2023-2024學(xué)年山東省淄博市第十中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省淄博市第十中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)與C交于點(diǎn)M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（）A. B.C. D.2．若隨機(jī)事件滿(mǎn)足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨(dú)立C.互為對(duì)立 D.互斥且獨(dú)立3．①直線(xiàn)在軸上的截距為；②直線(xiàn)的傾斜角為；③直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)；④兩條平行直線(xiàn)與間的距離為.以上四個(gè)命題中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.4．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對(duì)5．在三棱錐中，，D為上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.7．若數(shù)列等差數(shù)列，a1=1，，則a5=（）A. B.C. D.8．已知、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)右支一點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，給出下列結(jié)論：①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a；②離心率；③；④當(dāng)軸時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④9．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.10．設(shè)、是向量，命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線(xiàn)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____14．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____.15．已知，若共線(xiàn)，m+n＝__.16．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）在直三棱柱中，、、、分別為中點(diǎn)，.（1）求證：平面（2）求二面角的余弦值20．（12分）若數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.問(wèn)題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，設(shè)，進(jìn)而得，根據(jù)四邊形面積求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入橢圓方程得出關(guān)于e的方程，解方程即可.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性得四邊形為平行四邊形，設(shè)點(diǎn)，由，得，因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以，得，由，得，解得，所以，即點(diǎn)，代入橢圓方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故選：A2、B【解析】利用獨(dú)立事件，互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷即可【詳解】解：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以有，所以事件與相互獨(dú)立，不互斥也不對(duì)立故選：B.3、B【解析】由直線(xiàn)方程的性質(zhì)依次判斷各命題即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，直線(xiàn)，令，則，直線(xiàn)在軸上的截距為-，則①錯(cuò)誤；對(duì)于②，直線(xiàn)的斜率為，傾斜角為，則②正確；對(duì)于③直線(xiàn)，由點(diǎn)斜式方程可知直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，則③正確；對(duì)于④，兩條平行直線(xiàn)與間的距離為，則④錯(cuò)誤.故選：B.4、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，進(jìn)而可求.【詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】根據(jù)幾何關(guān)系以及空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可解出【詳解】因?yàn)?，所以，即故選：B6、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計(jì)算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則，，，所以.故選：D7、B【解析】令、可得等差數(shù)列的首項(xiàng)和第三項(xiàng)，即可求出第五項(xiàng)，從而求出.【詳解】令得，令得，所以數(shù)列的公差為，所以，解得，故選：B.8、C【解析】利用雙曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)以及題意對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①，設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，解得，因?yàn)?，所以，所以②正確，對(duì)于③，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線(xiàn)的定義可得，，因?yàn)?，，所以，所以，所以③正確，對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，可得，此時(shí)，所以，所以④錯(cuò)誤，故選：C9、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個(gè)式子均有2n-1項(xiàng)，且第一項(xiàng)為n，則最后一項(xiàng)為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）10、C【解析】利用原命題與逆否命題之間的關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】由原命題與逆否命題之間的關(guān)系可知，命題“若，則”的逆否命題是“若，則”.故選：C.11、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.12、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知：.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)的斜率即得解.【詳解】解：由題得，所以切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)的方程為即.故答案為：14、##【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)，利用拋物線(xiàn)的定義可得，有軸，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又，所以點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)，由，由拋物線(xiàn)的定義得，解得，所以AB垂直與x軸，所以直線(xiàn)AB的方程為：.故答案為：15、【解析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求出m,n，進(jìn)而求得答案.【詳解】由于，因?yàn)?，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.16、【解析】化簡(jiǎn)橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，方程可化為，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出B、D、E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)計(jì)算向量數(shù)量積來(lái)進(jìn)行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標(biāo)系，分別表示出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算平面與平面的法向量，然后通過(guò)法向量去計(jì)算兩平面所成的銳二面角即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，，分別為，，的中點(diǎn)，則，，證明：因?yàn)?，，所以，所以【小?wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得因?yàn)樗云矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為18、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用拋物線(xiàn)的定義即求；（2）由題可設(shè)直線(xiàn)的方程為，利用韋達(dá)定理法結(jié)合條件可得，即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，設(shè)拋物線(xiàn)方程為，由，得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線(xiàn)的斜率不為0，故設(shè)直線(xiàn)的方程為，.聯(lián)立，得，恒成立，由韋達(dá)定理，得，，假設(shè)存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，則直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足，即，所以，所以解得，所以存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足，點(diǎn)的坐標(biāo)為.19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明.（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，再分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用面面角的向量公式求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取中點(diǎn)，連接，易知，、分別為的中點(diǎn)，∴，∴故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，平面（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則∴，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，易知平面的一個(gè)法向量為，∴，∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理和面面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義可求解；（2）根據(jù)（1）化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，得，則所以數(shù)列是首項(xiàng)為﹣1，公比為3的等比數(shù)列所以【小問(wèn)2詳解】由（1）得：所以，所以21、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項(xiàng)公式后，再由求得通項(xiàng)公式，注意