非線(xiàn)性方程的振動(dòng)性

非線(xiàn)性方程的振動(dòng)性

自1988年stefanhilgar在他的博士論文中首次提出了時(shí)間軸上的微分方程理論以來(lái)，時(shí)間標(biāo)理論作為一種特殊情況，引起了人們的關(guān)注。然而，在大多數(shù)情況下，它僅限于線(xiàn)性方程的研究，而非線(xiàn)性研究仍然不足。關(guān)于一階中立差分方程和微分方程的振動(dòng)有許多結(jié)果。在這項(xiàng)工作中，我們將考慮非線(xiàn)性中立方程。(x(t)-p(t)x(t-τ))Δ+q(t)f(x(t-σ))=0,t≥t0>0(1)的振動(dòng)性,其中p(t),q(t)∈Crd([t0,∞),R+),q(t)不最終恒為0,f∈Crd(T,R),且當(dāng)u≠0,uf(u)>0.給定條件(H1)∫∞q(s)Δs=∞,(H2)|f(u)|≥c|u|(c為正常數(shù)).本文記z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ),δ=max(τ,σ),實(shí)數(shù)集R的任意一個(gè)非空閉子集稱(chēng)作一個(gè)時(shí)標(biāo),以符號(hào)T表示,例如:R,Z,N,∪N.下面的定義和引理對(duì)于我們的結(jié)果的理解和證明是必要的.定義1對(duì)任意的t∈T,定義向前跳躍算子σ∶T→T為σ(t)∶=inf{s>t∶s∈T};向后跳躍算子ρ∶T→T為ρ(t)∶=sup{s<t∶s∈T}.如果σ(t)>t,則稱(chēng)t是右邊稀散的,如果ρ(t)<t,則稱(chēng)t是左邊稀散的,左右兩邊都是稀散的點(diǎn)稱(chēng)為孤立點(diǎn).另外,如果t<supT且σ(t)=t,則稱(chēng)t是右邊密集的,如果t>infT且ρ(t)=t,則稱(chēng)t是左邊密集的,左右兩邊都是密集的點(diǎn)稱(chēng)為密集點(diǎn).定義2定義T上閉區(qū)間為[a,b]={t∈T,a≤t≤b},開(kāi)區(qū)間和半開(kāi)區(qū)間等類(lèi)似定義.如果b是左邊密集的,記[a,b]k=[a,b],如果b是左邊稀散的,記[a,b]k=[a,b)=[a,ρ(b)].定義3設(shè)f∶T→R,t∈Tk.定義fΔ(t)為具有如下性質(zhì)的一個(gè)數(shù)(假定存在):對(duì)任意的ε>0,存在U的一個(gè)δ鄰域(即對(duì)任意δ>0,U=(t-δ,t+δ)∩T),使得|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,s∈U,則稱(chēng)fΔ(t)為f在t的delta(Hilger)導(dǎo)數(shù).如果對(duì)所有的t∈Tk都有fΔ(t)存在,則稱(chēng)f在Tk上delta(Hil-ger)可微,簡(jiǎn)稱(chēng)可微的.定義4函數(shù)f∶T→R稱(chēng)為rd連續(xù)的如果它在右邊密集的點(diǎn)連續(xù)在左邊密集的點(diǎn)的極限存在.rd連續(xù)的函數(shù)集f∶T→R記作Crd=Crd(T)=Crd(T,R).定義5函數(shù)F為f的反導(dǎo)數(shù),如果對(duì)任意的t∈T,都有FΔ(t)=f(t),稱(chēng)F為f的積分.顯然,如果f∈Crd函數(shù),則其積分一定存在.引理1如果f∶T→R可微,并且fΔ(t)≥0,則f(t)非減.引理2如果a,b,c∈T,α∈R,f,g∈Crd,則(Ⅰ)∫ba[f(t)+g(t)]Δt=∫baf(t)Δt+∫bag(t)Δt;(Ⅱ)∫ba(αf)(t)Δt=α∫baf(t)Δt;(Ⅲ)∫abf(t)Δt=-∫abf(t)Δt;(Ⅳ)∫baf(t)Δt=∫caf(t)Δt+∫bcf(t)Δt;(Ⅴ)∫baf(σ(t))gΔ(t)Δt=(fg)(b)-(fg)(a)-∫bafΔ(t)g(t)Δt;(Ⅵ)∫baf(t)gΔ(t)Δt=(fg)(b)-(fg)(a)-∫bafΔ(t)g(σ(t))Δt;(Ⅶ)如果|f(t)|≤g(t),t∈[a,b),則|∫baf(t)Δt|≤∫bag(t)Δt.1主要結(jié)果引理3設(shè)x(t)為式(1)的非振動(dòng)解,且0<p(t)≤1,若x(t)最終為正(負(fù)),則最終有zΔ(t)≤0,z(t)>0(zΔ(t)≥0,z(t)<0).