2023-2024學(xué)年廣東省普寧市華僑中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省普寧市華僑中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則一定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形2．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為（）A. B.C. D.3．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-14．已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)Р為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以F，為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則6．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于點(diǎn)M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意，都有成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C D.8．已知點(diǎn)P(5，3，6)，直線l過(guò)點(diǎn)A(2，3，1)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)P到直線l的距離為()A. B.C. D.9．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.010．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，準(zhǔn)線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.11．在平面直角坐標(biāo)系中，線段的兩端點(diǎn)，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動(dòng)，若圓上存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.1012．已知拋物線過(guò)點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知AB為圓O：的直徑，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____14．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______15．過(guò)點(diǎn),的直線方程（一般式）為_(kāi)__________.16．設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，且，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).（1）證明：；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求直線AC與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，的面積為1.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).19．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點(diǎn)，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，△的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn).（1）求△的外接圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線平行于直線，判斷直線與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.21．（12分）如圖所示，四棱錐的底面為矩形，，，過(guò)底面對(duì)角線作與平行的平面交于點(diǎn)（1）求二面角的余弦值；（2）求與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正弦值22．（10分）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，都有．若存在，求出r的值，并求此時(shí)△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.2、C【解析】求出兩次取球都沒(méi)有取到3的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，每次取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨(dú)立的，在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的事件M，其對(duì)立事件是兩次都沒(méi)有取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為.故選：C3、C【解析】先通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，進(jìn)而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.4、D【解析】過(guò)點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于D，根據(jù)拋物線的定義可知，記，根據(jù)題意，當(dāng)最小，即直線與拋物線相切時(shí)滿足題意，進(jìn)而解出此時(shí)P的坐標(biāo)，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上，作PD垂直于準(zhǔn)線，且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)切線方程為，代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.5、D【解析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷【詳解】若，，也可以有，A錯(cuò)；若，，也可以有，B錯(cuò)；若，，則或，C錯(cuò)；若，，則，這是線面垂直的判定定理之一，D正確故選：D6、A【解析】根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，設(shè)，進(jìn)而得，根據(jù)四邊形面積求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入橢圓方程得出關(guān)于e的方程，解方程即可.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性得四邊形為平行四邊形，設(shè)點(diǎn)，由，得，因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以，得，由，得，解得，所以，即點(diǎn)，代入橢圓方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故選：A7、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】對(duì)任意，都有成立，即令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增不等式即，即因?yàn)?，所以所以，，解得，所以不等式的解集為故選：C.8、B【解析】根據(jù)向量和直線l的方向向量的關(guān)系即可求出點(diǎn)P到直線l的距離.【詳解】由題意，，，，，，到直線的距離為.故選：B.9、B【解析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.10、C【解析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準(zhǔn)線方程，則可求出準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，然后由題意可得，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準(zhǔn)線，由拋物線定義知，解得，則準(zhǔn)線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，原點(diǎn)為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C11、C【解析】首先求點(diǎn)的軌跡，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn)，即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點(diǎn)，所以，，即，解得：，所以線段長(zhǎng)度的最小值為.故選：C12、D【解析】把點(diǎn)代入拋物線方程求出，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，所以拋物線方程為，方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】方法一：通過(guò)對(duì)稱(chēng)性取特殊位置，設(shè)出P的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解最小值即可方法二：利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為向量的和與差的平方，通過(guò)圓的特殊性，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：方法一：依據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)直徑AB在x軸上，x，，，從而故答案為2方法二：，而，則答案2故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓方程的幾何性質(zhì)考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力14、【解析】分析可知，由可求得結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，.故答案為：.15、【解析】利用兩點(diǎn)式方程可求直線方程.【詳解】∵直線過(guò)點(diǎn),，∴，∴，化簡(jiǎn)得.故答案為：.16、【解析】設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及求得直線的斜率.【詳解】橢圓，由于在軸上方且直線的斜率存在，所以直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，且，由，消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，，則①，②，由于，所以③，由①②③解得所以直線的方程為，斜率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)，求出，，利用向量法能求出；（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，，，，；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程；(2)方法一：聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合條件三點(diǎn)共線，可證明直線過(guò)定點(diǎn)，方法二：聯(lián)立直線與拋物線方程，聯(lián)立直線與直線求，由垂直與軸列方程化簡(jiǎn)，可證明直線過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即，，因?yàn)椋式獾?，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，所以，由（1）可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線的方程為，若時(shí)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，又因?yàn)?，，化?jiǎn)可得，又，進(jìn)而可得，整理得，因?yàn)樗?，此時(shí)直線的方程為，直線恒過(guò)定點(diǎn)又直線也過(guò)點(diǎn)，綜上：直線過(guò)定點(diǎn)解法二：設(shè)方程，得若直線斜率存在時(shí)斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線方程為直線過(guò)定點(diǎn).若直線斜率不存在時(shí)，直線方程為所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，M點(diǎn)坐標(biāo)為此時(shí)直線方程為過(guò)點(diǎn)綜上：直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線與拋物線的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、拋物線的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出面與面的法向量，再計(jì)算夾角余弦值即可.小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問(wèn)2詳解】，為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間坐標(biāo)系，如圖令，則，設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.20、（1）；（2）直線與圓O相切，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）法1：設(shè)外接圓為，由點(diǎn)在圓上，將其代入方程求參數(shù)，即可得圓的方程；法2：利用斜率的兩點(diǎn)式易得，則是△外接圓的直徑，進(jìn)而求圓心坐標(biāo)、半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)有直線垂直于x軸，根據(jù)直線平行于直線及所過(guò)的點(diǎn)寫(xiě)出直線l的方程，求圓O的圓心與直線距離，并與半徑比大小，即可確定它們的位置關(guān)系.【小問(wèn)1詳解】法1：設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為，則，解得，所求圓的方程為，即.法2：因，所以，則是△外接圓的直徑，圓心，所以所求圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則直線垂直于x軸，所以直線的方程為，由（1）知：圓心到直線的距離，所以直線與圓O相切.21、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）設(shè)，連接、，證明出平面，推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值；（2）利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（3）利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則為、的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，同理可證，，平面，，，則，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【小問(wèn)2詳解】解：，，，因此，與所成角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】解：，，因此，與平面所成角的正弦值為.22、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過(guò)點(diǎn)列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設(shè)存在，分切線斜率存在和不存在分類(lèi)討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達(dá)出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進(jìn)而求出△AOB面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C：的離心率，且過(guò)點(diǎn)所以解得所以橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時(shí)