高三北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪課時檢測 1.3 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞一、選擇題1．已知命題p：函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））x－logeq\f(1，3)x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f（1，3))）內(nèi)存在零點，命題q:存在負(fù)數(shù)x使得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)))x>eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)））x.給出下列四個命題:①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定．其中真命題的個數(shù)是（）A．1B．2C．3解析命題p為假命題，命題q也為假命題．利用真值表判斷．答案B2.已知命題p：存在n∈N，2n〉1000，則非p為（)A．任意n∈N，2n≤1000 B．任意n∈N，2n〉1000C．存在n∈N,2n≤1000 D．存在n∈N,2n<1000解析:特稱命題的否定是全稱命題，即p：存在x∈M,p（x)，則非p：任意x∈M,非p（x）．答案:A3．a(chǎn)x2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)的實根的充要條件是（）．A．0＜a≤1B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤1D．0＜a≤1或a＜0解析(篩選法）當(dāng)a＝0時，原方程有一個負(fù)的實根，可以排除A、D；當(dāng)a＝1時，原方程有兩個相等的負(fù)實根，可以排除B，故選C.答案C4．已知p:x2－2x－3≥0,q：x∈Z.若p且q,非q同時為假命題，則滿足條件的x的集合為（)A．{x|x≤－1或x≥3，x?Z｝B．｛x|－1≤x≤3，x∈Z｝C．{x｜x＜－1或x〉3，x?Z｝D．｛x|－1＜x＜3，x∈Z｝解析p:x≥3或x≤－1，q：x∈Z,則由p且q，非q同時為假命題知,p假q真，所以x滿足－1<x〈3且x∈Z，故滿足條件的集合為{x|－1<x〈3，x∈Z｝．答案D5．已知下列命題:①命題“存在x∈R，x2＋1>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋1<3x”；②已知p、q為兩個命題,若“p或q”為假命題，則“非p且非q為真命題”;③“a>2”是“a〉5”的充分不必要條件；④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號是()A．①②③ B．②④C．② D．④解析：命題“存在x∈R，x2＋1〉3x”的否定是“任意x∈R,x2＋1≤3x”，故①錯；“p或q”為假命題說明p和q都假，則非p且非q為真命題，故②對;a〉5?a〉2，但a>2eq\a\vs4\al(?/）a〉5，故“a〉2"是“a〉5”的必要不充分條件，故③錯；“若xy＝0，則x＝0且y＝0”為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯．答案：C6．下列命題錯誤的是(）．A．命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根"的逆否命題為:“若方程x2＋x－m＝0無實數(shù)根，則m≤0”B．“x＝1"是“x2－3x＋2＝0"的充分不必要條件C．若p且q為假命題,則p，q均為假命題D．對于命題p:存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0，則非p：任意x∈R,均有x2＋x＋1≥0解析依次判斷各選項，易知只有C是錯誤的,因為用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)的兩個命題中，只要一個為假整個命題為假．答案C7．已知p：存在x∈R，mx2＋2≤0.q：任意x∈R,x2－2mx＋1＞0，若p或q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是(）．A．［1，＋∞) B．(－∞，－1]C．（－∞，－2] D．［－1，1]解析(直接法）∵p或q為假命題,∴p和q都是假命題．由p：存在x∈R,mx2＋2≤0為假,得任意x∈R，mx2＋2＞0,∴m≥0。①由q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0為假，得存在x∈R，x2－2mx＋1≤0，∴Δ＝（－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1。由①和②得m≥1。答案A【點評】本題采用直接法,就是通過題設(shè)條件解出所求的結(jié)果，多數(shù)選擇題和填空題都要用該方法,是解題中最常用的一種方法。二、填空題8．用含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題表示命題“xy＝0”的否定是________．解析方法1：記命題p1：x＝0，p2：y＝0,則命題xy＝0即命題p1∨p2，其否定是(非p1)且（非p2),非p1:x≠0，非p2：y≠0，故命題xy＝0的否定是“x≠0且y≠0”．