2023-2024學(xué)年湖北省孝感市數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年湖北省孝感市數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個(gè)是真命題 D.命題，只有一個(gè)是真命題2．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若△的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長為（）A.1 B.2C.4 D.63．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．若1，m，9三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或25．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.6．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).若，點(diǎn)P到直線l的距離不小于，則橢圓C離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.7．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>08．已知命題：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.9．某同學(xué)為了調(diào)查支付寶中的75名好友的螞蟻森林種樹情況，對(duì)75名好友進(jìn)行編號(hào)，分別為1，2，…，75，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，已知11號(hào)，26號(hào)，56號(hào)，71號(hào)好友在樣本中，則樣本中還有一名好友的編號(hào)是（）A.40 B.41C.42 D.3910．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.1011．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.412．設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B，則等于（）A.4 B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，拋物線上的點(diǎn)與軸上的點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，，，其中點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為________14．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為______（結(jié)果用數(shù)值表示）15．已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1):①點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為②過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為③過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.16．直線與直線的夾角大小等于_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）證明：是無理數(shù)．（我們知道任意一個(gè)有理數(shù)都可以寫成形如（m，n互質(zhì)，）的形式）18．（12分）已知，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍19．（12分）在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求直線與所成角的正切值.20．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù)，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時(shí)y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值22．（10分）（1）已知等軸雙曲線的上頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為，求此雙曲線的方程；（2）已知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求線段的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個(gè)為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個(gè)為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個(gè)為真命題，為假命題,說明二者至少有一個(gè)為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個(gè)是真命題，故選：D2、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進(jìn)而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實(shí)軸長.【詳解】由題意知，點(diǎn)P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實(shí)軸長為，故選：C.3、B【解析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.4、D【解析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再討論，，求出曲線的，，由離心率公式計(jì)算即可得到【詳解】三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則，解得，，當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓，則；當(dāng)時(shí)，曲線為為雙曲線，則離心率故選：5、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負(fù)數(shù)且最小或?yàn)檎龜?shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時(shí)，最小，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，最大，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)綜上：的最大值為20故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.6、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題可得，由點(diǎn)P到直線l的距離不小于可得，進(jìn)而可求的范圍，即可得出離心率范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，P為短軸的上端點(diǎn)，連接，如圖所示：由橢圓的對(duì)稱性可知，A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，解得：，點(diǎn)P到直線l距離：，解得：，即，∴，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出，再根據(jù)已知條件得出.7、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B8、D【解析】求出的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及等軸雙曲線的離心率，判斷出為假命題，q為真命題，進(jìn)而判斷出答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故命題為假命題；命題：等軸雙曲線中，，所以離心率為，故命題q為真命題，所以為真命題，其他選項(xiàng)均為假命題.故選：D9、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性即可確定結(jié)果.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性得：11號(hào)，26號(hào)，56號(hào)，71號(hào)以及還有一名好友的編號(hào)應(yīng)該按大小排列后成等差數(shù)列，樣本中還有一名好友的編號(hào)為26號(hào)與56號(hào)的等差中項(xiàng)，即41號(hào)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答【詳解】因?yàn)?，則由組合數(shù)性質(zhì)有，即，所以n的值為10.故選：D11、A【解析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性和概率的性質(zhì)即可【詳解】由，且則有：根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：故選：A12、A【解析】求出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B，再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出，，，，，，可猜測(cè)，利用累加法，即可求解【詳解】的方程為，代入拋物線可得，同理可得，，，，可猜測(cè)，證明：記三角形的邊長為，由題意可知，當(dāng)時(shí)，在拋物線上，可得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：化簡得：，則數(shù)列是等差數(shù)列，，，，，故答案為：14、12【解析】通過二次展開式就可以得到.【詳解】的展開式中含含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：1215、②③④【解析】由拋物線過點(diǎn)可得拋物線的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯(lián)立切線的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線方程，從而判斷③；設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線方程為：，對(duì)于①，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對(duì)于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對(duì)于④，設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.16、##【解析】根據(jù)直線的傾斜角可得答案.【詳解】直線是與軸平行的直線，直線的斜率為1，即與軸的夾角為角，故直線與直線的夾角大小等于.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、詳見解析【解析】利用反證法，即可推得矛盾.【詳解】假設(shè)有理數(shù)，則，則，為整數(shù)，的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，則的尾數(shù)是0,2,8，由得，尾數(shù)為0，則的尾數(shù)是0，而的尾數(shù)為0或5，這與為最簡分?jǐn)?shù)，的最大公約數(shù)是1，相矛盾，所以假設(shè)不正確，是無理數(shù).18、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）依題意可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)只需，參變分離得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?，所以，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由，即，即，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）分別證明∥平面，∥平面，最后利用面面平行的判定定理證明平面∥平面即可；（2）由∥得即為直線與所成角，在直角△即可求解.【小問1詳解】∵∥且EN平面MNE,BC平面MNE,∴BC∥平面MNE,又∵∥且EM平面MNE,平面MNE,∴∥平面MNE又∵,∴平面∥平面,【小問2詳解】由（1）得∥,∴為直線MN與所成的角，設(shè)正方體的棱長為a,在△中，，，∴.20、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.21、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)可得f′（x）的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調(diào)性，即可求得f（x）的極值，檢驗(yàn)邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣322、（1）；（2）8.【解析】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，