(diǎn)Bi,Bi,胡…，B〃,

3

Bn+l,連接432,31A2,A2&,B2A3…，AnBn+l,BnAn+],交點(diǎn)依次為Pl,P2,23…，Pn,設(shè)4

P1A1A2,△P2A2A3,△尸3A344,…，△P/AAi+l的面積分別為Si,S2,S3…,Sn，則

=.(用含有正整數(shù)?的式子表示)

n2+n2\/3

【答案】

In+13

【分析】設(shè)△OA1B1的面積為S.由O4=AIA2=A2A3=3A,AHI,A\B\//A2B2//A3B3//-//AltB,?

推出AiBi：A2B2：A3B3：???：A,B,=1：2：3：…：n,推出5A=S,S.ARA=2S,…，

S,.=nS,探究規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問(wèn)題；

4%Al簿iA八十1

【解答】解：設(shè)△0451的面積為S.

由題意可知OA]=AlA2=A2A3=---AflAn+l,A\B\//A2B2//A3B3//???//AnBn,

AA1S1：A2B2：A3B3：AnBn=1：2：3：???：n,

=5,S

?，?SAABAAABA=2S,…，S=〃S,

,234n+1

??Si=-SiS2=-*2S,53=—，3S,…，Sn=----------?nS,

3572n+1

?直線/1：產(chǎn)出x上的點(diǎn)，直線?y=—x，

3

.??兩條直線與工軸的夾角分別為60°和30°,

AZAiOBi=30°,

V0/11=2,

,2A/3

??AiBi=------,

3

2_273

.?.S=2X2X

2也3

n2+n2A/3

?**Sn=

2n+1~3~

本題考查兩條直線相交或平行問(wèn)題，規(guī)律問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，尋找規(guī)律解決

問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.在直角坐標(biāo)系中，直線/：4與x軸交于點(diǎn)81,以05為邊長(zhǎng)作等邊△AiOBi,過(guò)點(diǎn)

-33

4作A182平行于x軸，交直線/于點(diǎn)心，以A1a為邊長(zhǎng)作等邊△A2A182,過(guò)點(diǎn)A2作AI32平行于

X軸，交直線/于點(diǎn)期,以A2B3為邊長(zhǎng)作等邊3A2&,…，則等邊△/!2017A2018及018的邊長(zhǎng)

是.

【答案】22017.

【分析】從特殊得到一般探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可;

【解答】解：?.?直線/：y=g，”立與X軸交于點(diǎn)

33

：.B\(1,0),OB]=1,△OA181的邊長(zhǎng)為1；

?.?直線——與x軸的夾角為30°,NAI3IO=60°,

33

ZAIBIB2=90°

*/ZAIB2BI=30

.?.AI&=2AI5I=2,Z\A283A3的邊長(zhǎng)是2,

同法可得：42&=4,283A3的邊長(zhǎng)是22；

由此可得，△4,B"+iA”+i的邊長(zhǎng)是2",

AA20I7B20I8A2018的邊長(zhǎng)是Z??！?

故答案為22017.

6.如圖，一個(gè)粒子在第一象限內(nèi)及x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，第一分鐘內(nèi)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(1,0),第二分鐘

從(1,0)運(yùn)動(dòng)到(1,1),而后它接著按圖中箭頭所示的與x軸，y軸平行的方向來(lái)回運(yùn)動(dòng)，且

每分鐘移動(dòng)1個(gè)長(zhǎng)度單位，那么，第2019分鐘時(shí)，這個(gè)粒子所在位置的坐標(biāo)是()

A.(44,5)B.(5,44)C.(44,6)D.(6,44)

【答案】A

【分析】要弄清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，先觀察橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的相同點(diǎn)：(0,0),粒子運(yùn)動(dòng)了0分鐘;

(1,1)就是運(yùn)動(dòng)了2=1X2分鐘，將向左運(yùn)動(dòng)；

(2,2)粒子運(yùn)動(dòng)了6=2X3分鐘，將向下運(yùn)動(dòng)；

(3,3),粒子運(yùn)動(dòng)了12=3X4分鐘.將向左運(yùn)動(dòng)…；

(44,44)點(diǎn)處粒子運(yùn)動(dòng)了44X45=1980分鐘，此時(shí)粒子會(huì)將向下移動(dòng)，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：(2)(0,0)表示粒子運(yùn)動(dòng)了0分鐘；

