2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練四邊形含解析2

2021-4-2920XX年復(fù)習(xí)資料

教學(xué)復(fù)習(xí)資料

班級(jí):科目：

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練《四邊形》

1.如圖①，在矩形/靦中，已知%=8。而，點(diǎn)G為正邊上一點(diǎn)，滿(mǎn)足％=4?=6須，動(dòng)點(diǎn)

七以\cm/s的速度沿線(xiàn)段而從點(diǎn)6移動(dòng)到點(diǎn)G,連接AE,作EFLAE,交線(xiàn)段切于點(diǎn)F.設(shè)

點(diǎn)￡移動(dòng)的時(shí)間為t(s),%的長(zhǎng)度為y(c加，/與t的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

(1)圖①中，CG=2cm,圖②中，m—2；

(2)點(diǎn)廠能否為線(xiàn)段"的中點(diǎn)？若可能，求出此時(shí)￡的值，若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在圖①中，連接的設(shè)4G與項(xiàng)交于點(diǎn)"若4G平分△力斯的面積，求此時(shí)t

??CG—2cm,

,CEFLAE,

:.NAE班NFEC=9Q°,且N力覬N胡￡=90°,

:.NBAE=NFE&且NB=/C=9Q°,

/XABE^fXECF,

.ABBE

??二一I,

ECCF

Vt=6t

:.BE=6cm,CE=2cm,

.6二6

:.CF=2cm,

??m~~2,

故答案為：2,2；

（2）若點(diǎn)尸是切中點(diǎn)，

:.CF=DF=3cm，

,/XABEsXECF、

?..AB=BE，

ECCF

.6_8-EC

"EC"3

-8冊(cè)］8=0

=△=64-72=-8<0,

.,.點(diǎn)尸不可能是切中點(diǎn)；

(3)如圖①，過(guò)點(diǎn)〃作4y于點(diǎn)屈

NC=90°J1MLBC,

HM//CD,

叢EHMs/XEFC,

EH_EM

市一而

4G平分麗的面積,

EH=FH,

EM=MC,

BE=t,EC=8-t,

￡￥=陰4-—t,

2

MG=CM-CG=2-

2

AB_BE

EC"CF'

6_t

9

M=8t-t

6

EM=MC,EH=FH,

6y=8t-t2

212

*：AB=BG=6,

：.ZAGB=45°,且HM工BC,

:?/HGM=/GH2=43°,

...空工i=2-主，

122

t=2或t=12,且K6,

t=2.

2.問(wèn)題提出:

(1)如圖1,△/吃■的邊3C在直線(xiàn)〃上,過(guò)頂點(diǎn)4作直線(xiàn)而〃〃，在直線(xiàn)加上任取一點(diǎn)

連接6〃、CD,則△/)回的面積=△46C的面積.

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,在菱形/及力和菱形%fi51中，BG=6,//=60°,求△順的面積；

問(wèn)題解決：

(3)如圖3,在矩形46徵中，46=12,a'=10,在矩形內(nèi)(也可以在邊上)存在一

點(diǎn)只使得△/第的面積等于矩形/時(shí)的面積的求露周長(zhǎng)的最小值.

5

解：?jiǎn)栴}提出：

(1)???兩條平行線(xiàn)間的距離一定，

△46c與△龍C同底等高,即△46。的面積=△加，的面積，

故答案為：=;

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,連接加，

圖2

???四邊形/況〃四邊形仇;必是菱形,

：.AD//BC,BC//EF.AD=ABfBG=BEy

：.ZA=ZCBE=600,

，△力如是等邊三角形，△以；"是等邊三角形,

：.AABD=^GBE=^,

:?BD〃GE,

??S〉DG[i=S^BGE

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)、P作PE〃AB,交AD于點(diǎn)、E,

o

的面積等于矩形被力的面積的芻

5

19

：.—X12XAE=—X12X10

25

?"￡=8,

作點(diǎn)力關(guān)于"的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)"，連接08交所于點(diǎn)只此時(shí)△力帆周長(zhǎng)最小,

???/E=AE=8,

：.AA=16,

A'B=NNg+AB2=V256+144=20，

△/以周長(zhǎng)的最小值=A外AB+PB=A)抖PmAB=20+12=32.