方法2：xy＝0的否定即xy≠0，即“x≠0且y≠0”．答案x≠0且y≠09．已知命題p：f(x）＝eq\f(1－2m，x)在區(qū)間（0，＋∞）上是減函數(shù);命題q：不等式(x－1）2>m的解集為R。若命題“p或q”為真，命題“p且q"為假，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析由f(x)＝eq\f（1－2m,x）在區(qū)間（0，＋∞）上是減函數(shù)，得1－2m>0，即m<eq\f(1,2），由不等式(x－1）2〉m的解集為R，得m<0.要保證命題“p∨q”為真，命題“p且q”為假，則需要兩個命題中只有一個正確，而另一個不正確，故0≤m<eq\f(1，2）.答案0≤m<eq\f（1，2）10．令p（x)：ax2＋2x＋a＞0，若對任意x∈R，p（x）是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析∵對任意x∈R,p(x)是真命題．∴對任意x∈R,ax2＋2x＋a＞0恒成立，當(dāng)a＝0時，不等式為2x＞0不恒成立，當(dāng)a≠0時，若不等式恒成立,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，Δ＝4－4a2＜0，))∴a＞1。答案a＞111．命題“對任意x〉1，x2>1"的否定是________．解析:這是一個全稱命題，其否定是“存在x0>1，使得xeq\o\al（2,0)≤1"．答案：存在x0>1，使得xeq\o\al(2,0)≤112．已知命題“任意x∈R，x2－5x＋eq\f(15，2)a＞0”的否定為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是________．解析由“任意x∈R，x2－5x＋eq\f（15，2)a＞0”的否定為假命題，可知命題“任意x∈R,x2－5x＋eq\f（15，2）a＞0”必為真命題,即不等式x2－5x＋eq\f（15,2)a＞0對任意實數(shù)x恒成立．設(shè)f（x)＝x2－5x＋eq\f（15，2）a，則其圖像恒在x軸的上方．故Δ＝25－4×eq\f（15,2)a＜0,解得a＞eq\f（5，6)，即實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5,6），＋∞）).答案eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5，6），＋∞）)三、解答題13．設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在區(qū)間［－1，1]上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)y＝ln(x2＋ax＋1）的值域是R.如果命題p或q為真命題,p且q為假命題，求a的取值范圍．解析p為真命題?f′(x)＝3x2－a≤0在［－1，1]上恒成立?a≥3x2在[－1，1］上恒成立?a≥3。q為真命題?Δ＝a2－4≥0恒成立?a≤－2或a≥2。由題意p和q有且只有一個是真命題．p真q假?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a≥3,,－2<a〈2）)?a∈?；p假q真?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a〈3，，a≤－2或a≥2)）?a≤－2或2≤a〈3.綜上所述：a∈(－∞,－2]∪［2，3)．14．寫出下列命題的否定，并判斷真假：(1）存在一個三角形是正三角形；（2）至少存在一個實數(shù)x0使xeq\o\al（2,0)－2x0－3＝0成立；(3)正數(shù)的對數(shù)不全是正數(shù)．解析（1）任意的三角形都不是正三角形,假命題；（2)對任意實數(shù)x都有x2－2x－3≠0，假命題；（3)正數(shù)的對數(shù)都是正數(shù)，假命題．15．已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負(fù)實根，命題q：方程4x2＋4（m－2)x＋1＝0無實根．若p或q為真，p且q為假,求實數(shù)m的取值范圍．解析由已知得：p，q中有且僅有一個為真，一個為假．命題p為真?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(Δ〉0,,x1＋x2＝－m〈0，?m〉2.,x1x2＝1>0）)命題q為真?Δ〈0?1〈m<3。(1）若p假q真，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m≤2,，1〈m<3）)?1<m≤2；（2）若p真q假，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m〉2，,m≤1或m≥3))?m≥3.綜上所述：m∈(1，2]∪［3，＋∞)．16．已知c＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)．命題q：當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（1,2），2))時，函數(shù)f（x)＝x＋eq\f(1，x)＞eq\f（1,c）恒成立．如果p或q為真命題,p且q為假命題．求c的取值范圍．解析由命題p知：0＜c＜1.由命題q知:2≤x＋eq\f（1，x