高三北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪導(dǎo)學(xué)案 2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)案7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算．3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，并掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)。4。知道指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型．自主梳理1．指數(shù)冪的概念(1）根式如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a(n>1且n∈N*),那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根．也就是,若xn＝a，則x叫做________，其中n〉1且n∈N*.式子eq\r(n，a)叫做________,這里n叫做________，a叫做____________．（2)根式的性質(zhì)①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次方根用符號(hào)________表示．②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù)，這時(shí)，正數(shù)的正的n次方根用符號(hào)________表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)________表示．正負(fù)兩個(gè)n次方根可以合寫(xiě)成________（a>0)．③（eq\r（n，a))n＝____。④當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),eq\r（n,an）＝｜a|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a，a≥0，,－a,a<0。）)⑤當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),eq\r（n，an）＝____。⑥負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指數(shù)冪（1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是＝________(a〉0,m,n∈N＊，n>1）．②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是＝____________＝______________(a〉0，m，n∈N*，n〉1)．③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是______，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義．(2）有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①aras＝________（a〉0，r，s∈Q)．②（ar）s＝________（a〉0，r，s∈Q）．③（ab)r＝________（a>0，b〉0，r∈Q)．3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a〉10<a<1圖象定義域(1)________值域（2)________性質(zhì)(3）過(guò)定點(diǎn)________（4)當(dāng)x>0時(shí)，______；當(dāng)x〈0時(shí)，______（5)當(dāng)x〉0時(shí)，________；當(dāng)x〈0時(shí)，______(6）在(－∞,＋∞)上是______（7）在（－∞，＋∞）上是______自我檢測(cè)1．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)a〈0時(shí)，＝a3；②eq\r(n，an)＝｜a｜；③函數(shù)y＝－(3x－7）0的定義域是（2，＋∞）；④若100a＝5,10b＝2，則2a＋bA．0 B．1 C．2 D．2．函數(shù)y＝（a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有A．a(chǎn)＝1或a＝2 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)>0且a≠13．如圖所示的曲線(xiàn)C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝ax，y＝bx,y＝cx，y＝dx的圖象，則a,b,c，d的大小關(guān)系是(）A．a(chǎn)<b〈1〈c〈dB．a(chǎn)〈b<1<d<cC．b〈a<1<c<dD．b<a<1〈d<c4．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2eq\r（2），則ab－a－b的值等于()A。eq\r（6) B．2或－2C．－2 D．25．（2011·六安模擬)函數(shù)f(x）＝ax－b的圖象如圖,其中a、b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)〉1,b<0B．a(chǎn)〉1，b>0C．0〈a<1，b〉0D．0<a<1，b<0

