2021學年成都市石室中學高二數(shù)學（理）上學期期中考試卷附答案解析

2021學年成都市石室中學高二數(shù)學（理）上學期期中考試卷

一、單選題

1.命題“玉Ko'，-+1>0”的否定是（）

A.VXG/?,x3-x2+l<0B.VXG/?,%3-x2+1>0

C.3xR,x3—x24-1<0D.不存在3—x24-1<0

0G（）（）X（）￡R,X（）0

2.若同=1,慟=2,且Z_L（H），則向量入2的夾角為（）

A.45°B.60C.120=D.135。

3.拋物線x=4）/的焦點到準線的距離為

A.8B.2C.4D.-

28

4.A=|X||X-1|>1,XG/?^,B={x|log2x>l,XG/?!,則“XEB”是“十￡4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知命題p：Vx>0,xH—>4,命題［：玉e（0,+oo）,2'"=—,則下列判斷正確的是（）

A.r9是假命題B.q是真命題C.〃人（—《夕）是真命題D.（「P）v夕是真命題

6.函數(shù)/（司=&43叩￡尺/>0,嗣<"的部分圖象如圖所示，則嘰。的值分別是（

）

71C.4,-JD.4,g

~663

x+l>0

7.若實數(shù)x,y滿足約束條件r-yKO,則2=%-3^的最小值是（）

2x+3y-l<0一

3]_1

A.-2B.D.

2210

22（5J79、

8.以雙曲線r土-匕=1的焦點為橢圓C的長軸頂點，且過點4---的橢圓C的方程為（）

91644

220，->2

A.蘭+反=1B.—+^=1C.—+^-=1D.上+匕=1

2516259169925

9.已如A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，且ACJ.3cAe=3C=1,則三棱錐O-45C的

體積為（）

A.—BD.同

12-174

【答案】A

10.以過圓/+丁=1（）》內(nèi)一點（5,3）的最短弦長為等差數(shù)列｛%｝的首項《，最長弦長為其末項/，若等差

數(shù)列｛叫的公差de,則項數(shù)n的取值不可能是（）

3,2

A.4B.5C.6D.7

11.如圖，在AABC中，NCA8=NCB4=30°,AC、BC邊上的高分別為30、AE,則以A、3為焦點、

且過。、E的橢圓與雙曲線的離心率的乘積為（）

C.2D.6+1

12.點P是直線/：x=-2上一動點，點F（2,0）,點。為尸產(chǎn)的中點，點M滿足MQ_LPF,MP=AOF（AeR）,

過點M作圓（x-5y+V=l的切線，切點為S,當|MS|取得最小值時，則直線MF的方程為（）

A.y=±(x-2)B.y=±5/2(x-2)C.y=±6(x-2)D.y=±2&(x-2)

二、填空題

13.在△48C中，NA,NB,NC的對邊分別為a,h,c,S.asinAsinB+bcos2A=>j2a>則一=

a

92

14.若直線y=2x與雙曲線'-方=i（a>o,/,>o）沒有公共點，則該雙曲線離心率的取值范圍為

15.已知斜率為左的直線/過拋物線C:y2=2px（p>（））的焦點，且與拋物線C交于A,B兩點，拋物線C

的準線上一點滿足方.礪=0,則|明=

16.已知圓M：（x+cos。）2+（y-sin0）2=1,直線/：y=kx,下面四個命題:

2

（A）對任意實數(shù)k與0,直線/和圓M相切；

（B）對任意實數(shù)上與0,直線/和圓M有公共點；

（C）對任意實數(shù)0,必存在實數(shù)左，使得直線/與和圓M相切；

（D）對任意實數(shù)匕必存在實數(shù)。，使得直線/與和圓M相切.

其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）.

三、解答題

/v2

17.已知命題P：實數(shù)機滿足加2-5卬“+4"<0,其中”>0；命題平方程——+」_=1表示雙曲線.

m—3m-5

（1）若4=1,且。人g為真，求實數(shù)機的取值范圍；

（2）若即是r的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

18.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,na?=2（n+\-）a,設b“=包.