(1,1)表示粒子運(yùn)動(dòng)了2=1X2分鐘，將向左運(yùn)動(dòng)；

(2,2)表示粒子運(yùn)動(dòng)了6=2X3分鐘，將向下運(yùn)動(dòng)；

(3,3)表示粒子運(yùn)動(dòng)了12=3X4分鐘，將向左運(yùn)動(dòng)…

于是會(huì)出現(xiàn)：(44,44)點(diǎn)處粒子運(yùn)動(dòng)了44X45=1980分鐘，此時(shí)粒子會(huì)將向下移動(dòng).

從而在運(yùn)動(dòng)了2019分鐘后，粒子又向下移動(dòng)了2019-1980=39個(gè)單位長(zhǎng)度，44-39=5,

故粒子所在位置為(44,5).

故選：A.

本題是考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，是一個(gè)閱讀理解并猜想規(guī)律的題目，解答此題的關(guān)鍵是總結(jié)規(guī)律首

先確定點(diǎn)所在的大致位置，然后就可以進(jìn)一步推得點(diǎn)的坐標(biāo).

7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，有一等腰直角三角形OA8,ZOAB=90°,直角邊OA在x軸正半軸上，

且。4=1,將Rt^OAB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,同時(shí)擴(kuò)大邊長(zhǎng)的1倍，得到等腰直角三角形。4以

(即40=2A0).同理，將RraOAiBi順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,同時(shí)擴(kuò)大邊長(zhǎng)1倍，得到等腰直角三

角形。A2B2……依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA20I482014,則A20I4點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(0,22014)B.(0,-22014)C.(22014,0)D.(-22014,0)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得出A點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出點(diǎn)A2014的坐標(biāo)位置，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?.?將用ZVIOB繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形4081,且40=2A。，

再將繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰三角形A2O62,且A2O=2AI?！来艘?guī)律，

.?.每4次循環(huán)一周，4(0,-2),A2(-4,0),A3(0,8),A4(16,0),

V20144-4=503-2,

.,.點(diǎn)42014與A2同在X軸負(fù)半軸,

V-4=-22,8=23,16=24,

.?.點(diǎn)A2014(-22014,0).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的

探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型.

8.如圖，彈性小球從點(diǎn)P((),1)出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到正方形O43C的邊時(shí)反彈，

反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P(2,0),第2次碰到正方

形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2,…，第〃次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P,”則點(diǎn)P2018的坐標(biāo)是()

A.(1,4)B.(4,3)C.(2,4)D.(4,1)

【答案】D

【分析】先根據(jù)反射角等于入射角先找出幾個(gè)點(diǎn)，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后再根據(jù)規(guī)律進(jìn)行求解.

【解答】解：如圖，根據(jù)反射角等于入射角畫圖，可知光線從P2反射后到P3(0,3),再反射到

P4(2,4),再反射到尸5(4,3),再反射到P點(diǎn)(0,1)之后，再循環(huán)反射，每6次一循環(huán)，

2018+6=336…2,即點(diǎn)P2018的坐標(biāo)是(4,1).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是規(guī)律探究題，解答時(shí)要注意找到循環(huán)數(shù)值，從而得到規(guī)律.

4.我們把1,1,2,3,5,8,13,21,…這組數(shù)稱為斐波那契數(shù)列，為了進(jìn)一步研究，依次以這列

數(shù)為半徑作90°圓弧笆］，募：右記，…得到斐波那契螺旋線，然后順次連結(jié)PP2,P2P3,

14CiOJ4

P3P4,…得到螺旋折線(如圖)，已知點(diǎn)P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),則該折線

上的點(diǎn)尸9的坐標(biāo)為()

C.(-5,24)D.(-5,25)

【分析】觀察圖象，推出P9的位置，即可解決問(wèn)題.

【解答】解：由題意，P5在尸2的正上方，推出尸9在尸6的正上方，且到P6的距離=21+5=26,

所以P9的坐標(biāo)為（-6,25）,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，確定P9的位置.

