2024屆包頭市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆包頭市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－92．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作軸的平行線交橢圓于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，且以、為頂點(diǎn)，以直線、為漸近線，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A. B.C. D.3．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B.3C.4 D.54．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.3 B.C.1 D.5．已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或6．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.7．元朝著名的數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩(shī)：“我有一壺酒，攜著游春走.遇店添一倍，逢友飲一斗.”基于此情景，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，若輸入的，輸出的，則判斷框中可以填（）A. B.C. D.8．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.9．俗話說(shuō)“好貨不便宜，便宜沒(méi)好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知點(diǎn)P(5，3，6)，直線l過(guò)點(diǎn)A(2，3，1)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)P到直線l的距離為()A. B.C. D.11．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則12．直線在軸上的截距為（）A.3 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線兩焦點(diǎn)之間的距離為4，則雙曲線的漸近線方程是___________.14．若直線與直線平行，則直線與之間的距離為_(kāi)____15．已知數(shù)列滿足：，，則______16．設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若，求證：有且只有一個(gè)零點(diǎn).19．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項(xiàng)為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且它的一條漸近線方程為.（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：A2、C【解析】不妨取點(diǎn)在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，以及它們之間的聯(lián)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線中，有，，即，雙曲線的漸近線方程為，不妨取點(diǎn)在第一象限，則的坐標(biāo)為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長(zhǎng)為故選：3、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，故可得，又到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，故點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：.4、A【解析】由題意首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最?。划?dāng)時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.5、B【解析】分雙曲線的焦點(diǎn)在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點(diǎn)在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定的情況下，要對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C7、D【解析】根據(jù)程序框圖的算法功能，模擬程序運(yùn)行即可推理判斷作答.【詳解】由程序框圖知，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，先執(zhí)行循環(huán)體，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，條件滿足跳出循環(huán)體，則有：當(dāng)?shù)谝淮螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)诙螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谌螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谒拇螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谖宕螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件滿足，跳出循環(huán)體，輸出，于是得判斷框中的條件為：，所以判斷框中可以填：.故選：D8、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A9、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進(jìn)行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.10、B【解析】根據(jù)向量和直線l的方向向量的關(guān)系即可求出點(diǎn)P到直線l的距離.【詳解】由題意，，，，，，到直線的距離為.故選：B.11、C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，可以舉反例判斷；對(duì)于選項(xiàng)BCD可以利用作差法判斷得解.【詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，所以該選項(xiàng)正確；D.，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C12、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為3.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】根據(jù)條件求出c，進(jìn)而根據(jù)求出a，最后寫出漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線兩焦點(diǎn)之間的距離為4，所以，解得，所以，，雙曲線的漸近線方程是.故答案為：.14、【解析】由直線平行求參數(shù)m，再利用平行直線的距離公式求與之間的距離.【詳解】由題設(shè)，，即，所以，，所以直線與之間的距離為.故答案為：15、【解析】令n=n-1代回原式，相減可得，利用累乘法，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減可得，整理得，所以，整理得，又，解得.故答案為：16、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡(jiǎn)，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，將代入中得，，化簡(jiǎn)整理得，令，化簡(jiǎn)整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問(wèn)1詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，所以.【小問(wèn)2詳解】，因此時(shí)，有理項(xiàng)，有理項(xiàng)是第一項(xiàng)和第七項(xiàng).18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，從而可求最值.（2）求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中無(wú)參數(shù)，故單調(diào)性與（1）中所求一致，然后利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合的范圍，以及函數(shù)單調(diào)性證明在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】若，則，其定義域?yàn)?，∴，由，得，∴?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴【小問(wèn)2詳解】證明：，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠(chéng)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，故在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∵且，∴在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上，有且只有一個(gè)零點(diǎn).19、（1）；（2）【解析】（1）將題目的條件寫成的形式并求解，寫出等比等比數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.小問(wèn)1詳解】由題意可得，，∴，∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】，∴①，②，①-②可得，∴.20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用拋物線的定義即求；（2）由題可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理法結(jié)合條件可得，即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為，由，得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立，得，恒成立，由韋達(dá)定理，得，，假設(shè)存在一點(diǎn)，滿足題意，則直線的斜率與直線的斜率滿足，即，所以，所以解得，所以存在一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)的坐標(biāo)為.21、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓方程及其參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)c，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）由漸近線及焦點(diǎn)坐標(biāo)，