+lnn

（I）判斷數(shù)列｛"｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；（II）求數(shù)列｛q｝的前"項和S,,.

19.已知AABC的面積為S,且通.布=S.

（I）求tan2A的值；（11）若8=工，|AB|=3,求AABC的面積S.

4

20.如圖，在棱長為2的正方體4BCO-ABGR中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱C。的中點.

（1）求證：2///平面AEG；（2）求平面A4/C/與平面4C/E夾角的正弦值.

21.在平面直角坐標系xOy中，一動圓經(jīng)過點費,0且與直線x=-g相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線

3

E.

(1)求曲線E的方程；

(2)設P是曲線E上的動點，點B、C在y軸上，△PBC的內(nèi)切圓的方程為(x-l『+y2=i,求△PBC面

積的最小值.

22.如圖，設圓/+/+2*_15=0的圓心為A,直線/過點以1,0)且與x軸不重合，/交圓A于C,。兩點,

過3作4c的平行線交AD于點E.

(1)求點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線C，直線/交G于M，N兩點，過B且與/垂直的直線與圓A交于P,。兩點.

11

(i)證明：麗+網(wǎng)為定值；

(ii)求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

1.A

4

【解析】根據(jù)特稱命題的否定，直接得出結(jié)果.

【詳解】命題“玉：oWR，工0J/"+1>的否定是",A3—x2+1<0,9.

故選：A.

【點睛】本題主要考查特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題型.

2.B

【分析】利用平面向量垂直可得出7R-B)=o,求出cos<￡,B>的值，利用平面向量夾角的取值范圍可求

得向量￡、B的夾角.

【詳解】由題意可得=7一￡石=忖-|t；|-|/j|cos<a,^>=l-2cos<a,/>>=0,

rr?____

可得cos<〃力>=5,因為()4<〃/>418(),故<〃4>=60.故選：B.

3.D

【分析】拋物線方程化為標準方程，利用拋物線的標準方程可得P=J,由焦點到準線的距離為p,從而

O

得到結(jié)果.

【詳解】解：拋物線x=4y2,的焦點到準線的距離為p,由標準方程可得。=：,

4o

故選。.

【點睛】本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，判斷焦點到準線的距離為P是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】解不等式可得集合，進而可得解.

【詳解】解不等式可得4=,卜一1注1/€/?}={小40或犬22},

fi=|x|log2x>l,xe=1x|x>21,故B=

所以“xeB”是“xwA”的充分不必要條件,故選:A.

5.D

【分析】根據(jù)均值不等式得到。為假命題，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到夕為假命題，對比選項得到答案.

【詳解】x>0時，x+->2,^?=4,當X=2時等號成立，所以X+9*4,所以。為假命題；f為真命

X\XX

題，〃人(「夕)為假命題，故A和C錯誤.

當x>0時，2v>2°=b故0為假命題，則(」，)八9是假命題.所以B錯誤，D正確.故選：D.

6.A

5

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象可得周期與對稱軸，進而可得參數(shù)值.

【詳解】由已知得17=.一（-=故T=/，又口>0,則8=4=二=2,

41213y/4T7U

即/（x）=V5sin（2x+0）,又函數(shù)經(jīng)過點?，&）,

即夜sin（2x1^+8）=夜，解得9=一5+22萬次￡Z,又陷<g,故9=-9,故選：A.

7.B

【分析】畫出滿足條件的可行域，目標函數(shù)化為y=2x-2z,求出過可行域點，且斜率為2的直線在y軸上

截距的最大值即可.

x+l>0

【詳解】畫出滿足約束條件,x-y<0的可行域，

2x+3y-l<0

如下圖所示：

1[x=-1Ix=-1

目標函數(shù)Z=x—：y化為y=2x—2z,由解得,設

2[2x+3y-l=0[y=l

13

當直線y=2x-2z過A點時，z=x-]y取得最小值為-].故選：B.

