大學(xué)數(shù)學(xué)教案

大學(xué)數(shù)學(xué)教案大學(xué)數(shù)學(xué)教案范本（說(shuō)明：本教學(xué)教案以高等教育出版社普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材第二版《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》（張國(guó)楚等主編）教學(xué)內(nèi)容為藍(lán)本制作，按照教學(xué)順序，展現(xiàn)教學(xué)中的難點(diǎn)、重點(diǎn)）第一章微積分的基礎(chǔ)和研究對(duì)象內(nèi)容：§1微積分基礎(chǔ)---集合、實(shí)數(shù)和極限1.1從牛頓的流數(shù)法和第二次數(shù)學(xué)危機(jī)談起1.2極限、實(shí)數(shù)、集合在微積分中的作用1.3實(shí)數(shù)系的建立及鄰域概念計(jì)劃：2學(xué)時(shí)主要講述微積分發(fā)展演變的歷史。微積分的基礎(chǔ)是---集合、實(shí)數(shù)和極限，微積分的發(fā)展歷史可追溯到17世紀(jì)，在物理力學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)大量的（與面積、體積、極值有關(guān)的）問(wèn)題，用微積分得到了很好的解決。到19世紀(jì)，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的努力，微積分的理論基礎(chǔ)才得以奠定。可以說(shuō)，經(jīng)過(guò)300多年的發(fā)展，微積分課程的基本內(nèi)容已經(jīng)定型，并且已經(jīng)有了為數(shù)眾多的優(yōu)秀教材。但是，人們?nèi)匀桓械轿⒎e分的教與學(xué)都不是一件容易的事，這與微積分學(xué)科本身的歷史進(jìn)程有關(guān)。微積分這座大廈是從上往下施工建造起來(lái)的。微積分從誕生之初就顯示了強(qiáng)大的威力，解決了許多過(guò)去認(rèn)為高不可攀的困難問(wèn)題，取得了輝煌的勝利，創(chuàng)始微積分?jǐn)?shù)學(xué)的大師們著眼于發(fā)展強(qiáng)有力的方法，解決各式各樣的問(wèn)題，他們沒(méi)來(lái)得及為這門(mén)學(xué)科建立起嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。在以后的發(fā)展中，數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，促使后繼者才對(duì)邏輯細(xì)節(jié)作了逐一的修補(bǔ)。重建基礎(chǔ)的細(xì)致工作當(dāng)然是非常重要的，但也給后世的學(xué)習(xí)者帶來(lái)了不利的影響，今日的初學(xué)者在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林。在這一節(jié)重點(diǎn)了解十九世紀(jì)建立分析學(xué)基礎(chǔ)的歷史；了解第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的意義；了解實(shí)數(shù)理論、集合論誕生的背景與內(nèi)容；了解十九世紀(jì)分析學(xué)的新進(jìn)展。重點(diǎn)提出幾位數(shù)學(xué)家：牛頓（創(chuàng)立了微積分學(xué)）；柯西、維爾斯特拉斯（為微積分學(xué)奠定了理論基礎(chǔ)）；康托（建立集合論）。內(nèi)容：§2微積分的研究對(duì)象---函數(shù)2.1變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型---函數(shù)2.2逆向思維一例---反函數(shù)2.3基本初等函數(shù)2.4復(fù)合函數(shù)2.5初等函數(shù)的含義2.6MM能力培養(yǎng)計(jì)劃：2學(xué)時(shí)在自然科學(xué)，工程技術(shù)甚至社會(huì)科學(xué)中，函數(shù)是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念之一，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了數(shù)學(xué)范圍，在數(shù)學(xué)中函數(shù)處于基礎(chǔ)核心地位。函數(shù)不僅是貫穿中學(xué)《代數(shù)》的一條主線，它也是《大學(xué)數(shù)學(xué)》這門(mén)課程的研究對(duì)象?！洞髮W(xué)數(shù)學(xué)》課程中，將在原有初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)的概念、性質(zhì)進(jìn)行重點(diǎn)復(fù)習(xí)和深入的討論，并采用極限為工具研究函數(shù)的各種分析性質(zhì)，進(jìn)而應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題。