3.(1)方法感悟：

如圖①，在正方形力8⑺中，點(diǎn)只F分別為“回邊上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足N￡4尸=45°,連

接EF.將繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到易證從而得到結(jié)論：

DE+BF=EF.根據(jù)這個(gè)結(jié)論，若5=6,DE=2,求分1的長(zhǎng).

(2)方法遷移：

如圖②，若在四邊形/靦中，AB=AD,N責(zé)/D=18Q°,E、夕分別是比、切上的點(diǎn)，且

NEAF*NBAD,試猜想陽(yáng)能即之間有何數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論.

(3)問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形/靦中,4?=/〃，/班N4)C=180°,E、尸分別是邊

BC、切延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且N￡4尸/胡〃，試探究線(xiàn)段正BE、切之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)

直接寫(xiě)出你的猜想(不必說(shuō)明理由).

二二

GBFC

cE

圖①圖②圖③

解：（1）方法感悟：

:將△//應(yīng)繞點(diǎn)/I順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△/%,

:?GB=DE=2,

?:XGAF絲IXEAF

:?GF=EF,

■:CD=6,DE=2

:?CE=%

?：EF1=CF2ACEZ,

???歐=（8-庚）2+16,

:.EF=5;

(2)方法遷移:

DE+BF=EF,

理由如下:如圖②,將△?1場(chǎng)繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△/掰

圖②

由旋轉(zhuǎn)可得，AH=AE,BH=DE,N\=N2,ND=NABH,

'：NEAF*/DAB,

：.ZHAF=Zl+Z3=Z2+Z3=^ZBAD,

：.Z//AF=AEAF,

,:NAB卅NABF=/訃NABF=180°,

點(diǎn)隊(duì)B、尸三點(diǎn)共線(xiàn)，

在△4跖和△4附中，

'AH=AE

<ZHAF=ZEAF

AF=AF

:.XAE叫XAHF(SAS),

:.EF=HF,

：.EF=DE+BF.

(3)問(wèn)題拓展：

EF=BF-FD,

理由如下:在a'上截取BH=DF,

???N6+N4%=180°,ZADaZADF=180°,

：./B=NADR且AB=AD,BH=DF,

:?△ABH^/\ADF(SAS

：.ZBAH=4DAF,AH=AD,

'：AEAF=—ABAD,

2

，ADAE+ABAH=—ABAD,

2

ZHAE=^ABAD=NEAF,且AE=AE,AH=AD,

:ZAB^XFAE(必S)

：.HE=EF,

:.EF=HE=BE-BH=BE-DF.

4.如圖1,在口ABCD中，AB=3cm,6C=5CR,4cL仍力沿然的方向勻速平移得至lj△外砌

速度為1c加s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿3方向勻速移動(dòng)，速度為IcWs,當(dāng)△437

停止平移時(shí)，點(diǎn)0也停止移動(dòng)，如圖2,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(5)(0<<4)，連結(jié)A。，」媳，解

答下列問(wèn)題：

⑴當(dāng)t為何值時(shí)，網(wǎng)〃朗V?

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，N0g45°?

(3)當(dāng)匕為何值時(shí),AQL監(jiān)

解：(1)?:AB=3cni,BC=5cm,ACVAB,

.\/IC=A/BC2_AB2=4OT,

'：MN//AB,PQ//MN,

：.PQ//AB,

.CPCQ

"CA

.4-tt

??—,

45

⑵如圖2,過(guò)點(diǎn)0作磔L4G則。加4氏

.CQCE_QE

^CB'CA"AB'

.tCEQE

??>——■f

543

43

==

CE—5t，QE—it?5

?：4CPQ=45°,

2

:.PE=QE==t,

r+—1+—1=4,

55

t="s

3

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作PFLBC于廠點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M件MH'BC,交比1延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,