8.B

22

【分析】求出雙曲線的焦點坐標，得出橢圓的半長軸長，設橢圓標準方程為工+與=1,（。>匕>0）,代入已

知點，求解即可得到橢圓的標準方程.

【詳解】解：雙曲線H=1的焦點為（-5,0）,（5,0）,

2）

設橢圓標準方程為￡+左=l,Qb>0）,則。=5,

6

,(559)KLf9Y

又橢圓過點，所以4I4J，解得力=3,

l752+…

所以橢圓的標準方程為片+亡=1.故選：B.

259

9.A

【分析】由題可得AABC為等腰直角三角形，得出AMC外接圓的半徑，則可求得。到平面ABC的距離,

進而求得體積.

【詳解】??,AC，BC,AC=8C=1,.“43C為等腰直角三角形，...A8=嬤，

則△ABC外接圓的半徑為也，又球的半徑為1,

2

所以％='SMe=』x'xlx.故選：A.

3322]2

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面

距離的勾股關(guān)系求解.

10.A

【分析】由圓的弦長公式，求得4=8,““=10,結(jié)合等差數(shù)列的公式，求得〃=，2+1,進而求得實數(shù)〃的

范圍，結(jié)合選項，即可求解.

【詳解】由題意，將圓/+y2=10x化為(x-5>+y2=25,可得圓心坐標為C(5,0),半徑r=5,

設A(5,3),可得|4。=3,由圓的弦長公式，可得4=2斤#=8，4=1。，

設等差數(shù)列的公差為d,則〃“=4+5-l)d,即8+5-1必=10,所以〃=彳+1,

a

112

因為:所以54彳+1K7,即5口47,結(jié)合選項，可得〃的取值不可能是選項A.

32a

故選：A.

11.C

【分析】先設43=2c，由條件分別得到AE、BD,BE、AO的值，

根據(jù)橢圓焦點和所過的點，由橢圓定義得到勿=80+AQ,求出。，

代入離心率公式求解即可；

根據(jù)雙曲線焦點和所過的點，由雙曲線定義得到2〃=AO-6力，

7

求出〃，代入離心率公式求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，設4?=2c,則AE=8￡)=c,BE=AD=gc,

所以在以A、B為焦點，且過3、￡的橢圓中，2a=BD+AD=c+&,

“=仁業(yè),即橢圓離心率e=￡=?-l；

2a

所以在以A、8為焦點，且過。、E的雙曲線中，2a=AD-BD=6c-c,

/石一1卜,即雙曲線離心率0=￡=6+1,

2a

所以橢圓與雙曲線的離心率的乘積為：(G-1)X(G+1)=2,

故選：C.

12.D

【分析】由題意首先求出〃的軌跡方程，過點似作圓@-5>+丁=1的切線，切點為s,連接MS,NS,

MN,利用勾股定理得到|MS|=4MN1-1,即當|MN|最小時，IMSI有最小值，設M(x,y),利用兩點的距

離公式表示出|MN|,即可求出|MV|的最小值，從而求出〃的坐標，即可求出M尸的方程.