本節(jié)重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容：函數(shù)的表示方法，函數(shù)的圖形與特殊的幾何性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；函數(shù)的運(yùn)算：和差積商四則運(yùn)算、求逆運(yùn)算（反函數(shù)）、求復(fù)合運(yùn)算（復(fù)合函數(shù)）；初等函數(shù)與非初等函數(shù)的概念。下面談?wù)剬?duì)初等函數(shù)的認(rèn)識(shí)?；境醯群瘮?shù)是在數(shù)學(xué)史的發(fā)展過(guò)程中，用到最多的6類(lèi)函數(shù)，其性質(zhì)在中學(xué)已經(jīng)考察的比較清楚了，它們是：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)?；境醯群瘮?shù)以及對(duì)基本初等函數(shù)作有限次四則運(yùn)算與有限次函數(shù)復(fù)合運(yùn)算得到的由一個(gè)式子表示的函數(shù)成為初等函數(shù)。在本教材中，我們大多數(shù)情況下都考慮初等函數(shù)。但也要清楚一些非初等函數(shù)的例子，如一些常見(jiàn)的分段函數(shù)：符號(hào)函數(shù)、取整函數(shù)、小數(shù)函數(shù)第二章微積分的直接基礎(chǔ)---極限內(nèi)容：§1從阿基里斯追趕烏龜談起---數(shù)列極限1.1數(shù)列的概念1.2數(shù)列極限的定性描述1.3數(shù)列極限的定量描述1.4數(shù)列極限中蘊(yùn)含的辨證思想計(jì)劃：4學(xué)時(shí)為了深入研究函數(shù),需要引進(jìn)極限的概念.極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念,在微分學(xué)與積分學(xué)中,極限的方法是解決問(wèn)題的主要方法.從方法論上來(lái)說(shuō),這是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的顯著標(biāo)志.極限的定性描述是用所謂的描述性語(yǔ)言，例如，“無(wú)限趨近”“越來(lái)越靠近”這些都只是一種模糊的描述，一種直觀的想象，缺乏精確性；盡管直觀在數(shù)學(xué)的發(fā)展和創(chuàng)造中扮演著充滿(mǎn)活力的'積極角色，但數(shù)學(xué)不能停留在直觀的認(rèn)識(shí)階段。為避免直觀想象可能帶來(lái)的錯(cuò)誤判斷，作為微積分工具的極限概念，必須有定量描述的精確定義。本節(jié)的重點(diǎn)是對(duì)數(shù)列極限的定量描述的理解。數(shù)列極限的定量描述：N，nNxna.定義：（N語(yǔ)言）limxna0，n注意：1）關(guān)于是衡量xn與a接近程度的，愈小，表示的接近愈好，它除受限于正數(shù)外，不受任何限制，正說(shuō)明xn與a能夠接近到任何程度.有任意性，但一經(jīng)給出，就應(yīng)暫時(shí)看作是固定不變的，以便據(jù)此來(lái)求N.也就是說(shuō)，具有二重性，的絕對(duì)任意性是通過(guò)無(wú)限多個(gè)相對(duì)固定性的表現(xiàn)出來(lái)的.2，同再者，既然是任意給定的正數(shù)，那么c（c是正常數(shù)），，樣都是任意給定的正數(shù)，因此定義中不等式右邊的完全可以由c（c是正常2，來(lái)代替，同樣可知，不等式中的“<”可換為“”.今后證數(shù)），，在數(shù)列極限的定義中，正數(shù)是任意的，雖然也可以任意大，但此時(shí)不等式xna并不能說(shuō)明xn無(wú)限趨近于a.等式才表明xn無(wú)限趨近于a.因此證明極限問(wèn)題時(shí)，常常限定的變化范圍，如，01,01[]>1.12，例如，為了使[]是自然數(shù)，限定01,從而有12）關(guān)于NN隨的變化而變化，是依賴(lài)于的，但不是由所惟一確定的.因?yàn)閷?duì)已經(jīng)給定的，若N=100能滿(mǎn)足要求，則N=101或1000或10000自然更能滿(mǎn)足要求.其實(shí)N等于多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè)N，那么大于N的任何一個(gè)自然數(shù)都能滿(mǎn)足要求.因此，用“N”定義證明數(shù)列xna”是指：凡是下標(biāo)大于N的所有xn，都滿(mǎn)足不等3）定義中“nN式xna.從幾何意義上講，就是所有坐標(biāo)大于N的xn都落在a的鄰域內(nèi)，而在這鄰域之外，至多有N（有限）個(gè)項(xiàng).xn何鄰域內(nèi)含有{xn}實(shí)際在定義中,不等式xna,就是axna,它表示xn在開(kāi)區(qū)間(a,a)內(nèi).因此,{xn}以a為極限,就是對(duì)任意給定的一個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,a),第NxN2，全部落在這個(gè)區(qū)間內(nèi).項(xiàng)以后的一切項(xiàng)xN1，4）特別：當(dāng)a=0時(shí)，即limx