課后追蹤

1.如圖，一個(gè)粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每分鐘移動(dòng)一次，依次運(yùn)動(dòng)到（（），1）f（1,0）f（1,1）f（1,

2）一（2,1）則2015分鐘時(shí)粒子所在點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

7。

6

5

4

3

2

O234567%

A.886B.903C.946D.990

【答案】D

【解析】分析：解決本題的關(guān)鍵就是要對(duì)平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)按照橫坐標(biāo)分行，找到行與點(diǎn)個(gè)數(shù)的

關(guān)系，利用不等式的夾逼原則，求出2015點(diǎn)的橫坐標(biāo).

詳解：?.?一個(gè)粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每分鐘移動(dòng)一次，依次運(yùn)動(dòng)到（0,1）-（1,0）-（1,1）-（1,

2）f（2,1）-*???,

第1行：x=02個(gè)點(diǎn)（共2個(gè)點(diǎn)）

第2行：x=l3個(gè)點(diǎn)x=21個(gè)點(diǎn)（共4個(gè)點(diǎn)）

第3行：x=34個(gè)點(diǎn)x=41個(gè)點(diǎn)x=51個(gè)點(diǎn)（共6個(gè)點(diǎn)）

第4行：x=65個(gè)點(diǎn)x—11個(gè)點(diǎn)X—81個(gè)點(diǎn)x—91個(gè)點(diǎn)（共8個(gè)點(diǎn)）

第5行：x=106個(gè)點(diǎn)x=l11個(gè)點(diǎn)x=121個(gè)點(diǎn)x=131個(gè)點(diǎn)x=141個(gè)點(diǎn)（共

10個(gè)點(diǎn)）

第6行：x=157個(gè)點(diǎn)x=161個(gè)點(diǎn)x=171個(gè)點(diǎn)x=181個(gè)點(diǎn)

x=191個(gè)點(diǎn)x=201個(gè)點(diǎn)(共12個(gè)點(diǎn))

第"行：x=——"+1個(gè)點(diǎn)(共In個(gè)點(diǎn))

2

2+4+6+8+10+…+2〃W2()15

(2+2〃)X〃+2W2015且"為正整數(shù)

得"=44,

當(dāng)〃=44時(shí)：2+4+6+8+10+…+88=1980

且當(dāng)〃=45時(shí),：2+4+6+8+10+-+90=2070

1980<2015<2027

...2015在45行，

第45行：x=二"=99()46個(gè)點(diǎn)

"*"25

1980<2015<1980+46

.?.第2015個(gè)粒子橫坐標(biāo)為990

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】題目考查了數(shù)字的變化規(guī)律，題目整體較難，對(duì)于此類問(wèn)題一方面要理清已知量的關(guān)系，

另一方面為了簡(jiǎn)便計(jì)算，可以適當(dāng)掌握一些數(shù)列計(jì)算公式.例如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a“=m+(n

-1)d、等差數(shù)列求和公式：5=里上3等.

2

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“一”方向排列，如(1,0),(2,

0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0).根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第100個(gè)

點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(14,8)B.(13,0)C.(10(),99)D.(15,14)

【答案】A

【分析】由圖形得出點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次是1、2、3、4、5、…，且橫坐標(biāo)是偶數(shù)時(shí)，箭頭朝上，又由1+2+3+-

+13=91,1+2+3+…+14=105,可得第91個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(13,0),第100個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為14,繼

而求得答案.

【解答】解：由圖形可知：點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次是1、2、3、4、5、…，且橫坐標(biāo)是偶數(shù)時(shí)，箭頭朝上，

?.T+2+3+…+13=91,1+2+3+…+14=105,

.?.第91個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(13,0),第100個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為14.

:在第14行點(diǎn)的走向?yàn)橄蛏希?/p>

縱坐標(biāo)為從第92個(gè)點(diǎn)向上數(shù)8個(gè)點(diǎn)，即為8；

.?.第100個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(14,8).

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目

比較典型，但是一道比較容易出借的題目.

3.趙爽弦圖是由位于第一象限的四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,

如圖所示，若這四個(gè)全等直角三角形的兩條直角邊分別平行于x軸和y軸，大正方形的頂點(diǎn)明、

17

。、。2、。3、…、Q在直線X+—上，頂點(diǎn)。1、￡>2、。3、…、?！ㄔ?軸上，則第〃個(gè)陰影

22

小正方形的面積為.

7

【答案】（§）?.