證明x(t)為式(1)的最終正解(最終為負(fù)亦可證),存在t1≥t0>0,當(dāng)t≥t1時(shí),x(t)>0,x(t-τ)>0,x(t-σ)>0,易知zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤0.下證z(t)>0.若結(jié)論不成立,則最終有z(t)≤0,因?yàn)閝(t)不最終恒為零.故z(t)不最終恒為零,從而z(t)<0,存在α>0,t2≥t1,使得t≥t2時(shí),z(t)≤-α,即有:x(t)-x(t-τ)≤x(t)-p(t)x(t-τ)=z(t)≤-α,x(t)≤-α+x(t-τ).從而有x(t+nτ)≤-α+x(t+(n-1)τ)≤-2α+x(t+(n-2)τ)≤…≤-(n+1)α+x(t-τ),當(dāng)n→∞時(shí),得x(t+nτ)→-∞.矛盾.故最終有z(t)>0.引理4設(shè)x(t)為(1)式的非振動(dòng)解,p≥p(t)≥1最終成立.且條件(H1),(H2)成立,則若x(t)最終為正(負(fù)),則最終有z(t)<0(z(t)>0).證明設(shè)x(t)為式(1)的最終正解(最終為負(fù)亦可證),知zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤0.假設(shè)z(t)最終有z(t)≥0,t≥t1,則x(t)≥p(t)x(t-τ)≥x(t-τ),故?t1≥t0+σ,M>0,使t≥t1時(shí),x(t-σ)≥Μc＞0,zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤-cq(t)x(t-σ)≤-Mq(t),∫tt2zΔ(s)Δs≤-M∫tt2q(s)Δs,z(t)≤z(t2)-M∫tt2q(s)Δs.令t→∞時(shí),得z(t)→-∞.故最終有z(t)<0,且limt→∞z(t)=-∞.定理1若p(t)≡1,且條件(H1),(H2)成立,則(1)式的所有解振動(dòng).證明若不然,不妨設(shè)x(t)是式(1)的最終正解,由引理3知z(t)>0,由引理4知z(t)<0,矛盾.故式(1)的所有解振動(dòng).定理2若條件(H1)成立,f(u)非減,0<p(t)≤1,且infu＞0f(u)＞0,則式(1)的所有解振動(dòng).證明不妨設(shè)x(t)是式(1)的一個(gè)最終正解,由引理3知zΔ(t)≤0,z(t)>0,故易得limt→∞z(t)=A≥0.又z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ)≤x(t).故z(t)≤z(t-σ)≤x(t-σ),0=zΔ(t)+q(t)f(x(t-σ))≥zΔ(t)+q(t)f(z(t-σ))≥zΔ(t)+q(t)f(z(t)),q(t)≤-zΔ(t)f(z(t)).因?yàn)閕nfu＞0f(u)＞0,所以?M>0,使得q(t)≤-MzΔ(t),從而∫tt1q(s)Δs≤-M∫tt1zΔ(s)Δs=M(z(t1)-z(t)).令t→∞,則有∞=∫∞t1q(s)Δs≤M(z(t1)-A)<∞,矛盾,故式(1)的所有解振動(dòng).定理3若p(t)≡1,條件(H2)成立,且∫∞t[sq(s)∫∞sq(r)Δr]Δs=∞,則式(1)的所有解振動(dòng).證明假設(shè)x(t)是式(1)的最終正解(最終為負(fù)同樣可證),存在t1≥t0>0,當(dāng)t≥t1時(shí),x(t)>0,x(t-τ)>0,x(t-σ)>0,由引理4知?t2≥t1,使t≥t2時(shí),z(t)>0,從而有:x(t)>x(t-τ)>0,故存在l>0,t3≥t2,使當(dāng)t≥t3時(shí)有x(t)≥l>0,這樣知:t≥t3+δ時(shí),有f(x(t-σ))≥cx(t-σ)≥cl.故zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤-clq(t),t≥t3+δ.(2)由定理1知,若∫∞q(s)Δs=∞,則(1)式振動(dòng).故不妨設(shè)∫∞q(s)Δs<∞,對(duì)式(2)從t到∞積分,有:z(t)≥cl∫∞tq(s)Δs,t≥t4≥t3+σ,從而有:x(t)≥cl∫∞tq(s)Δs+x(t-τ)≥cl∫∞tq(s)Δs+cl∫∞t-τq(s)Δs+x(t-2τ)≥ncl∫∞tq(s)Δs+x(t-nτ),其中n=[t-t4τ],故x(t)≥ncl∫∞tq(s)Δs,zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤-cq(t)x(t-σ)≤-c2nlq(t)∫∞t-σq(s)