滬科版九年級上冊數(shù)學《第22章 相似形》單元測試卷題及答案

滬科版九年級上冊數(shù)學《第22章相似形》單元測試卷題一．選擇題（共10小題）1．已知甲、乙兩地圖的比例尺分別為1：5000和1：20000，如果甲圖上A、B兩地的距離與乙圖上C、D兩地的距離恰好一樣長，那么A、B兩地的實際距離與C、D兩地的實際距離之比為（）A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：12．已知＝＝，則的值等于（）A． B． C． D．3．點P把線段AB分割成AP和PB兩段，如果AP是PB和AB的比例中項，那么下列式子成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝4．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點E是DC中點，AF平分∠EAB，F(xiàn)H⊥AD交AE于點G，則GH的長為（）A． B． C． D．5．如圖，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相鄰兩條直線之間的距離相等，△ABC的頂點A，B，C分別在l1，l3，l5上，AB交l2于點D，BC交l4于點E，AC交l2于點F，若△DEF的面積是1，則△ABC的面積是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．如圖，l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，每相鄰兩條直線之間的距離為1，點A，B，C分別在直線l1，l3，l6上，AB交l2于點D，BC交l4于點E，CA交l2于點F．若△DEF的面積為2，則△ABC的面積為（）A．8 B．9 C．10 D．127．若△ABC的各邊都分別擴大到原來的2倍，得到△A1B1C1，下列結(jié)論正確的是（）A．△ABC與△A1B1C1的對應角不相等 B．△ABC與△A1B1C1不一定相似 C．△ABC與△A1B1C1的相似比為1：2 D．△ABC與△A1B1C1的相似比為2：18．下列說法中正確的是（）①在兩個邊數(shù)相同的多邊形中，如果各對應邊成比例，那么這兩個多邊形相似；②兩個矩形有一組鄰邊對應成比例，這兩個矩形相似；③有一個角對應相等的平行四邊形都相似；④有一個角對應相等的菱形都相似．A．①② B．②③ C．③④ D．②④9．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：4，則△ABC與△DEF的面積之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．16：110．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，點D在邊AC上，且CD＝4，過點D作一條直線交邊AB于點E，使△ADE與△ABC相似，則DE的長是（）A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不對二．填空題（共8小題）11．已知，則＝．12．已知線段b是線段a、c的比例中項，且a＝1，c＝4，那么b＝．13．已知線段MN＝2，點P是線段MN的黃金分割點，MP＞NP，則MP＝．14．如圖，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝cm．15．下列說法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中說法正確的序號是．16．若△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的相似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比為．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點C的對應點D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則AD的長為．18．如圖，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，過點D作DE⊥AC于點E，延長DE交BC于點F，連接AF，若AF＝，線段DE的長為．三．解答題（共8小題）19．解答下列各題：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足＝＝，求的值20．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中項，求b的值．（2）已知線段MN是AB，CD的比例中項，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的長．并思考兩題有何區(qū)別．21．若等腰三角形的頂角為36°，則這個三角形稱為黃金三角形．如圖，在△ABC中，BA＝BC，D在邊CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如圖1，寫出圖中所有的黃金三角形，并證明；（2）若M為線段BC上的點，過M作直線MH⊥AD于H，分別交直線AB，AC于點N，E，如圖2，試寫出線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關系，并加以證明．22．如圖，矩形紙片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．將矩形紙片沿BE折疊，得到△BA′E（點A折疊到A′處），展開紙片；再沿BA′折疊，折痕與GH，AD分別交于點M，N，然后將紙片展開．（1）連接EM，證明A′M＝MG；（2）設A′M＝MG＝x，求x值．23．某校九年級數(shù)學興趣小組在探究相似多邊形問題時，他們提出了下面兩個觀點：觀點一：將外面大三角形按圖1的方式向內(nèi)縮小，得到新三角形，它們對應的邊間距都為1，則新三角形與原三角形相似．觀點二：將鄰邊為6和10的矩形按圖2的方式向內(nèi)縮小，得到新的矩形，它們對應的邊間距都為1，則新矩形與原矩形相似．請回答下列問題：（1）你認為上述兩個觀點是否正確？請說明理由．（2）如圖3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，將△ABC按圖3的方式向外擴張，得到△DEF，它們對應的邊間距都為1，求△DEF的面積．24．已知四邊形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，過點C作CE⊥AB于點E，點F為AB上一點，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求證：CD＝CF；（2）H為線段DG上一點，連結(jié)AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．25．如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交AB于點F，設運動時間為t秒．（1）當t＝4時，求點E的坐標；（2）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．26．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，分別交AD、AC于點E、點F．點G是BC上一點，連接AG交BE于點H，過點H作BC的平行線，交AC于點P．（1）若∠ABC＝60°，AH＝5，BH＝6，求△ABH的面積；（2）若∠BAG＝∠ACB，求證：AP＝CF．