【詳解】解：依題意，因為而=4萬，所以向量而與向量而共線，

所以A/P與x軸平行，故|MP|即為點M到直線x=-2的距離d,

又因為M在線段尸尸的垂直平分線上，所以|MP|=|MF|=d,

所以M點在以尸(2,0)為焦點，以x=-2為準線的拋物線V=8x上，設圓(X-5)2+/=1的圓心為N(5,0),

過點M作圓(X-5)2+V=1的切線，切點為S,連接MS,NS,MN,

則AMMS為直角三角形，且ZMSN=90。，所以|MSF+|NSf=|MN|2,所以|MS|=-1,

當IMN|最小時，IMS|有最小值，

設M(x,y),則|MN|=J(x-5/+y2=&-10x+25+8x=-2^+25=+24,所以當x=l時

|W|n,n=276,所以y2=8xl,解得>=±2也，所以M(1,2夜)或M(1,-20),當M(l,2a)時

kMF=-=-2yf2,此時M尸為y=-2a(x-2)；

8

當夜)時％MF=Z^1=2夜，此時心為y=2夜(x—2)；

1—2

【分析】根據(jù)正弦定理化簡后計算

【詳解】由正弦定理得sinAsinAsin8+sinBcos2A=&sinA，即sin6=&sinA

?,sinBb▲[人人、/1—

故^~7=四=一故答案為：y[l

smAa

14.(1,^]

->1>?

【解析】由直線y=2x與雙曲線點-左=1(。>0,6>0)沒有公共點，分析出?42,再求e的范圍.

【詳解】；雙曲線/《一igO,6>0)的漸近線方程：尸土"且直線尸2》與雙曲線沒有公共點,

.,.-<2即0=、[546

a\a~

又e>l,6.故答案為：

【點睛】求橢圓(雙曲線)離心率的一般思路：根據(jù)題目的條件，找到八氏c的關(guān)系，消去6,構(gòu)造離

心率e的方程或(不等式)即可求出離心率.

15.5

【分析】求出拋物線C的方程為丁=4萬，其焦點為尸(1,0).直線/的方程為y=&(x-l).利用面?訪=o,

說明M在以A8為直徑的圓上.設點AQ,乂)，B(X2,%),利用平方差法求出斜率，設AB的中點為Q(%,

%),推出為=".通過點Q(x0,%)在直線/上，結(jié)合點。原+1,令是以AB為直徑的圓的圓心.轉(zhuǎn)化求解

9

直線的斜率，求解弦長即可.

【詳解】解：由題意知，拋物線C的準線為x=-l,即5=1，得P=2,所以拋物線C的方程為V=4x,

其焦點為尸(1，。).

因為直線/過拋物線的焦點F(1,0),所以直線/的方程為y=Mx-l).

因為必.麗=0，所以用在以A8為直徑的圓上?

設點A(%,乂)，B?,y2),聯(lián)立方程組兩式相減可得以運=」一=仙

[y2=4X2,%一/乂+%

2

設AB的中點為。(%,先)，則%=7.因為點。(%,%)在直線/上，

所以/=我2+1,2所以點2。(*+1,令是以48為直徑的圓的圓心.

由拋物線的定義知，圓。的半徑「=與=土土產(chǎn)=三產(chǎn)=卷+2,

因為I刎2=(/+2)2+[+1)2=/,所以(卷+2)2+(、+1)2=(卷+2>,解得％=—2,

22

所以弦長|AB|=2r=2(k+2)=2(：+2)=5.

k24

故答案為：5.

16.(B)(D)

【分析】根據(jù)圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑乙然后求出圓心到已知直線的距離d,利用兩角和的正

弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)與半徑〃比較大小即可得到直線與圓的位置關(guān)系，得到正確答案即可.

【詳解】由題意可得圓心坐標為(-cosasin。)，圓M的半徑為1,且圓心到直線/：y=履的距離為

cos，一sinJl+k”sin(，+W)|,._._k._1

d=----,----=-----J-----=sin(0+6?)<1(其中sin0=--,,cos<p=--y-----),

直線/與圓M有公共點，且對于任意實數(shù)人,必存在實數(shù)e,使直線/與圓M相切.

故答案為(B)(D).

【點睛】本題考查考查直線與圓的位置關(guān)系的應用，要求學生會利用圓心到直線的距離與半徑比較大小來

判斷直線與圓的位置關(guān)系，靈活運用點到直線的距離公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔

題.

17.(1)(3,4)；(2)：,3.