二四邊形巴糜是矩形，

:.PM=FH=5,

：N/l=N/￥r=90°,NACB=NPCF,

XABCs[\FPC,

.PFCFPC

"AB"AC"BO'

.PFCF4-t

??—

345

...7y=12-3t,CF=16-4t,

55

*q+q+

：.QH=5-FQ=5-(CF-CQ)=^-^,

5

'：PQ1MQ,

:.NPQ~MQH=9Q°，且NPQF+NFPg9Q°,

ZFPgNMQH,且ZPFQ==90°,

.PFQH

,?而而，

12-3t9+9t

.5=5

"16-4t=12-3t

-?--t—?—

5.問(wèn)題背景：如圖1,在正方形/靦的內(nèi)部，作NDAE=4ABF=4BCG=4CDH,根據(jù)三角

形全等的條件，易得△的修△仍修△"“△口，/,從而得四邊形旗67/是正方形.

類(lèi)比探究：如圖2,在正△4%的內(nèi)部，作/1=/2=/3,Al),BE,O兩兩相交于〃，E,

尸三點(diǎn)(。，E,尸三點(diǎn)不重合).

(1)/XABD,叢BCE,廠是否全等？如果是，請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明;

(2)△叱是否為正三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)如圖3,進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△/；放的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè),BQa,AQb,AB

圖1圖2

(1)/\ABD^/\BCE^/\CAF-,理由如下：

?.?△4弘是正三角形，

ZCAB=NABC=N8O=60°,AB=BC=AC,

又；/1=/2=/3,

，ZABD=ABCE=ZCAF,

，ZABD=ZBCE=ZCAF

在故、△應(yīng)￡■和△。尸中，AB=BC=CA

Z1=Z2=Z3

:.(XABD^△BCE^XCAFkAS心;

(2)aw是正三角形;理由如下：

,/△ABM△BCE^△CAF,

：.ZADB=ZBEC=ZCFA,

NFDE=ADEF=NEFD,

，△戚是正三角形；

(3)d=a2+a加爐.作于G,如圖所示：

?.?△叱是正三角形，

：.ZADG=60a,

itRtAJ^'f,DG=—b,4C=退&

22

在RtZU用中，c2=(^-—6)2+(返6)2,

22

c=a'+ab^-l).

6.如圖，在四邊形4?5中，47是對(duì)角線(xiàn)，NABC=NCDA=9G°,BC=CD,延長(zhǎng)犯交4〃

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

(1)求證：AB=AD；

(2)若AE=BE+DE,求N為。的值；

(3)過(guò)點(diǎn)E作的加四，交4。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)就作股交加的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)巴

連接陽(yáng).設(shè)陽(yáng)=a，點(diǎn)。是直線(xiàn)If上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)仞＞尸。的值最小時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)￡是否可

能重合？若可能，請(qǐng)說(shuō)明理由并求此時(shí)欣升心的值(用含a的式子表示)；若不可能，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

B

c

ED

(1)證明：u：ZABC=ZCDA=90°,

*：BC=CD,AC=AC,

???Rt△極XRt△/%(〃/：).

：.AB=AD.

(2)解：.：AE=BE+DE、

又?：AE=A/DE,

:.AD=BE.

?:AB=AD,

：.AB=BE.

:?/BAD=/BEA.

u：ZABC=90°,

Z&4Z>-45°.

??,由⑴得△■三

:./BAC=/DAC.

：.ZBAG-22.5°.

(3)解：當(dāng)桃的值最小時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)月可以重合，理由如下:

?:ME"AB,

:./ABC=/MEC=9G，/MAB=/EMA.

*：MP1DC,

:"MPC=9G°.

:?/MPC=/ADC=9G°.

J.PM//AD.

?/EAM=/PMA.

由(1)得，RtZU比2

:./EAC=/MAB、

：.ZEMA=ZAMP.即加1平分N4皈

又?：MPLCP,ME1CE,

：.PC=EC.

