北京市門頭溝區(qū)市級名校2023年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

北京市門頭溝區(qū)市級名校2023年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下面三種說法中，正確說法的個數(shù)為（）①如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；②兩條直線可以確定一個平面；③若，，，則A.1 B.2C.3 D.02．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.3．若橢圓的弦恰好被點平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.4．如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，中點，在線段上，則與平面的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點的位置而定5．已知函數(shù)，在上隨機任取一個數(shù)，則的概率為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，的C的離心率為（）A. B.C.2 D.7．一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個，現(xiàn)從中選出一個球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件8．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞9．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于10．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個充分條件是（）A. B.C. D.11．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.12．已知三維數(shù)組，，且，則實數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，若，則S＝________.14．兩姐妹同時推銷某一商品，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，則的值為______.15．已知向量，若，則實數(shù)___________.16．若，則___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右兩個焦點，，離心率，短軸長為21求橢圓的方程；2如圖，點A為橢圓上一動點非長軸端點，的延長線與橢圓交于B點，AO的延長線與橢圓交于C點，求面積的最大值18．（12分）某車間打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一個易損零件，在購買設(shè)備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個100元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個300元.在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個數(shù)的分布列為567.表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，代表購買2臺設(shè)備的同時購買易損零件的個數(shù).（1）求的分布列；（2）以購買易損零件所需費用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應(yīng)選哪一個？19．（12分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，證明，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時.求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范圍.22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】對于①，有兩種情況，對于②考慮異面直線，對于③根據(jù)線面公理可判斷.【詳解】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，故①不正確；兩條異面直線不能確定一個平面，故②不正確；若，，，可知必在交線上，則，故③正確；綜上所述只有一個說法是正確的.故選：A2、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關(guān)于、、的表達式.【詳解】.故選：D.3、D【解析】判斷點M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點差法求出直線AB的斜率即可計算作答.【詳解】顯然點橢圓內(nèi)，設(shè)點，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D4、B【解析】構(gòu)造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【詳解】連接，，.因為在直三棱柱中，M，N分別是，AB的中點，所以∥.因為平面內(nèi)，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因為，平面，平面，所以平面∥平面.又因為P點在線段上，所以∥平面.故選：B.5、A【解析】先解不等式，然后由區(qū)間長度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A6、C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程，根據(jù)直線和圓相交弦長可得圓心到直線的距離，進而可得，結(jié)合，可得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，被圓所截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，，解得，故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點到直線距離等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.7、A【解析】根據(jù)事件的關(guān)系進行判斷即可.【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對立事件.故選：A.【點睛】本題考查事件關(guān)系的判斷，考查互斥事件和對立事件概率的理解，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結(jié)合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.9、D【解析】由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論10、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進行和兩項關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個充分條件為，.故選：D.11、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A12、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1007【解析】可證f（x）+f（1﹣x）＝1，由倒序相加法可得所求為1007對的組合，即1007個1，可得答案【詳解】解：∵函數(shù)f（x），∴f（x）+f（1﹣x）1故可得S＝f（）+f（）…+f（）＝1007×1＝1007,故答案為：1007點睛】本題考查倒序相加法求和，推斷出f（x）+f（1﹣x）＝1是解題的關(guān)鍵.14、13【解析】先根據(jù)妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，求得y,進而得到其眾數(shù)，然后再根據(jù)姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，得到姐姐的銷售量的中位數(shù).【詳解】因為妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷售量的眾數(shù)是14，因為姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，所以姐姐的銷售量的中位數(shù)是16，所以，解得，所以，故答案為：1315、2【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因為向量，且，所以，解得：2故答案為：216、##0.5【解析】導(dǎo)數(shù)的定義公式的變形應(yīng)用，要求分子分母的變化量相同.【詳解】故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）面積的最大值為【解析】（1）由題意得，再由，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，不妨??；②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，又直線的距離點到直線的距離為面積的最大值為.試題解析：（1）由題意得，解得，∵，∴，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨取，故；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得，設(shè)點到直線的距離因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，∴綜上，面積的最大值為.【點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點到直線的距離、弦長公式和三角形面積公式等知識，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，并考查運算求解能力和邏輯推理能力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）利用分類與整合思想分當(dāng)?shù)男甭什淮嬖谂c存在兩種情況求解，在斜率存在時，由舍而不求法求得，再求得點到直線的距離為面積的最大值為.18、（1）答案見解析；（2）應(yīng)選擇.【解析】(1)由每臺設(shè)備需更換零件個數(shù)的分布列求出的所有可能值，并求出對應(yīng)的概率即可得解.(2)分別求出和時購買零件所需費用的期望，比較大小即可作答.【小問1詳解】的可能取值為10，11，12，13，14，，，，，，則的分布列為：10111213140.090.30.370.20.04【小問2詳解】記為當(dāng)時購買零件所需費用，，，，，元，記為當(dāng)時購買零件所需費用，，，，元，顯然，所以應(yīng)選擇.19、（1）證明見解析：（2）【解析】(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存在兩個極值點,則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點即可.【詳解】(1)證明：當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,則,又因為,所以當(dāng)時,,僅時,,所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.(2),因為,所以,①當(dāng)時,恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點.②當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,因為.當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點.當(dāng)時,,所以存在,使當(dāng)時,時,所以在處取得極小值,為極小值點.綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點,則實數(shù).【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值,進而證明不等式的方法.同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)極值點的問題,需要結(jié)合零點存在定理求解.屬于難題.20、【解析】甲、乙兩人所付費用相同即為、、，求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付費用相同的概率；【詳解】兩人所付費用相同，相同費用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為，兩人都付40元的概率為，兩人都付80元的概率為，故兩人所付費用相同的概率為.21、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結(jié)果；（2）二