2019年滬科版九年級上冊數(shù)學《第22章相似形》單元測試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知甲、乙兩地圖的比例尺分別為1：5000和1：20000，如果甲圖上A、B兩地的距離與乙圖上C、D兩地的距離恰好一樣長，那么A、B兩地的實際距離與C、D兩地的實際距離之比為（）A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1【分析】根據(jù)題意，列比例式分別求出A、B和C、D兩地的實際距離，再求得A、B兩地的實際距離與C、D兩地的實際距離之比的值．【解答】解：把圖上距離看作單位1，設A、B和C、D兩地的實際距離分別為x和y，則：1：5000＝1：x，解得x＝5000，1：20000＝1：y，解得y＝20000，∴x：y＝5000：20000＝1：4．故選：C．【點評】解此題的關鍵是可以把圖上距離看作單位1，再根據(jù)比例尺分別表示其實際距離，進一步求得比值．2．已知＝＝，則的值等于（）A． B． C． D．【分析】設a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'，代入代數(shù)式進行計算即可．【解答】解：設a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'，則＝＝＝，故選：A．【點評】本題主要考查了分式的求值，解決問題的關鍵是依據(jù)條件設a＝5k，b＝7k，c＝5k'，d＝7k'．3．點P把線段AB分割成AP和PB兩段，如果AP是PB和AB的比例中項，那么下列式子成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值（）叫做黃金比．【解答】解：∵點P把線段AB分割成AP和PB兩段，AP是PB和AB的比例中項，∴根據(jù)線段黃金分割的定義得：＝．故選：D．【點評】考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．4．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點E是DC中點，AF平分∠EAB，F(xiàn)H⊥AD交AE于點G，則GH的長為（）A． B． C． D．【分析】在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理可求AE，設AG＝x，可得GF＝x，HG＝2﹣x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程求出x，進一步得到GH的長即可求解．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB＝2，點E是DC中點，∴DE＝1，在Rt△ADE中，AE＝＝，∵AF平分∠EAB，∴∠GAF＝∠BAF，∵FH⊥AD，∴AB∥HF∥CD，AB＝HF，∴∠GFA＝∠BAF，∴AG＝GF，設AG＝x，則GF＝x，GH＝2﹣x，則＝，即＝，解得x＝，GH═2﹣x＝2﹣＝．故選：B．【點評】考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，條件多而復雜，注意知識的綜合運用與轉(zhuǎn)化．5．如圖，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相鄰兩條直線之間的距離相等，△ABC的頂點A，B，C分別在l1，l3，l5上，AB交l2于點D，BC交l4于點E，AC交l2于點F，若△DEF的面積是1，則△ABC的面積是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【分析】每相鄰兩條直線之間的距離為1，△DEF的面積為1，即可得到DF＝1，再根據(jù)DF∥BG，即可得出BG＝2，即可求得△ABC的面積．【解答】解：如圖，∵每相鄰兩條直線之間的距離為1，△DEF的面積為2，∴×DF×2＝1，∴DF＝1，∵DF∥BG，∴＝＝，∴BG＝2，∴S△ABC＝S△ABG+S△BCG＝×2×2+×2×2＝4，故選：B．【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．6．如圖，l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6，每相鄰兩條直線之間的距離為1，點A，B，C分別在直線l1，l3，l6上，AB交l2于點D，BC交l4于點E，CA交l2于點F．若△DEF的面積為2，則△ABC的面積為（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】每相鄰兩條直線之間的距離為1，△DEF的面積為2，即可得到DF＝2，再根據(jù)DF∥BG，即可得出BG＝4，即可求得△ABC的面積．【解答】解：如圖，∵每相鄰兩條直線之間的距離為1，△DEF的面積為2，∴×DF×2＝2，∴DF＝2，∵DF∥BG，∴＝＝，∴BG＝4，∴S△ABC＝S△ABG+S△BCG＝×4×2+×4×3＝10，故選：C．【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．7．若△ABC的各邊都分別擴大到原來的2倍，得到△A1B1C1，下列結(jié)論正確的是（）A．△ABC與△A1B1C1的對應角不相等 B．△ABC與△A1B1C1不一定相似 C．△ABC與△A1B1C1的相似比為1：2 D．△ABC與△A1B1C1的相似比為2：1【分析】相似三角形的對應邊之比等于相似比，據(jù)此即可解答．【解答】解：因為△ABC的各邊都分別擴大到原來的2倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的各邊為△ABC的2倍，即△ABC與△A1B1C1的相似比為1：2．故選：C．【點評】此題主要考查學生對相似三角形判定方法的運用．8．下列說法中正確的是（）①在兩個邊數(shù)相同的多邊形中，如果各對應邊成比例，那么這兩個多邊形相似；②兩個矩形有一組鄰邊對應成比例，這兩個矩形相似；③有一個角對應相等的平行四邊形都相似；④有一個角對應相等的菱形都相似．