2023-2024學年河南廣東聯(lián)考高二上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2023-2024學年河南廣東聯(lián)考高二上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.2．已知直線和互相平行，則實數(shù)的取值為（）A或3 B.C. D.1或3．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.4．設是兩個非零向量，則“”是“夾角為鈍角”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知等比數(shù)列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.646．若圓與圓外切，則（）A. B.C. D.7．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，則（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列的公差，若，，則該數(shù)列的前項和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.459．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.10．已知點，Q是圓上的動點，則線段長的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.611．數(shù)列1，，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.12．已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（）A.1 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知橢圓E的方程為(a>b>0)，A為橢圓的左頂點，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓的離心率等于________14．，若2是與的等比中項，則的最小值為___________.15．已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點為橢圓C的下頂點，直線MA與MB的斜率之積為.（1）求橢圓C的方程；（2）設點P，Q為橢圓C上位于x軸下方的兩點，且，求四邊形面積的最大值.16．“直線和直線垂直”的充要條件是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有一種魚的身體吸收汞，當這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產(chǎn)生危害．現(xiàn)從一批該魚中隨機選出30條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）有A，B兩個水池，兩水池之間有8個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過2條魚①將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動相互獨立，均有的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；②將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由A水池進入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率18．（12分）從①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項和為，，______，，求數(shù)列的前n項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分）19．（12分）已知直線l過點A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點P，Q，且|PQ|＝8，求圓C方程20．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）設，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和21．（12分）如圖，在長方體中，，，是棱的中點（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由22．（10分）已知函數(shù)在處取得極值7（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B2、B【解析】利用兩直線平行的等價條件求得實數(shù)m的值.【詳解】∵兩條直線x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故選B【點睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時，記住以下結論，可避免討論：已知，，則，3、D【解析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.4、B【解析】因為時，夾角為鈍角或平角；而當夾角為鈍角時，成立，所以“”是“夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選B考點：1向量的數(shù)量積；2充分必要條件5、A【解析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A6、C【解析】求得兩圓的圓心坐標和半徑，結合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因為兩圓相外切，可得，解得故選：C.7、D【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解：∵N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，故選：D.8、D【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差以及首項，再由等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】等差數(shù)列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當或10時，最大，，故選：D9、B【解析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B10、A【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為圓心與點的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點在線段上時，，故選：A11、A【解析】根據(jù)各項的分子和分母特征進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以該數(shù)列的一個通項公式可以是；對于選項B：，所以本選項不符合要求；對于選項C：，所以本選項不符合要求；對于選項D：，所以本選項不符合要求，故選：A12、C【解析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先利用橢圓的對稱性和為平行四邊形，可以得出、兩點是關于軸對稱，進而得到；設，，，從而求出，然后由，利用，求得，最后根據(jù)得出離心率【詳解】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，所以、兩點的縱坐標相等，、的橫坐標互為相反數(shù)，、兩點是關于軸對稱的由題知：四邊形為平行四邊形，所以可設，，代入橢圓方程解得：設為橢圓的右頂點，，四邊形為平行四邊形對點：解得：根據(jù)：得：故答案為：14、3【解析】根據(jù)等比中項列方程，結合基本不等式求得的最小值.【詳解】由題可得，則，當且僅當時等號成立.故答案為：15、（1）（2）【解析】（1）由斜率之積求得，再由已知條件得，從而得橢圓方程；（2）延長QF2交橢圓于N點，連接，，設直線，，.直線方程代入橢圓方程，應用韋達定理得，結合不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性可得的范圍，再計算出四邊形面積得結論【小問1詳解】由題知：，，，又，∴橢圓.【小問2詳解】延長QF2交橢圓于N點，連接，，如下圖所示：，∴設直線，，.由，得，，，.，由勾形函數(shù)的單調(diào)性得，根據(jù)對稱性得：，且，，∴四邊形面積的最大值為.16、或【解析】利用直線一般式方程表示垂直的方法求解.【詳解】因為直線和直線垂直，所以，解得或；故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）眾數(shù)為0.82，8％分位數(shù)約為1.34（2）①；②【解析】（1）根據(jù)題中表格數(shù)據(jù)即可求得答案；（2）①兩條魚有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根據(jù)互斥事件的概率結合相互獨立事件的概率計算求得答案；②先求出這兩條魚由同一個小孔進入B水池的概率，然后根據(jù)對立事件的概率計算方法，求得答案.【小問1詳解】由題意知，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82，估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80％分位數(shù)約為【小問2詳解】①記“兩魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，則，∵事件A與事件B互斥，∴兩條魚最終在同一水池的概率為②記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件，“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件，…依次類推，而兩魚的游動獨立，∴，記“兩條魚由不同小孔進入B水池”為事件C，則C與對立，又由事件，事件，…，事件互斥，∴，即18、；【解析】將條件①②③轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，并求解，寫出的通項公式，從而表示出，利用裂項相消法求和.【詳解】選①：設等差數(shù)列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以選②：設等差數(shù)列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以選③：設等差數(shù)列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以【點睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和19、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關系得過直線l的斜率，由點斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結合勾股定理建立弦心距（由點到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因為直線l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝1720、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）將變形為，得到為等比數(shù)列，（2）由（1）得到的通項公式，用錯位相減法求得【詳解】（1）由，，可得，因為則，，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則【點睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列和或差數(shù)列的求和(4)裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數(shù)列求和.21、(1)證明見解析（2）（3）存點，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設，,則，則由向量法結合條件可得答案.【詳解】（1）在長方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標系因為，，是棱的中點則則為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設，，則由（2）平面的一個法向量設與平面所成角為則解得，取所以存在點，滿足條件.22、（1）；