設(shè)/EAM=a,IjllJZMAP=a.

在中，N8E4=90。-2a.

在Rt△做'中，/皿=90。-/BEA=2a.

?:PC=EC、

：.4PEB=/EPC=AECD=a.

:?/PED=/BEAQPEB=9C-a.

ME//AB,

：.ZQED=ZBAD=2d.

當(dāng)N&〃=N4?9時(shí)，

■:NPDE=4QDE,DE=DE,

???△加匡△松(ASA).

:?PD=DQ.

即點(diǎn)P與點(diǎn)、。關(guān)于直線(xiàn)力￡成軸對(duì)稱(chēng)，也即點(diǎn)以點(diǎn)E、點(diǎn)、〃關(guān)于直線(xiàn)月少的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q,

這三點(diǎn)共線(xiàn),也即，階內(nèi)的值最小時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)￡?重合.

因?yàn)楫?dāng)腐時(shí)，90°-a=2a,也即a=30°.

所以，當(dāng)乙4劭=60°時(shí)，，盼加取最小值時(shí)的點(diǎn)。與點(diǎn)￡重合.

此時(shí)例外尸。的最小值即為ME+PE.

'：PC=EC,>ZPCB=ZECD,CB=CD,

:.XPC噲XECD(S45).

：.ZCBP^NCDE=9Q°.

：.ZCBP^ZABC=].80a.

：.A,B,―三點(diǎn)共線(xiàn).

當(dāng)N4M=60°時(shí)，在△陽(yáng)4中，

NPAE=NPEA=6G°.

勿14=60°.

△物為等邊三角形.

,:EBLAP,

:.A—2AB=2a.

:.E4AE=2a.

：N0〃=N￡4M=30°,

：.EM=AE=2a.

盼陽(yáng)的最小值為4a.

7.己知：如圖，在正方形48切中，點(diǎn)￡在4〃邊上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)4出發(fā)向點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)，到達(dá)〃

點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).作射線(xiàn)圓并將射線(xiàn)黨繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,旋轉(zhuǎn)后的射線(xiàn)與^邊

交于點(diǎn)尸，連接出

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)猜想線(xiàn)段外;跖毋'的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)過(guò)點(diǎn)，作CGLEF,垂足為點(diǎn)G,若正方形4%/的邊長(zhǎng)是4,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的

路線(xiàn)長(zhǎng).

解：(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示：

(2)線(xiàn)段陽(yáng)EF,BF的數(shù)量關(guān)系為：EF=DE+BF.理由如下:

延長(zhǎng)/〃到點(diǎn)〃，使力/=阮連接如圖2所示：

??,四邊形］靦是正方形，

：./BCD=ZADC=ZB=9y、BC=DC,

：.ZCDH=90°=/B,

'DH=BF

在△QW和△慟中，ZCDH=ZB^

DC=BC

:?叢CD但I(xiàn)XCBF(SIS).

：?CH=CF,4DCH=4BCF.

???/瓦尸=45°,

:?4ECH=/ECI>/DCH=/ECD^/BCF=45。.

：.ZEC//=Z￡CF=45Q.

'CH=CF

在△a7/和中，ZECH=ZECF?

CE=CE

:.AEGaXECF(SIS).

:.EH=EF.

YEH=D*DH,

:.EF=DE+BF；

(3)由(2)得：XEC噲XECFlSAS),

：?4CEH=/CEF,

VCDLAD,CGLEF,

:?CD=CG=4,

?,?點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心4為半徑的弧DB,

，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)長(zhǎng)=羋"裊"：4=2it.

180

居.

