2023-2024學(xué)年山東省濟寧市達(dá)標(biāo)名校高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省濟寧市達(dá)標(biāo)名校高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.12．已知橢圓的右焦點為，為坐標(biāo)原點，為軸上一點，點是直線與橢圓的一個交點，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．設(shè)雙曲線：（，）的右頂點為，右焦點為，為雙曲線在第二象限上的點，直線交雙曲線于另一個點（為坐標(biāo)原點），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（）A. B.C. D.5．若兩條直線與互相垂直，則的值為（）A.4 B.-4C.1 D.-16．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.257．過拋物線的焦點引斜率為1的直線，交拋物線于，兩點，則（）A.4 B.6C.8 D.108．兩位同學(xué)課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個柱子甲、乙、丙，甲柱上有個盤子，最上面的兩個盤子大小相同，從第二個盤子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個盤子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動的過程中每次只能移動一個盤子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動的最少次數(shù)為，則當(dāng)時，和滿足A. B.C. D.9．已知三棱錐的各頂點都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A. B.C. D.10．已知點是橢圓上一點，點，則的最小值為A. B.C. D.11．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.12．已知橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線（為常數(shù)）和圓，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)變化時，直線恒過定點；②直線與圓可能無公共點；③若直線與圓有兩個不同交點，，則線段的長的最小值為；④對任意實數(shù)，圓上都不存在關(guān)于直線對稱的兩個點.其中正確的結(jié)論是______.（寫出所有正確結(jié)論的序號）14．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣（如圖）：按照以上排列的規(guī)律，第9行從左向右的第2個數(shù)為__________.15．隨機變量X的取值為0，1，2，若，，則_________16．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項，則前10項的和為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在與處都取得極值.（1）求a，b的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.18．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值19．（12分）已知函數(shù)（1）若，求曲線在處的切線方程（2）討論函數(shù)的單調(diào)性20．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點，線段的中點為，為坐標(biāo)原點，且，求面積的最大值.21．（12分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)的兩個極值點分別為，證明：22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項為由，可得：又，則有：則故選：A2、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可知，則，所以，即可得到的關(guān)系，利用橢圓的定義進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，因為，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選：D.3、A【解析】由給定條件寫出點A，F(xiàn)坐標(biāo)，設(shè)出點B的坐標(biāo)，求出線段FC的中點坐標(biāo)，由三點共線列式計算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點，設(shè)，由雙曲線對稱性得，線段FC的中點，因直線平分線段，即點D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A4、C【解析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：C.5、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件知：，即可求的值.【詳解】由兩直線垂直，可知：，即.故選：A6、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.7、C【解析】由題意可得，的方程為，設(shè)、，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，利用拋物線的定義計算即可求解.【詳解】由上可得：焦點，直線的方程為，設(shè)，，由，可得，則有，由拋物線的定義可得：，故選：C.8、C【解析】通過寫出幾項，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個盤，甲柱上的盤從上往下設(shè)為，其中，，當(dāng)時，將移到乙柱，只移動1次；當(dāng)時，將移到乙柱，將移到乙柱，移動2次；當(dāng)時，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當(dāng)時，將上面的3個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個移到乙柱，共次，所以次；當(dāng)時，將上面的4個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個移到乙柱，共次，所以次；……以此類推，可知，故選.【點睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類型題的關(guān)鍵是寫出幾項，尋找規(guī)律，從而得到對應(yīng)的遞推公式.9、D【解析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為故選：D.【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.10、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時，的最小值為.故選D.11、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】因為函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值表示的是此點處切線的斜率，所以由圖可得，故選：C12、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、③④【解析】由可判斷①；根據(jù)直線過的定點在圓內(nèi)可判斷②；當(dāng)直線與過圓心的直徑垂直時，求出線段的長度可判斷③；把圓心代入直線的方程可判斷④.【詳解】對于①，，當(dāng)變化時，直線恒過定點，故錯誤；對于②，因為，所以在圓的內(nèi)部，所以直線與圓總有公共點，故錯誤；對于③，當(dāng)直線與過圓心的直徑垂直時，線段的長度的最小，此時，故正確；對于④，把圓心代入直線，得對任意實數(shù)，圓上都不存在關(guān)于直線對稱的兩個點，故正確.故答案為：③④.14、38【解析】根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律求得正確答案.【詳解】數(shù)陣第行有個數(shù)，第行有個數(shù)，并且數(shù)字從開始，每次遞增.前行共有個數(shù)，第行從左向右的最后一個數(shù)是，所以第行從左向右的第個數(shù)為.故答案為：15、##0.4【解析】設(shè)出概率，利用期望求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而利用求方差公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，則，從而，解得：，所以故答案為：16、【解析】利用等比中項及等差數(shù)列通項公式求出首項，再利用等差數(shù)列的前項和公式求出前10項的和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】(1)極值點處導(dǎo)數(shù)值為零，據(jù)此即可求出a和b；(2)利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)在時的最大值即可.【小問1詳解】由題設(shè)，，又，，解得，.【小問2詳解】由（1）得，即，當(dāng)時，，隨的變化情況如下表：1+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，為極大值，又，顯然f（-）＜f(2)所以為在上的最大值.要使對任意恒成立，則只需，解得或c>1.∴實數(shù)c的取值范圍為.18、（1）證明見解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳角，則二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：二面角大小求解時要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角19、（1）（2）答案見解析【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合切點可得切線方程；（2）求導(dǎo)后，分別在、和的情況下，根據(jù)的正負(fù)可得的單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時，，，，又，在處的切線方程為：，即；【小問2詳解】，令，解得：，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若或，則；若，則；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，若或，則；若，則；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.20、（1）；（2）2.【解析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l和x軸垂直時，根據(jù)已知條件求出此時△AOB面積；直線l和x軸不垂直時，設(shè)直線方程為點斜式y(tǒng)＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長得k和t關(guān)系，表示出△AOB的面積，結(jié)合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)軸時，位于軸上，且，由可得，此時；當(dāng)不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設(shè)到直線的距離為，則，結(jié)合化簡得此時的面積最大，最大值為2.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，綜上，的面積的最大值為2.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，把問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)值為0的方程有兩個正根，再構(gòu)造函數(shù)求解作答.(2)將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得：，依題意，函數(shù)在上有兩個不同極值點，于是得有兩個不等的正根，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因，恒成立，即當(dāng)時，的值從遞減到0(不能取0)，又，有兩個不等的正根等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的公共點，如圖，因此有，所以a取值范圍是.【小問2詳解】由(1)知分別