【分析】(1)當。=1時，求得不等式加-5卬"+4/<0的解，再由方程上一+上=1表示雙曲線，可

/n-3m-5

求得對應的實數(shù)加的取值范圍，由〃八"可知〃、4均為真命題，由此可求得實數(shù)團的取值范圍;

10

（2）求得力和r中對應的，"的取值范圍，根據(jù)力是r的充分不必要條件，可得出集合的包含關(guān)系,

進而可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式組，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】命題由題得（加一a）（〃2-4a）<0,又a>0,解得

對于命題4，由于方程上一+工=1表示雙曲線，則（〃?-3）（加-5）<（）,解得3Vm<5.

tn—3m-5

（1）若a=l,命題〃為真時，1<相<4.

當〃人4為真時，則〃真且夕真，°」.*.3</7?<4,

3<"?<5

因此，實數(shù)”?的取值范圍是（3,4）；

(2)—^P：加工。或〃724a,:/n<3ngm>5.

由于r7是r的充分不必要條件，則｛間機Wa或｛司機（3或625｝,

p<3解得注43.

{4a>5

當a=：時，則有卜或〃?25｝｛利同43或〃?25｝,合乎題意；

當a=3時，則有“司機43或加N12｝｛同加43或機25｝,合乎題意.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是住,3.

_4_

【點睛】本題考查利用復合命題的真假求參數(shù)，同時也考查了利用充分不必要條件求參數(shù)，考查計算能力,

屬于中等題.

18.(1)見解析(2)S“=(〃-1)-2"+1

【詳解】分析：（I）利用定義證明數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列.（H）先求出a“=〃-2"T,再利用錯位相減求出數(shù)

列｛。“｝的前〃項和S..

詳解：（I）由條件可得"+1=乜，b"=%,所以?=2?4,

n+\n〃+1n

即加+/=2加，又從=1,所以也｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

（II）由（I）可得&=2"T,所以““=止2”二

n

①5〃=1?2°+2?21+3-22+3+(〃-1)?2"-2+小2”

11

@2S?=l-2l+2-22+3-23+---+(n-l)-2n-|+w2"

2

?-Sn=2?+2'+2+2i+---+2'-'-n-2"=Y^-n-2"

整理得：5?=(n-1)-2n+l(ne2V+)

點睛：（1）本題主要考查數(shù)列性質(zhì)的證明和錯位相減求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的

計算能力.（2）數(shù)列｛%%｝,其中也J是等差數(shù)列，｛&｝是等比數(shù)列，則采用錯位相減法.

,4?

19.（I）――；（II）3

【分析】（I）由已知和三角形面積公式可得cosA=；sinA,進而得到tanA=2,由二倍角的正切公式可得

答案;

（II）由（1）式中的tanA=2,可得sinAcosA由兩角和的正弦公式可得sinC,結(jié)合正弦定理可得邊b,代入

面積公式可得答案.

【詳解】解：（I）設AABC的角所對應的邊分別為a,6,c,

2tanA_4

ABAC=S>bccosA=—bcsinA,/.cosA=—sinA,tanA=2/.tan2A=2--

22l-tanA3

(II)叵一詞=3,即畫=c=3,

tanA=2,0<A<—,sirt4=8s

255

.?.sinC=sin(A+8)=sinA8sB+cosAsi?竽亭冬會嚕,

由正弦定理知：,=—~q=b=—.~~--sinB=-75,S=—BcsinA=—>/5-3-=3.

sinCsinBsinC225

【點睛】本題主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及兩角和的正弦公式等，需牢記三角函數(shù)

各公式并靈活運用.

20.（1）證明見解析（2）g

【分析】（1）以A為原點，AB,AD,然分別為x,>,z軸，建立如圖空間直角坐標系，求得平面4EG的一個

法向量，由空間向量的數(shù)量積運算可得證；

（2）由正方體的特征可得，平面AAC的一個法向量為麗=（2,-2,0）,根據(jù)面面角的向量求解方法可求得

答案.