圖3

8.如圖，在正方形力質(zhì)中，戶(hù)是邊比'上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合），點(diǎn)6關(guān)于

直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為反連接/工連接應(yīng)并延長(zhǎng)交射線(xiàn)/產(chǎn)于點(diǎn)八連接品

（1）若//—a,直接寫(xiě)出N4?尸的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）求證:跖_(tái)L。?；

（3）連接綏用等式表示線(xiàn)段4RBF,〃1之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（1）解：由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：/劭QN初々a,AE=AB,

??,四邊形/物是正方形，

:.NBAD=9b0,AB=AD,

：.ZDAE=90°-2a,AD=AE,

：.ZADF=ZAED=—(1800-4DAD=—(900+2a)=45°+Q；

22

(2)證明：???四邊形47徵是正方形，

???N￡4〃=90°,AB=ADf

丁點(diǎn)后與點(diǎn)8關(guān)于直線(xiàn)V對(duì)稱(chēng)，

:"AEF=4ABF,AE=AB

：.AE=AD.

:?/ADE=/AED.

?；NW愉=180°,

???在四邊形4a切中，/AD*/ABF=18V,

:?/BFA/BAD=18y,

???/為叨=90°

:.BF1DR

(3)解：線(xiàn)段〃；BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系為力尸=?冊(cè)5理由如下:

過(guò)點(diǎn)、B作BWLBF交AF于點(diǎn)、帆如圖所示：

???四邊形/題是正方形，

：.AB=CB,/ABC=90°,

：.ZABM=/CBF,

?.,點(diǎn)￡與點(diǎn)8關(guān)于直線(xiàn)力尸對(duì)稱(chēng)，/BFD=90：

:./MFB=/MFE=45°,

???△囪加是等腰直角三角形，

:.BM=BF,m=?BF,

'AB=CB

在△兒監(jiān)和中，ZABM=ZCBF，

BI=BF

:.XAMaACFB(SIS),

:.AM=CF,

?：AF=FWAM,

:"F=MBF+CF.

9.如圖1,已知等腰中，6為邊AC上一點(diǎn)，過(guò)￡點(diǎn)作見(jiàn)46于尸點(diǎn)，以為邊作正

方形，且/C=3,EF=M.

(1)如圖1,連接曲求線(xiàn)段紗的長(zhǎng)；

(2)將等腰口△/灰繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，連接無(wú)材點(diǎn)為用的中點(diǎn)，連接加；,好;

求MC與質(zhì)關(guān)系.

解：(1)如圖1,???△4?。是等腰直角三角形,然=3,

:"B=3?

過(guò)點(diǎn)C作◎〃居于M,連接CF,

：.CM=圉U—AB^^巨,

22

???四邊形4面尸是正方形，

:,AF=EF=M，

：.MF=AM-力尸=岑1-如,

在代△￡伊中，gJcM2+MF2=丹號(hào)+3-3,=任五而

(2)CM=FMyCMLFM,

理由：如圖2,

過(guò)點(diǎn)4作BH〃EF交月V的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,連接CF,CH,

:./BHM=/EF郁,

??,四邊形/期是正方形，

：.EF=AF

???點(diǎn)材是題的中點(diǎn),

:.BM=EM,

在△硼以和△磯狗中，

<ZBHM=ZEFM

,ZBMH=ZEMF,

BM=EM

???△冽儂△￡?77(A4S,

:?MH=MF,BH=EF=AF

??,四邊形/面是正方形，

?,.N"G=90°,EF"AG,

,:BH〃EF,

AG,

???N為外N4掰=180°,

:/CB泵/ABCQBAC+NCAG=1800.

???△{%是等腰直角三角形，

：.BC=AC,ZABC=ZBAC=45°,

:?/CB卅4CAG=9G,

?.?/。伊/。尸=90°,

:?/CBH=/CAF,

在〃和中，

<BH=AF

-ZCBH=ZCAF.

BC=AC

；.△%儂(%S),

：.CH=CF,NBCH=NACF,

：.AHCF=ABClhABCF=AACF^ABCF=W,

△我a/是等腰直角三角形，

'：MH=MF,

：.CM=FM,CMLFM;

10.如圖將正方形/用力繞點(diǎn)劃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<90°)得到正方形/"CD'.

(1)如圖1,B,C與4c交于點(diǎn)MC'D'與4?所在直線(xiàn)交于點(diǎn)兒若MN〃&D',求

a;

⑵如圖2,rB'與中交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)CB,與優(yōu)■交于點(diǎn)只當(dāng)a=30°時(shí).