探究點(diǎn)一有理指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值例1已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的兩根，且a〈b，求：（1)eq\f（a－1＋b－1，ab－1)；÷eq\r（\r(3,a－8）·\r（3,a15）).變式遷移1化簡(jiǎn)（a、b>0）的結(jié)果是（）A.eq\f（b,a) B．a(chǎn)b C.eq\f(a，b） D．a(chǎn)2b探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2已知函數(shù)y＝(eq\f(1,3))｜x＋1|.（1）作出函數(shù)的圖象(簡(jiǎn)圖)；（2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；（3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)有最值，并求出最值．變式遷移2(2009·山東）函數(shù)y＝eq\f(ex＋e－x，ex－e－x)的圖象大致為（）探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1）在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14,求a的值．變式遷移3（2011·龍巖月考）已知函數(shù)f(x）＝(eq\f（1，2x－1)＋eq\f(1,2))x3。（1）求f（x）的定義域；（2）證明：f(－x)＝f（x)；(3)證明：f(x)>0.分類(lèi)討論思想的應(yīng)用例（12分）已知f(x）＝eq\f(a，a2－1）(ax－a－x）（a>0且a≠1）．(1)判斷f（x）的奇偶性；（2)討論f(x）的單調(diào)性;(3）當(dāng)x∈［－1，1]時(shí)f（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．【答題模板】解（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．又因?yàn)閒（－x）＝eq\f（a，a2－1）(a－x－ax）＝－f(x)，所以f(x）為奇函數(shù)．［3分］（2）當(dāng)a>1時(shí)，a2－1〉0，y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù),所以f（x）為增函數(shù)．［5分］當(dāng)0〈a〈1時(shí),a2－1<0，y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，從而y＝ax－a－x為減函數(shù)，所以f（x)為增函數(shù)．故當(dāng)a〉0,且a≠1時(shí)，f（x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．[7分］（3)由(2）知f（x）在R上是增函數(shù)，∴在區(qū)間[－1,1］上為增函數(shù)，∴f(－1）≤f（x）≤f（1),∴f（x)min＝f（－1)＝eq\f(a,a2－1)(a－1－a)＝eq\f（a,a2－1）·eq\f（1－a2,a）＝－1.[10分］∴要使f（x)≥b在［－1，1］上恒成立,則只需b≤－1，故b的取值范圍是（－∞，－1]．[12分]【突破思維障礙】本例第（2)(3)問(wèn)是難點(diǎn)，討論f(x）的單調(diào)性對(duì)參數(shù)a如何分類(lèi),分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)是思維障礙之一．【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在(2）中，函數(shù)的單調(diào)性既與ax－a－x有關(guān)，還與eq\f(a，a2－1）的符號(hào)有關(guān)，若沒(méi)考慮eq\f(a，a2－1)的符號(hào)就會(huì)出錯(cuò),另外分類(lèi)討論完，在表達(dá)單調(diào)性的結(jié)論時(shí),要綜合討論分類(lèi)的情況,如果沒(méi)有一個(gè)總結(jié)性的表達(dá)也要扣分，在表達(dá)時(shí)如果不呈現(xiàn)a的題設(shè)條件中的范圍也是錯(cuò)誤的．1．一般地，進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算，可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．2．比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大?。?．指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0〈c<d<1〈a〈b.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在y軸左側(cè),圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變?。患礋o(wú)論在y軸的左側(cè)還是右側(cè),底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蜃兇螅M(mǎn)分:75分)一、選擇題（每小題5分,共25分）1．函數(shù)y＝的值域是()A．[0，＋∞) B．［1,＋∞)C．（－∞,＋∞) D．［eq\r(2),＋∞)2．(2011·金華月考)函數(shù)y＝eq\f（xax,|x｜）(0<a〈1）的圖象的大致形狀是(）3．（2010·重慶）函數(shù)f（x）＝eq\f(4x＋1,2x）的圖象()A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)4．定義運(yùn)算ab＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(aa≤b，，ba〉b,)）則函數(shù)f（x）＝12x的圖象是(）5．若關(guān)于x的方程｜ax－1｜＝2a(a>0，a≠1）有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是A．(0,1）∪（1，＋∞) B．（0,1）C．(1，＋∞) D．(0，eq\f（1，2）)題號(hào)12345答案二、填空題（每小題4分，共12分)6．（2011·嘉興月考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－x＋3a,x〈0,，ax,x≥0))(a〉0且a≠1)是R上的減函數(shù),則a的取值范圍是________．7．（2010·江蘇）設(shè)函數(shù)f（x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________。8．