【詳解】（1）證明：以A為原點，A8,AD"分別為x,），,z軸，建立如圖空間直角坐標系，

12

則A（0,0,0）,A（0,0,2）,8（2,0,0）,c（2,2,0）,。（0,2,0）,C（2,2,2）,D,（0,2,2）,

因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CO的中點，所以E（2,l,0）,F（l,2,0）,

___uuuu____

所以A尸=（L0,-2），AG=（2,2,0），AE=（2,l,_2）,

設平面AEG的一個法向量為加=（耳,y,zj,

m-iAjCj=2x,+2y,=0

，令q=2,則加=（2,-2,1）

防?=2N+x-2Z]=0

因為即.而=2-2=0,所以即_L而,

因為。尸a平面AEG，所以。尸//平面AEG；

（2）解：由正方體的特征可得，平面AAG的一個法向量為麗=（2,-2,0）,

DBm8272

則=

|叫時-3x2應

所以二面角A-AG-E的正弦值為Jl-cos2（而，同=1.

【詳解】試題分析：（1）圓心到定點與到定直線距離相等符合拋物線定義，可直接寫出標準方程V=2x；

（2）設P（x。,%）,B（0/）,C（0,c）,直線PB的方程為：（%—b）x—%y+x/=0,由點到直線的距離公式

得（%-2）/+2）屹一x°=0,同理（為一2）c2+2%c—%=0可得忸一同=|三三，面積表示為關(guān)于內(nèi)的函數(shù)，

進而利用基本不等式求最值.

試題解析：解：（1）由題意可知圓心到楣，。的距離等于到直線x=-g的距離，由拋物線的定義可知，圓

13

心的軌跡方程：y2=2x.

（2）設P（%%）,B（0,。）,C（O,c）,直線PB的方程為：（%-匕）x-2y+砂=0,

又圓心(1,0)到PB的距離為1,

\y0-h+xoh\

-2

力『+2-1,整理得：（毛-2）3+2），（--5=0,同理可得：（-\）2）c+2yoc-xo=0,

所以，可知人。是方程(七一2)/+2%了一毛=。的兩根，所以：b+c=^-,歷=3,依題意兒＜0,

/一/"()/

即“2,則”八賢滬

因為y；=2x°,所以：快-。1=|二匕卜所以

S=4M-c|同=(x0-2)+—二+428,當為=4時上式取得等號，所以APBC面積最小值為8.

2V

【解析】1、拋物線的定義；2、點到直線的距離公式及基本不等式求最值.

【方法點晴】本題主要考查拋物線的定義、點到直線的距離公及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線

中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，

非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別

式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題(2)就是用的這種思路，利用均值不等式

法求三角形最值的.

22.1)?+,=1(尸0)(2)(i)證明見解析；(ii)[12,86)

【分析】(1)推出1班|=|即轉(zhuǎn)化求解圓A的標準方程，利用橢圓定義可得點E的軌跡方程.

(2)(i)設/的方程為N=?(x-1)伙*0),MU,,%),Ng,%),不妨設演＜1＜七，聯(lián)立直線與橢圓方程，消

元、列出韋達定理，根據(jù)弦長公式表示出IMBI,\網(wǎng),代入計算可得；

(ii)設直線/的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|MN|,由尸Q，/,設PQ方程，求

得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得IPQI,再由四邊形的面積公式，化簡整理，運用不等式的性質(zhì)，

即可得到所求范圍.

【詳解】⑴解：圓A：x2+y2+2x-15=0即為(x+l)2+y2=16,

可得圓心A(-l,0),半徑r=4,

由8E//AC,可得NC=NEBD,

由AC=AD,可得ND=NC,

即為NO=NE5D,即有E3=￡D,

14

貝l]|E4|+|EB|=|E4|+|E￡)HAD|=4>|AB|=2,

故E的軌跡為以A,8為焦點的橢圓，且有2a=4,即a=2,c=l,b=yla2-c2

22

則點E的軌跡方程為?+q=l（yHO）；

⑵解:

（i）證明：依題意：/與X軸不垂直，設