①求/加0的度數(shù);

②若16=6,求回的長(zhǎng)度.

圖1圖2

解：（1）如圖1中,

JMN//B'D',

\ACMN=ACB'D'=45°,AC'NM=ZCD'B'=45°,

,.NCMN=NCNM,

,.mN,

：CB'=CD'

\MB'=ND',

AB'=AD',ZAB'N=90°,

:.AAB'必AAD'N〈SAS,

：.ZB'ZD'AN,

'：ZB1AD'=90°,N44—45°,

AZB1AM=ND'4V=22。5°,

\'ZBAC=45°,

：.ABAB'=22.5",

a=22。5".

(2)①如圖2中,

■:NAB'Q=ZADQ=^0°,AQ=AQ,AB'=AD,

...RtZX/W絲RtZW9（應(yīng)），

J.ZQAB1=AQAD,

'：/.BAB'=30°,/陰490°,

AAB'4片30°,

：.ZQAD=—AB'/占30°.

2

②如圖2中，連接/尸，在48上取一點(diǎn)￡,使得"連接既沒(méi)PB=a.

■:NAB—NAB'々90°,AP^AP,AB=AB',

.,.RtAJ/^RtA^QHL）,

：.NBAP=NPAB'=15°,

,:EA=EP,

:.NEA—NEPA=15",

：.NBEP=ZEA抖/EPA=3Q°,

:.PE=AE=2a,BE=Ma,

：4?=6,

??26，

，a=6(2-?).

:.PB=6(2-

:.PC=BC-PB=6-6(2-5/3)=6?-6,

■:ZCP2/BPB'=180°,NBAB'+ABPB'=180°,

：.ZCPQ=ZBAB'=30°,

6V^-6_

=瓜=12-4?.

~2~

11.已知，如圖1,在邊長(zhǎng)為2的正方形4?(力中，K是邊43的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊/〃上，過(guò)點(diǎn)

/作分別交線(xiàn)段切、用于點(diǎn)G、〃(點(diǎn)G不與線(xiàn)段曲的端點(diǎn)重合).

(1)如圖2,當(dāng)G是邊切中點(diǎn)時(shí)，求"尸的長(zhǎng)；

(2)設(shè)/尸=x,四邊形/?切切的面積是y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出”的取值范

圍；

：.AE=^AB=-\,

同理可得，6=1,

'：AGVEF,

:.NAHF=NHAF+/AFH^9G,

?.?四邊形/靦是正方形，

，N》%=90°=NDAG~NAGD,

：./仍/=ZAGD,

'：ZEAF=ZADG=90°,

:.XEAFsMADG,

.AEADBl,12

AFDGAF1

."尸=工

2

‘：/HAF=4DAG,

NAHF=NADG=90°,

：.4AHFS/\ADG,

.AH_AF_FH

"AD-AG"DG'

.但一X__理

"2V22+(2X)22X)

??y—S&AI2-S^AHh

=4-*2X,,2-1x2，

萬(wàn)

3

=2x——乙丁，

2(l+x2)

如圖2,當(dāng)C與C重合時(shí)，???￡RL4G

D

BC(G)

圖2

：.ZA//E=90°,

■:NEA/f=45°,

：.ZAEH=45°,

：.AF=AE=1,

：.0<x<l；

3

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x——；

2(2)

(3)如圖3,過(guò)〃作〃歸_47,交比1于M連接掰延長(zhǎng)￡4至小使4V第連接“

圖3

設(shè)Glf=a、則AN=a,

YAgCD,/惻?=N〃Q/=90°,

：./\NAD^/\MCD（必S,

：./ADN=/CDM,DN=DM,

*：EFLAG,DM1,AG,

：.EF//DM,

???N及初三N陽(yáng)9=45°,

:./ADE+/CDM=/EDM=43°,

???/NDZ2ADE=4NDE=/EDM,

?:ED=ED,

:.l\NDE絲△他隊(duì)SAS),

:.E4EQa^\,

■:BM=2-a,

在Rt△朦V中，由勾股定理得：B?+BNf=E射,

Al2+(2-a)2=(a+1))

a=2

3，

:/AERNEAG=ZEAG+ZDAGf

：.ZAEF=ZDAG=ZCDM,

/.tan//原=tanZCDM,

?AFCM

??■"■"二—1,

AECD

2_

二空3

~^2

3

12.如圖1,對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形四切中，48=4。，8=微問(wèn)四邊形/a?是垂美四邊