若函數(shù)f（x)＝ax－1（a〉0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．三、解答題（共38分）9．(12分）（2011·衡陽(yáng)模擬）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x)＝eq\f（－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函數(shù)．（1）求a，b的值；(2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f(t2－2t）＋f(2t2－k）〈0恒成立,求k的取值范圍．10．（12分)(2010·北京豐臺(tái)區(qū)期末)已知函數(shù)f(x）＝3x，f(a＋2)＝18,g(x)＝λ·3ax－4x的定義域?yàn)閇0，1］．(1)求a的值．(2）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1］上是單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．11．（14分）（2011·東莞模擬）函數(shù)y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1］上y>0恒成立，求a的取值范圍．答案自主梳理1．(1)a的n次方根根式根指數(shù)被開(kāi)方數(shù)(2)①eq\r(n，a） ②eq\r(n，a)－eq\r（n,a）±eq\r（n,a）③a⑤a2.（1）①eq\r（n,am)②eq\f（1，\r(n,am））③0（2)①ar＋s②ars③arbr3.(1)R（2）(0，＋∞)（3）（0，1)（4）y〉10〈y〈1（5)0〈y〈1 y〉1（6）增函數(shù)(7）減函數(shù)自我檢測(cè)1．B［只有④正確．①中a<0時(shí),>0，a3〈0，所以≠a3；②中,n為奇數(shù)時(shí)且a〈0時(shí)，eq\r（n，an)＝a;③中定義域?yàn)閇2，eq\f（7，3）)∪(eq\f（7,3)，＋∞)．]2．C[∵y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù),∴a2－3a＋3＝1,解得a＝2或a＝1（舍去）3．D［y軸左、右的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蛟龃螅詂〉d>1，1〉a〉b〉0.］4．D[(ab－a－b）2＝(ab＋a－b）2－4＝4,∵a>1，b>0，∴ab>1，0<a－b<1，∴ab－a－b＝2。]5．D［由f（x)＝ax－b的圖象可以觀(guān)察出,函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減,所以0<a<1；函數(shù)f（x)＝ax－b的圖象是在f(x）＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的,所以b<0。］課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引1。指數(shù)冪的化簡(jiǎn)原則(1)化負(fù)數(shù)指數(shù)為正指數(shù)；（2）化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；（3）化小數(shù)為分?jǐn)?shù)．2．指數(shù)冪的化簡(jiǎn)結(jié)果要求為有關(guān)有理指數(shù)冪的化簡(jiǎn)結(jié)果不要同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不要既有分母又含有負(fù)指冪，即盡量化成與題目表示形式一致且統(tǒng)一的最簡(jiǎn)結(jié)果．解∵a,b是方程的兩根,而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝eq\f（1，9)，x2＝9，且a<b,故a＝eq\f（1，9）,b＝9，（1）化去負(fù)指數(shù)后求解．eq\f(a－1＋b－1，ab－1)＝eq\f(\f(1,a）＋\f(1,b)，\f(1,ab)）＝eq\f(\f（a＋b,ab),\f(1,ab))＝a＋b.∵a＝eq\f(1,9)，b＝9，∴a＋b＝eq\f（82，9），即原式＝eq\f（82,9）。（2)原式＝·÷（·)＝＝?！遖＝eq\f（1,9），∴原式＝3。變式遷移1C［原式＝＝＝ab－1＝eq\f(a，b)。］例2解題導(dǎo)引在作函數(shù)圖象時(shí),首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系,然后通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)或伸縮來(lái)完成．解（1）方法一由函數(shù)解析式可得y＝(eq\f（1，3))|x＋1｜＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x＋1，x≥－1，,3x＋1，x〈－1。））其圖象由兩部分組成：一部分是：y＝（eq\f（1,3))x(x≥0)eq\o（→,\s\up7（向左平移1個(gè)單位））y＝(eq\f(1,3)）x＋1(x≥－1）；另一部分是：y＝3x（x<0）eq\o（→，\s\up7(向左平移1個(gè)單位）)y＝3x＋1(x〈－1)．如圖所示．方法二①由y＝（eq\f（1,3)）|x｜可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故先作出y＝（eq\f(1,3））x的圖象，保留x≥0的部分,當(dāng)x<0時(shí)，其圖象是將y＝(eq\f（1,3)）x(x≥0）圖象關(guān)于y軸對(duì)折，從而得出y＝(eq\f(1,3)）|x|的圖象．②將y＝（eq\f(1,3））|x|向左移動(dòng)1個(gè)單位，即可得y＝（eq\f(1,3))|x＋1｜的圖象，如圖所示．（2)由圖象知函數(shù)在（－∞，－1]上是增函數(shù)，在[－1，＋∞)上是減函數(shù)．(3）由圖象知當(dāng)x＝－1時(shí)，有最大值1,無(wú)最小值．