【分析】設(shè)第〃個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為z,則第〃個(gè)陰影小正方形的邊長(zhǎng)為一■〃“，根據(jù)一次函數(shù)圖

17

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出直線y=-與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出m的值，再根據(jù)

n1

相似三角形的性質(zhì)即可得出an=（|）-'?i=V5（I）"-,結(jié)合正方形的面積公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)第"個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為如，則第〃個(gè)陰影小正方形的邊長(zhǎng)為手所,

177

當(dāng)x=0時(shí)，y=—-AH———，

222

.7_V5V5

>?----------------Cl1H--------Cl1,

255

??41=.

V?1=6Z2+—6Z2,

2

同理可得：43=—42,44=—43，。5=—44,…，

333

.?.斯=(2)"[=有(2尸，

33

.?.第n個(gè)陰影小正方形的面積為"。，＞=[(＞了=(|產(chǎn)-2.

故答案為:(")2"-2.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及正方形的面積,

找出第"個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為a,,=(|)"Tm=石(|)x是解題的關(guān)鍵.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：y=x,作Ai(1,0)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)亂，將點(diǎn)81向右

水平平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A2；再作A2關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)82,將點(diǎn)Bi向右水平平移2個(gè)單位得到

點(diǎn)43；….請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：點(diǎn)A3的坐標(biāo)是，點(diǎn)82014的坐標(biāo)是.

【分析】根據(jù)題意畫出圖象，進(jìn)而得出各點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)而得出答案.

【解答】解：如圖所示：點(diǎn)A3的坐標(biāo)是：(3,2),

VB1(0,1),①(1,2),&(2,3),

???8點(diǎn)橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)小1,

.?.點(diǎn)82014的坐標(biāo)是：(2013,2014).

故答案為：(3,2),(2013,2014).

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x,y),我們把點(diǎn)P'(―y+1,x+1)叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn).已知

點(diǎn)Ai的伴隨點(diǎn)為A2,點(diǎn)4的伴隨點(diǎn)為小,點(diǎn)A3的伴隨點(diǎn)為4,…，這樣依次得到點(diǎn)4,A2,A3,...A?

若點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(3,1),點(diǎn)A2的坐標(biāo)為,若點(diǎn)4()19的坐標(biāo)為,則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(a,

h),對(duì)于任意的正整數(shù)〃，點(diǎn)4均在x軸上方，則a,b應(yīng)滿足的條件為.

【答案】(0,4),(-3,1)T<a<l且0<bV2

(分析】根據(jù)伴隨點(diǎn)的定義，計(jì)算出A2的坐標(biāo)，羅列出部分點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A的變化找出規(guī)律

即可求出4()19的

坐標(biāo)；根據(jù)X軸上方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0列出不等式組求解即可。

【詳解】

的坐標(biāo)為(3,1)

A>(0,4),As(-3,1),Ai(0,-2),As(3,1),

依此類推，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

.,.20194-4=504.......3

AzoS的坐標(biāo)為(—3,1)?

(3)?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b)

(一匕+1,a+1),Ai(.—a,—h+2),Ai(h—1,—a+1),As(a,b),

依此類推，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

???對(duì)于任意的正整數(shù)〃，點(diǎn)4均在x軸上方，

.Ja+1>0J-b+2>0

??[-4+1>0力"0

解得一0<b<2.

故答案為：(0,4)；(-3,1)；-且0V6V2

本題是對(duì)點(diǎn)的變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，理解“伴隨點(diǎn)”的定義并求出每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組

依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵。

6o如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0,?。?、B（-1,0）,過(guò)點(diǎn)A作4B的垂線交x軸于點(diǎn)A,

過(guò)點(diǎn)A作的垂線交y軸于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)A,作44的垂線交x軸于點(diǎn)As…按此規(guī)律繼續(xù)作下去，直

至得到點(diǎn)4ns為止，則點(diǎn)Aans坐標(biāo)為。

【答案】（-31008,0）

【解析】VA（0,?。?、B（-1,0）

J.ABVAAy,

的坐標(biāo)為：（3,0）,

同理可得：4的坐標(biāo)為：（0,-3^3）,

A：；的坐標(biāo)為：（-9,0）,

?.,2015+4=503…3

，點(diǎn)盤前坐標(biāo)為（-31008,0）

7.如圖，動(dòng)點(diǎn)尸從（0,3）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入

射角，當(dāng)點(diǎn)P第2013次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)