2023-2024學(xué)年江西省撫州市臨川第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年江西省撫州市臨川第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線(xiàn)相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或2．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.73．已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)于恒成立，設(shè)則下列不等關(guān)系正確是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20495．已知直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若C為直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.6．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.8．設(shè)雙曲線(xiàn)與冪函數(shù)的圖象相交于，且過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.9．雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)到的距離為8，則點(diǎn)到的距離為（）A.2或12 B.2或18C.18 D.210．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件11．已知，，，則最小值是（）A.10 B.9C.8 D.712．已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)與拋物線(xiàn)C有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)有（）條A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向相距的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”，設(shè)．則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為_(kāi)_______14．若函數(shù)在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=kx平行，則實(shí)數(shù)k=___________.15．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足且，則________.數(shù)列的通項(xiàng)=________.16．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體中，和均為等邊三角形，D是的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）若，求多面體的體積.18．（12分）某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是、、、.（1）估計(jì)該班本次測(cè)試的平均分；（2）在、中按分層抽樣的方法抽取個(gè)數(shù)據(jù)，再?gòu)倪@個(gè)數(shù)據(jù)中任抽取個(gè)，求抽出個(gè)中至少有個(gè)成績(jī)?cè)谥械母怕?19．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)上（1）求拋物線(xiàn)的方程（2）設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程20．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足（1）當(dāng)時(shí)，若與均為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）已知平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的2倍.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得或，進(jìn)而求得答案【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳A與直線(xiàn)相切，所以由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求圓的方程，屬于一般題2、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D3、A【解析】由條件可得函數(shù)為上的增函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較的大小，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∵，∴，故，所以，C錯(cuò)，令()，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，∴，∴，即，∴，故，所以，D錯(cuò)，，故，所以，A對(duì)，，故，所以，B錯(cuò)，故選：A.4、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即所以，解得或，因?yàn)?，所?所以，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以故選：B5、D【解析】先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，然后分別與直線(xiàn)聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知其漸近線(xiàn)方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D6、B【解析】根據(jù)方程可得，且焦點(diǎn)軸上，然后可得答案.【詳解】由橢圓的方程可得，且焦點(diǎn)在軸上，所以，即，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B7、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.8、B【解析】設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進(jìn)而可求，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可求，即得.【詳解】可設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線(xiàn)定義得，.故選：B.9、C【解析】利用雙曲線(xiàn)的定義求.【詳解】解：由雙曲線(xiàn)定義可知：解得或（舍）∴點(diǎn)到的距離為18，故選：C.10、D【解析】由充分必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及利用特殊數(shù)列的分法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當(dāng)，可得，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立，所以數(shù)列是等比數(shù)列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.11、B【解析】利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開(kāi)后，利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B12、D【解析】設(shè)出過(guò)點(diǎn)與拋物線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)方程，再與的方程聯(lián)立借助判別式計(jì)算、判斷作答.【詳解】拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行，它與拋物線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與拋物線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過(guò)點(diǎn)與拋物線(xiàn)C相切的直線(xiàn)有兩條，相交且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有一條，所以過(guò)點(diǎn)與拋物線(xiàn)C有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)有3條.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，根據(jù)余弦定理得的值，則四邊形的面積表示為，再代入面積公式化簡(jiǎn)為三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.【詳解】在中，，，，，，則（其中），當(dāng)時(shí)，取最大值，所以“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積表示為，代入面積公式后化簡(jiǎn)得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.14、2【解析】由題可求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求.【詳解】∵，∴，，又函數(shù)在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=kx平行，∴.故答案為：2.15、①.5②.【解析】設(shè)，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“累加法”，即可求得.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，，，解得，設(shè)，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，可得，其中也滿(mǎn)足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：；.16、3【解析】根據(jù)平均變化率的定義即可計(jì)算.【詳解】設(shè)，因，，所以.故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)詳解（1）.（2）16【解析】（1）證線(xiàn)面垂直從而證線(xiàn)線(xiàn)垂直.（2）把面體看成兩個(gè)錐體，由已知線(xiàn)面垂直得高，并進(jìn)一步可求錐體底面邊長(zhǎng)，從而得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以共面，連接、,因?yàn)楹途鶠榈冗吶切?，D是的中點(diǎn)，所以，，，所以面平，平面，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，四邊形是平行四邊形，和均為等邊三角形，D是的中點(diǎn)，所以，,平行四邊形是正方形形，，.18、（1）；（2）.【解析】（1）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的個(gè)數(shù)據(jù)中，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有個(gè)，分別記為、、、，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有個(gè)，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問(wèn)1詳解】解：由頻率分布直方圖可得.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)?cè)?、?nèi)的頻率分別為、，所以，所抽取的個(gè)數(shù)據(jù)中，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有個(gè)，分別記為、、、，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有個(gè)，分別記為、，從這個(gè)數(shù)據(jù)中，任取抽取個(gè)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，其中，事件“抽出個(gè)中至少有個(gè)成績(jī)?cè)谥小彼幕臼录校骸?、、、、、、、，共個(gè)，故所求概率為.19、（1）（2）的方程為、、【解析】（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向上，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則，所以，拋物線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).那個(gè)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，解得或.所以直線(xiàn)的方程為或.綜上所述，的方程為、、.20、（1）；（2）.【解析】（1）將代入，解一元二次不等式求兩集合的交集即可求解.（2）求出：，根據(jù)題意可得轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，：，：或.因?yàn)?，中都是真命題.所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，：，：或，所以：，因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直線(xiàn)為x軸，以AD所在的直線(xiàn)為y軸，以AP所在的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量為，平面的法向量為，即得證；（2）設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，利用向量法求解；（3）利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】證明：PA平面ABCD，ABCD為正方形，以AB所在的直線(xiàn)為x軸，以AD所在的直線(xiàn)為y軸，以AP所在的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）M為PD的中點(diǎn)，，所以，，，所以，又PDAM，，平面PCDAM平面PCD.平面PCD的法向量為.設(shè)平面的法向量為,，令，則，..平面MAC平面PCD.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，由(1)可得：平面PCD的法向量為，，，即直線(xiàn)與平面所成角大小.【小問(wèn)3詳解】解：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為