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【分析】根據(jù)相似多邊形的定義：各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形判定則可．【解答】解：①雖然各對應邊成比例，但是各對應角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的對應邊都成比例，但是它們不一定相似；②兩個矩形有一組鄰邊對應成比例，就可以得出四條邊對應成比例，并且它們的角都是90°，所以這兩個矩形相似；③有一個角對應相等的平行四邊形的對應邊不一定成比例，所以不一定相似；④有一個角對應相等就可以得出菱形的其他角對應相等，并且菱形的對應邊是成比例的，所以相似．故選：D．【點評】本題考查了相似多邊形的判定，根據(jù)定義判定則可．注意：一定要滿足各角對應相等，各邊對應成比例兩個條件，缺一不可．9．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：4，則△ABC與△DEF的面積之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．16：1【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積之比等于相似比的平方，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∵＝，∴△ABC與△DEF的面積比是＝1：16，故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應用，注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方，而不等于相似比，題目比較典型，難度不大．10．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，點D在邊AC上，且CD＝4，過點D作一條直線交邊AB于點E，使△ADE與△ABC相似，則DE的長是（）A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不對【分析】為兩種情況：①∠ADE＝∠C，根據(jù)△ADE∽△ACB，得出＝，代入求出DE即可；②∠ADE′＝∠B，根據(jù)△ADE∽△ABC，得出＝，代入求出AE＞AB．【解答】解：∵∠A＝∠A，分為兩種情況：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，∴DE＝12，②∠ADE′＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝＞AB，不合題意，故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應用，關鍵是求出符合條件的所有情況，主要考查學生的理解能力和計算能力，用的數(shù)學思想是方程思想和分類討論思想．二．填空題（共8小題）11．已知，則＝．【分析】設＝a，代入計算即可．【解答】解：設＝a，則x＝3a，y＝4a，∴＝＝，故答案為：．【點評】本題考查的是比例的性質(zhì)，靈活運用參數(shù)思想是解題的關鍵．12．已知線段b是線段a、c的比例中項，且a＝1，c＝4，那么b＝2．【分析】根據(jù)比例中項的定義可得b2＝ac，從而易求b．【解答】解：∵b是a、c的比例中項，∴b2＝ac，即b2＝4，∴b＝±2（負數(shù)舍去）．故答案是：2．【點評】本題考查了比例線段，解題的關鍵是理解比例中項的含義．13．已知線段MN＝2，點P是線段MN的黃金分割點，MP＞NP，則MP＝．【分析】根據(jù)黃金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝2代入計算即可．【解答】解：∵點P是線段MN的黃金分割點，MP＞NP，∴MP＝MN＝×2＝﹣1；故答案為：﹣1．【點評】本題考查了黃金分割的概念；熟練掌握黃金分割值是解題的關鍵．14．如圖，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝1cm．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出＝，代入得出＝，求出AG即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，∴＝，解得：AG＝1（cm），故答案為：1．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：定理（一組平行線截兩條直線，所截的線段對應成比例）中的對應成比例．15．下列說法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中說法正確的序號是②③．【分析】根據(jù)正方形、矩形、等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，錯誤；②所有的正三角形都相似，正確；③所有的正方形都相似，正確；④所有的矩形都相似，錯誤．故答案為：②③．【點評】本題考查了相似圖形的知識，熟練掌握各特殊圖形的性質(zhì)是解題的關鍵，難度一般．16．若△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的相似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比為1：4．【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的面積比為1：4，故答案為：1：4．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點C的對應點D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則AD的長為或．【分析】△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF：CE＝3：4，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；②若CE：CF＝3：4，由相似三角形角之間的關系，可以推出∠B＝∠ECD與∠A＝∠FCD，從而得到CD＝AD＝BD，即D點為AB的中點．【解答】解：若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF：CE＝3：4，∵AC：BC＝3：4，∴CF：CE＝AC：BC，∴EF∥AB．連接CD，如圖1所示：由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴cosA＝＝，∴AD＝AC?cosA＝3×＝；②若CE：CF＝3：4，∵AC：BC＝3：4，∠C＝∠C，∴△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠A．