變式遷移2A［y＝eq\f（ex＋e－x,ex－e－x)＝1＋eq\f(2,e2x－1），當(dāng)x>0時(shí),e2x－1>0，且隨著x的增大而增大，故y＝1＋eq\f(2，e2x－1)〉1且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞）上恒大于1且單調(diào)遞減．又函數(shù)y是奇函數(shù),故只有A正確．]例3解題導(dǎo)引1。指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1）的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a〉1與0<a<1來(lái)研究．2．指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的初等函數(shù)的性質(zhì)可通過(guò)換元的方法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)或二次函數(shù)的性質(zhì)．解設(shè)t＝ax，則y＝f(t）＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.(1）當(dāng)a>1時(shí),t∈［a－1，a］，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，滿(mǎn)足a（2)當(dāng)0<a<1時(shí)，t∈［a，a－1]，∴ymax＝（a－1）2＋2a－1解得a＝eq\f（1,3），滿(mǎn)足0〈a〈1.故所求a的值為3或eq\f（1，3）.變式遷移3（1)解由2x－1≠0?x≠0,所以定義域?yàn)?－∞,0）∪(0，＋∞)．(2）證明f（x）＝(eq\f（1，2x－1）＋eq\f（1，2)）x3可化為f（x）＝eq\f（2x＋1,22x－1)·x3，則f(－x)＝eq\f(2－x＋1,22－x－1）(－x)3＝eq\f(2x＋1,22x－1)x3＝f(x），所以f(－x)＝f（x)．（3）證明當(dāng)x〉0時(shí),2x〉1,x3〉0,所以（eq\f(1，2x－1）＋eq\f（1，2))x3>0。因?yàn)閒（－x）＝f(x），所以當(dāng)x〈0時(shí)，f(x)＝f(－x）〉0.綜上所述，f（x)>0。課后練習(xí)區(qū)1．B［由y＝中eq\r（x）≥0，所以y＝≥20＝1，即函數(shù)的值域?yàn)閇1，＋∞)．］2．D[函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R，x≠0｝，且y＝eq\f（xax,｜x|）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（ax，x>0,－ax，x<0)）。當(dāng)x〉0時(shí)，函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)a滿(mǎn)足0〈a〈1，所以函數(shù)遞減；當(dāng)x〈0時(shí)，函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)遞增．］3．D［函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∵f（－x)＝eq\f（4－x＋1,2－x)＝eq\f(1＋4x,2x）＝f(x)，∴f(x）是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．]4．A[當(dāng)x<0時(shí)，0〈2x<1，此時(shí)f(x)＝2x；當(dāng)x≥0時(shí)，2x≥1，此時(shí)f(x)＝1.所以f(x）＝12x＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2xx〈0，,1x≥0。)）］5．D[方程｜ax－1｜＝2a有兩個(gè)不等實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1｜與函數(shù)y＝2a有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出函數(shù)y＝｜ax－1|的圖象，從圖象觀(guān)察可知只有0〈2a〈1時(shí)，符合題意,即0<a<eq\f(1,2）。]6．[eq\f（1,3)，1）解析據(jù)單調(diào)性定義，f(x)為減函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0〈a<1，,3a≥a0，）)即eq\f（1,3)≤a〈1。7．－1解析設(shè)g(x）＝ex＋ae－x，則f（x）＝xg（x)是偶函數(shù)．∴g（x)＝ex＋ae－x是奇函數(shù)．∴g（0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1。8.eq\r（3）解析當(dāng)a〉1時(shí),f（2)＝2，∴a2－1＝2，a＝eq\r(3)，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；當(dāng)0<a〈1時(shí)，f(0)＝2，即1－1＝2,無(wú)解．∴a＝eq\r(3)。9．解(1）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）＝0，即eq\f(－1＋b，2＋a)＝0，解得b＝1，…………………(2分）從而有f（x）＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1）＝－f（－1)知eq\f(－2＋1,4＋a）＝－eq\f(－\f(1，2)＋1，1＋a),解得a＝2.經(jīng)檢驗(yàn)a＝2適合題意,∴所求a、b的值分別為2、1?！?分)（2)由（1)知f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋2）＝－eq\f(1，2）＋eq\f（1,2x＋1）。由上式易知f（x)在(－∞,＋∞)上為減函數(shù)．…………（6分)又因f(x）是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)<－f（2t2－k)＝f（－2t2＋k)．……………（8分)因?yàn)閒（x）是減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即對(duì)一切t∈R有3t2－2t－