形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)性質(zhì)探究:如圖1,四邊形/靦的對(duì)角線(xiàn)”、劭交于點(diǎn)0,4d物試證明：疵+切

=A/BG；

(3)解決問(wèn)題:如圖3,中，//8=90°,4cL且4C=4G,ABLAEV.AE^AB,

連結(jié)以、BG、GE.己知然=4,相=5,求必1的長(zhǎng).

解：(1)四邊形4比。是垂美四邊形,

理由如下：連接

圖2

*：AB=AD,

；?點(diǎn)/在線(xiàn)段被的垂直平分線(xiàn)上,

'：CB=CD,

...點(diǎn)C在線(xiàn)段班的垂直平分線(xiàn)上,

。是線(xiàn)段做的垂直平分線(xiàn)，

...四邊形46勿是垂美四邊形；

(2),：ACX.BD,

：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，A6+BG=AG+DG+BG+CG,

AR+B=%+9+M,

...{〃+弘=44+5；

故答案為：A4+C6=A/BG；

(3),：ZCAG=ZBAE=90°,

:.NCAG+NBAC=/BAE+NBAC,即/辦6=/?！?

在△山6和中，

fAG=AC

■ZGAB=ZCAE)

AB=AE

:.NABG=/AEC,又/4g/4超=90°,

.?.N4?創(chuàng)N4%=90°,即CX\L8G,

四邊形CG旗是垂美四邊形，

由(2)得,用+密=出+瑟，

?.?"1=4,四=5,

:.BC=3,CG=4?BE=5M，

:.GE=CG+BE-出=73,

.,.^=A/73.

13.如圖1,四邊形力儂■，連接6C,4AC4NBEC=9Q°,D在AB上,連接G9,NAgN

ABC,BE=CD.

(1)求證：四邊形CDBE為矩形;

(2)如圖2,連接DE,DE交8c于點(diǎn)0,若tan//=2,在不添加任何輔助線(xiàn)和字母的情況下,

請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有長(zhǎng)度與石仞的長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段.

(圖D(圖2)

(1)證明：⑦=90°,

：.ZA+ZABC=90°,

：ZACD=NABC,

：.ZA+ZAC/)=90Q,

...N49C=90°,

：.NBDC=\8Q°-90°=90°=2BEC,

在Rt△比》和中，JBC-’B,

lCD=BE

.?.RtZXJCZ^Rt△鹿(HD,

：.BD=CE,

■:CgBE,

四邊形切跖是平行四邊形，

又YNBEC=90°,

四邊形。后￡為矩形；

(2)解：圖中所有長(zhǎng)度與揚(yáng)。的長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段為力。=。。=如="=①、=而〃.理由

如下：

由(4)得：四邊形以旗為■矩形，N4T=90°,

：.BC=DE,OD=OE,OB=OC,

：.0C=0B=0D=0E=—Ba

2

?:/ADC=/ACB=9仁，

：.CD=2AD,BC=2AC,

?**AC=yJAD2+AC2=VAD2+(2AD)2=V5^^

:.DE=BC=2AC,

:.0C=0B=0D=0E=^BC=AC=4^AD,

：.AC=，0C=0B=0D=0E=爬AD.

14.如圖在直角坐標(biāo)系中，四邊形力為正方形，4點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),〃點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,

8),且a,6滿(mǎn)足(a-3)2+I^3?-0-

(1)求4點(diǎn)和。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若/%￡=?1?/總8,