連接CD，如圖2所示：由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD＝90°，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ECD，∴BD＝CD．同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD，∴D點為AB的中點，∴AD＝AB＝；故答案為：或．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應邊的比相等、運用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵．18．如圖，在矩形ABCD中，∠ACB＝30°，過點D作DE⊥AC于點E，延長DE交BC于點F，連接AF，若AF＝，線段DE的長為．【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出AD＝CD，EF＝CF，CD＝CF，設CF＝x，則AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，得出BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理得（x）2+（2x）2＝（）2，解得x＝，得出CF＝，EF＝，AD＝3，證明△ADE∽△CFE，得出＝，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∴AD＝CD，∠DCE＝60°，∵DF⊥AC，∴EF＝CF，∠CDF＝30°，∴CD＝CF，設CF＝x，則AB＝CD＝x，BC＝AD＝CD＝3x，∴BF＝BC﹣CF＝3x﹣x＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：（x）2+（2x）2＝（）2，解得：x＝，∴CF＝，EF＝，AD＝3，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CFE，∴＝，即＝，∴DE＝；故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關鍵．三．解答題（共8小題）19．解答下列各題：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足＝＝，求的值【分析】（1）先展開，再合并同類項，根據(jù)因式分解法解方程即可求解．；（2）根據(jù)比例的等比性質(zhì)解決分式問題．注意分兩種情況：a+b+c≠0；a+b+c＝0進行討論．本題還可以設參數(shù)法解答．【解答】解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，x2+5x+6＝2x+16，x2+3x﹣10＝0，（x﹣2）（x+5）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5；（2）若a+b+c≠0，由等比定理有＝＝＝＝1，所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，于是有＝＝8．若a+b+c＝0，則a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，于是有＝＝﹣1．【點評】考查了因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．同時考查了等比性質(zhì)：若＝＝…＝＝k，則＝k，（b+d+…+n≠0）．特別注意條件的限制（分母是否為0）．比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問題時，靈活巧妙地使用，便于問題的求解．引進一個參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用．20．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中項，求b的值．（2）已知線段MN是AB，CD的比例中項，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的長．并思考兩題有何區(qū)別．【分析】（1）根據(jù)比例中項的概念，a：b＝b：c，則可求得b的值；（2）根據(jù)比例中項的概念，AB：MN＝MN：CD，則可求得線段MN的值．【解答】解：（1）∵b是a，c的比例中項，∴a：b＝b：c，∴b2＝ac；b＝±，∵a＝4，c＝9，∴b＝±＝±6，即b＝±6；（2）∵MN是線段，∴MN＞0；∵線段MN是AB，CD的比例中項，∴AB：MN＝MN：CD，∴MN2＝AB?CD，∴MN＝±；∵AB＝4cm，CD＝5cm，∴MN＝±＝±2；MN不可能為負值，則MN＝2，通過解答（1）、（2）發(fā)現(xiàn)，c、MN同時作為比例中項出現(xiàn)，c可以取負值，而MN不可以取負值．【點評】本題考查了比例中項的概念，根據(jù)兩條線段的比例中項的平方是兩條線段的乘積，可得出方程求解．21．若等腰三角形的頂角為36°，則這個三角形稱為黃金三角形．如圖，在△ABC中，BA＝BC，D在邊CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如圖1，寫出圖中所有的黃金三角形，并證明；（2）若M為線段BC上的點，過M作直線MH⊥AD于H，分別交直線AB，AC于點N，E，如圖2，試寫出線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關系，并加以證明．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和黃金三角形的定義即可得出結(jié)論；（2）證明△ANH≌△AEH（ASA），得出AN＝AE，借助已知利用線段的和差可得CD＝BN+CE．【解答】解：（1）△ABC和△ADC都是黃金三角形，理由如下：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵DB＝DA，∴∠BAD＝∠B，∵DA═AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，∴∠B＝∠DAC＝36°，∴△ABC和△ADC都是黃金三角形；（2）CD＝BN+CE，理由如下；由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，∴AD是∠BAC的平分線，在△ANH和△AEH中∴△ANH≌△AEH（ASA），∴AN＝AE，即AB﹣BN＝AC+CE，又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，∴BC﹣BN＝AD+CE∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，又∵AD＝BD，∴CD﹣BN＝CE，即CD＝BN+CE．