2023-2024學(xué)年杭州市高級中學(xué) 高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年杭州市高級中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的a值為（）A.3 B.27C.-9 D.92．如圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的的值為（）A. B.2C. D.33．入冬以來，梁老師準(zhǔn)備了4個不同的烤火爐，全部分發(fā)給樓的三個辦公室（每層樓各有一個辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點冷，所以1，2樓的每個辦公室至少需要1個烤火隊，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發(fā)烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.864．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.5．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.6．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.87．已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）.A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．小王與小張二人參加某射擊比賽預(yù)賽的五次測試成績?nèi)缦卤硭荆O(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環(huán)）910579小張得分（環(huán)）67557A. B.C. D.9．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用表示，村外一小路所在直線方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.10．已知，，且，則（）A. B.C. D.11．某班對期中成績進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時，先將60個同學(xué)的成績按01，02，03，……，60進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)1開始向右讀，則選出的第6個個體是（）（注：如下為隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行）6301637859169555671998105071751286735833211234297864560782524507443815510013A.07 B.25C.42 D.5212．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則一定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知A，B為x，y正半軸上的動點，且，O為坐標(biāo)原點，現(xiàn)以為邊長在第一象限做正方形，則的最大值為___________.14．若圓與圓相交，則的取值范圍是__________.15．如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個表面積為的玻璃球，則球面上的點到杯底的最小距離為______cm；②在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm)16．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點的橫坐標(biāo)為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點，求四邊形面積的最小值.18．（12分）記是等差數(shù)列的前項和，若.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的最小值.19．（12分）為讓“雙減”工作落實到位，某中學(xué)積極響應(yīng)上級號召，全面推進(jìn)中小學(xué)生課后延時服務(wù)，推行課后服務(wù)“”模式，開展了內(nèi)容豐富、形式多樣、有利于學(xué)生身心成長的活動.該中學(xué)初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務(wù)更受歡迎，該校準(zhǔn)備推行體育類與藝術(shù)類兩大類活動于2021年9月在初一學(xué)生中進(jìn)行了問卷調(diào)查.（1）調(diào)查結(jié)果顯示：有的男學(xué)生和的女學(xué)生愿意參加體育類活動，其他男學(xué)生與女學(xué)生都不愿意參加體育類活動，請完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動與學(xué)生的性別相關(guān)？愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學(xué)生女學(xué)生合計（2）在開展了兩個月活動課后，為了了解學(xué)生的活動課情況，在初一年級學(xué)生中按男女比例分層抽取7名學(xué)生調(diào)查情況，并從這7名學(xué)生中隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，用X表示選出進(jìn)行展示的3名學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.21．（12分）已知點F為拋物線的焦點，點在拋物線上，且.（1）求該拋物線的方程；（2）若點A在第一象限，且拋物線在點A處的切線交y軸于點M，求的面積.22．（10分）設(shè)命題對于任意，不等式恒成立．命題實數(shù)a滿足（1）若命題p為真，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)累乘值，并判斷滿足時輸出的值【詳解】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得，時，不滿足條件，；不滿足條件，；不滿足條件，；滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為27故選：2、B【解析】根據(jù)程序流程圖依次算出的值即可.【詳解】，第一次執(zhí)行，，第二次執(zhí)行，，第三次執(zhí)行，，所以輸出.故選：B3、C【解析】運(yùn)用分類計數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)3樓不要烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要1個烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要2個烤火爐時，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：，所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為：，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：運(yùn)用分類計數(shù)原理是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可【詳解】令，，令得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，，，，，故選：A5、C【解析】先根據(jù)題意對數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因為由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C6、B【解析】利用等差數(shù)列的通項公式的基本量計算求出公差.【詳解】，所以.故選：B7、B【解析】首先求出直線與圓相切時的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件，重點考查計算，理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.8、C【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和，方差分別為和.可知故選：C9、B【解析】求出圓心到直線距離，減去半徑即為答案.【詳解】圓心到直線的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B10、D【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得、的值，即可得解.【詳解】因為，則，所以，，，因此，.故選：D11、D【解析】從指定位置起依次讀兩位數(shù)碼，超出編號的數(shù)刪除.【詳解】根據(jù)題意，從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)1開始向右讀，依次選出的號碼數(shù)是：12，34，29，56，07，52；所以第6個個體是52.故選：D.12、B【解析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、32【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出角度和邊長，表達(dá)出點坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【詳解】如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，設(shè)，（），則由三角形全等可知，設(shè)，，則，則，，則，令，，則，當(dāng)時，取得最大值，最大值為32故答案為：3214、【解析】根據(jù)圓心距小于兩半徑之和，大于兩半徑之差的絕對值列出不等式解出即可.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，圓，即的圓心為，半徑為，由于兩圓相交，故，即，解得，即的取值范圍是，故答案為：15、①.②.【解析】根據(jù)題意，，進(jìn)而得，，故最小距離為；進(jìn)而建立坐標(biāo)系，得拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進(jìn)而只需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因為杯口放一個表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因為杯口寬cm，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因為杯深8cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：；【點睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.16、6【解析】由橢圓方程得到F，O的坐標(biāo)，設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算將·轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值求解.【詳解】由橢圓＋＝1，可得F(－1，0)，點O(0，0)，設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，當(dāng)x＝2時，·取得最大值6.故答案為：6【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用以及橢圓的幾何性質(zhì)和二次函數(shù)求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出，即可得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長公式表示出，同理可得，則四邊形的面積，最后利用基本不等式計算可得；【小問1詳解】解：由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.【小問2詳解】解：由（1）知：，設(shè)直線方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立得，則，所以，，∴，同理可得，∴四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴四邊形面積的最小值為2.18、（1）（2）4【解析】（1）根據(jù)題意得，解方程得，進(jìn)而得通項公式；（2）由題知，進(jìn)而解不等式得或，再根據(jù)即可得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得=0,由題意知，，解得，所以d=2所以.小問2詳解】解：由（1）可得，由可得，即，解得或，因為，所以，正整數(shù)的最小值為.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)初一男生數(shù)和女生數(shù)，結(jié)合有的男學(xué)生和的女學(xué)生，愿意參加體育類活動求解；計算的值，再與臨界值表對照下結(jié)論；（2）根據(jù)這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名由抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：因為初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名，且有的男學(xué)生和的女學(xué)生，所以愿意參加體育類活動的男生有300名，女生有200名，則列聯(lián)表如下：愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學(xué)生300100400女學(xué)生200100300合計500200700，所以有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動與學(xué)生的性別相關(guān)；【小問2詳解】這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，所以，,所以隨機(jī)變量X分布列如下：X0123p20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)作差即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可知，，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到，即可得到，再令，利用錯位相減法求出，即可得證；【小問1詳解】解：因為，且，當(dāng)時，則，所以，當(dāng)時，，則，即，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，，因為，所以，所以，令，則，所以，所以，即，所以，即；21、（1）;（2）10.【解析】（1）由根據(jù)拋物線