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、黃金三角形的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．22．如圖，矩形紙片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．將矩形紙片沿BE折疊，得到△BA′E（點A折疊到A′處），展開紙片；再沿BA′折疊，折痕與GH，AD分別交于點M，N，然后將紙片展開．（1）連接EM，證明A′M＝MG；（2）設A′M＝MG＝x，求x值．【分析】（1）證明Rt△EA'M≌Rt△EGM即可證明A′M＝MG；（2）設A′M＝MG＝x，則MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x，在Rt△BHM中，由BH2+HM2＝BM2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，求出x即可．【解答】解：（1）證明：連接EM，如圖．由折疊可知EA＝EA'，∵AE＝EG，∠EA'B＝∠A＝90°∴A'E＝EG，∵四邊形ABCD為矩形，AB∥EF∥GH，∴∠EGM＝90°∴∠EGM＝∠EA'M，∴Rt△EA'M≌Rt△EGM（HL），∴A′M＝MG；（2）∵AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH，∴GH＝8，A'B＝AB＝8，MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x在Rt△BHM中，BH2+HM2＝BM2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，解得x＝2，即x的值為2．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和勾股定理的應用，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．23．某校九年級數(shù)學興趣小組在探究相似多邊形問題時，他們提出了下面兩個觀點：觀點一：將外面大三角形按圖1的方式向內(nèi)縮小，得到新三角形，它們對應的邊間距都為1，則新三角形與原三角形相似．觀點二：將鄰邊為6和10的矩形按圖2的方式向內(nèi)縮小，得到新的矩形，它們對應的邊間距都為1，則新矩形與原矩形相似．請回答下列問題：（1）你認為上述兩個觀點是否正確？請說明理由．（2）如圖3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，將△ABC按圖3的方式向外擴張，得到△DEF，它們對應的邊間距都為1，求△DEF的面積．【分析】（1）根據(jù)相似三角形以及相似多邊形的判定定理來判定甲乙的觀點是否正確；（2）首先根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的內(nèi)切圓半徑，進而△DEF的內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及面積公式即可求出△DEF的邊長，進而求出△DEF的面積．【解答】解：（1）觀點一正確；觀點二不正確．理由：①如圖（1）連接并延長DA，交FC的延長線于點O，∵△ABC和△DEF對應的邊的距離都為1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴觀點一正確；②如圖（2）由題意可知，原矩形的鄰邊為6和10，則新矩形鄰邊為4和8，∵，，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴觀點二不正確；（2）如圖（3），延長DA、EB交于點O，∵A到DE、DF的距離都為1，∴DA是∠FDE的角平分線，同理，EB是∠DEF的角平分線，∴點O是△ABC的內(nèi)心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，設△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，過點O作OH⊥DE于點H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴，同理，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面積為：..【點評】本題主要考查了相似三角形的綜合題，主要涉及到相似三角形以及相似多邊形的判定，熟練應用相似多邊形的判定方法是解題關鍵．24．已知四邊形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，過點C作CE⊥AB于點E，點F為AB上一點，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求證：CD＝CF；（2）H為線段DG上一點，連結(jié)AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．【分析】（1）求出∠DAC＝∠BAC，根據(jù)全等三角形的判定得出△ADC≌△ABC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CD＝CB即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SAS），∴CD＝CB，∵CE⊥AB，EF＝EB，∴CF＝CB，∴CD＝CF；（2）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∵∠ADC＝2∠HAG，∴∠DCG＝2∠HAG，∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，∴∠HAG＝∠AHG，∴HG＝AG，∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，即＝．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．25．如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交AB于點F，設運動時間為t秒．（1）當t＝4時，求點E的坐標；（2）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由相似三角形的性質(zhì)求出BH＝6，得出OE＝8即可求出點E的坐標．（2）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分兩種情況討論，求出t的值，即可得出P點的坐標．【解答】解：（1）當t＝4時，PC＝4，過點E作CB的垂線，垂足為H，如圖1所示：∵A（2，0），C（0，3），∴OA＝2，OC＝3，∵四邊形OABC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝9