關于變換群的教學

關于變換群的教學

1以科學探究的視角,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識一些數(shù)學教材的編寫通常以以下方式進行：定義、論證、證明、實例，然后引入新的規(guī)則，并給出新的證明。雖然這種組織方法可以清楚地組織相關理論，但過程的形成過程與知識的實際形成過程是不一致的。知識的產(chǎn)生往往是這樣一個過程：從一個新問題開始，建立新的概念，通過、類比、總結、預測和驗證，并得到建議和嚴格證明。因此，按教材順序進行教育是違反知識“龍”的真實面目的，與學生的認知規(guī)律不一致。學生學習后，他們總是不知道自己的原因。知識的積累會增加，創(chuàng)新的能力就會提高。作為一名教師,應該選取典型的教學內(nèi)容,沿著知識探究的過程即形成問題、建立假設、設計方案、檢驗假設、表達交流、問題深化,模擬科學探究的過程,滲透科學探究的精神,開展探究教學,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力.本文結合近世代數(shù)中變換群的教學,給出一個具體的案例.2搜索過程2.1旋轉角的一個旋轉近世代數(shù)的主要內(nèi)容是研究所謂的代數(shù)系統(tǒng),即帶有運算的集合.我們曾研究了(Z,+)這個代數(shù)系統(tǒng),知道Z對于“+”構成一個群,這個群中的元素就是我們所熟悉的數(shù),其中的運算就是我們所熟悉的加法.事實上,一個集合中的元素不一定都是數(shù),其元素間的運算也未必像加法運算那樣.比如:A={平面上所有點作成的集合},在平面上取一定點,讓平面繞該定點旋轉一個角θ,得到一個新的平面,這個平面上的點和原平面上的點可以建立一個對應關系,記為Tθ,令S={Tθ},則S中的元素就不再是通常的數(shù)了,而是一種抽象的“元素”,此處即為轉θ角的一個旋轉.一般來說,令A是一個集合,τ是A的一個變換,即A到A的一個映射例如A1={1,2},則A的變換有這是A的所有4個變換,記為:S1={τ1,τ2,τ3,τ4}.對于一個一般的集合A它的變換可能很多,把集合A的全體變換放在一起,構成一個集合我們得到了一個比較抽象的集合,這個集合中的元素都是一些變換,本質(zhì)上就是一些映射.近世代數(shù)是研究代數(shù)系統(tǒng)的,運算是一個代數(shù)系統(tǒng)的靈魂,看來,我們需要引入(定義)一個運算.S中的元素是一些映射,聯(lián)想到我們在數(shù)學分析中學過的內(nèi)容,對于映射,我們可以從映射的復合出發(fā)引導學生將S中的運算定義為映射的復合.即則它顯然是A的一個變換.這樣,S中定義了一個叫做乘法的運算,其本質(zhì)為映射的復合.2.2建立假設于是,S對于定義的乘法構成了一個代數(shù)系統(tǒng).我們對這個代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部關系很感興趣,也就是要看一看,S對于映射的復合能否構成一個群.2.3逆元、在一人之交加一個群(1)封閉性易于得到.(2)結合律本質(zhì)上是一個映射的復合問題.對于τ,λ,μ三個變換,有引導:所謂單位元,就是這樣一個變換I,使得,有τI=Iτ=τ,τI:a→I(τ(a)),Iτ:a→τ(I(a)).欲使τI=τ,即使I(τ(a))=τ(a).我們可以看出,在I的映射下,T(a)仍然對應τ(a)(由IT=τ我們可以看出,τ(I(a))=τ(a),τ使I(a)對應τ(a).這對于我們猜測I提供不了更多的幫助.)也就是說:I使一個元素仍對應它本身,不妨引導大家看例1,有這樣一個I么?這個I是我們所要的單位元么?猜測:I:a→a,這個變換好像是一個單位元.驗證:引導學生檢驗這一猜測.問題:稱I為單位元是不是早了一點,因為我們還沒有驗證S對于乘法構成了一個群,但是由群中單位元的惟一性可以肯定,如果S對于乘法構成一個群的話,I一定是它的單位元.(4)逆元.例子引導:找逆元就是找一個變換τ-1,使ττ-1=τ-1τ=I.如果說找一個單位元還比較容易的話(因為單位元是惟一的),那么為每一個元具體地找出逆元要相對困難得多了.我們看一看能否為例1中的元找出逆元.學生甲、乙:為τ3,τ4找到了逆元.學生丙:τ1好像找不到逆元,因為結論:S對于定義的乘法不能作成一個群.反駁.學生丁:S為什么不能作成一個群?(有些元沒有逆元,看來S太大了,可以說里面良莠并存了,S的范圍必須縮小.)如果把所有有逆元的元放在一起呢?猜測:所有有逆元的元放在一起可能構成一個群.S′={所有有逆元的元}.問題:哪些元才能有逆元呢?也就是哪些變換才有逆變換,使得這兩個變換的積為一個恒等變換.反駁.學生戊:不是單射的變換沒有逆變換.設τ1不是單射,則有所以:τ1τ≠I.反駁.學生己:不是滿射的變換沒有逆變換.設:τ1:a→b,a∈A沒有原象(即τ1不是滿射).則,有因而ττ1≠I.猜測.學生庚:一一變換才有逆變換.(5)新的猜測(新的命題):s′={所有一一變換},S′對于變換的乘法構成一個群.引導:結合律、單位元、逆元這三條容易驗證,只須驗證封閉性,即一一變換的積仍是一一變換.2.4表達感情定理:集合A的所有一一變換作成一個變換群.學生把上述探究過程中的思考、驗證整理一下,即形成了對該定理的證明.2.5s中一個群的研究得到以上基本結論后,提出以下問題可供學生思考.(1)對于以上定義的變換的乘法,能否給出另外一個定義.(2)S′是集合A的所有一一變換,相對于規(guī)定的乘法運算構成一個群,S′太大了,能否將其變小,仍然可以構成一個群.我們直觀地感覺到應該有,比如由恒等變換可構成一個群.這又太小了,能否再大一點,能否舉一個例子(如平面旋轉運動所構成的變換群).(3)近世代數(shù)中,研究一個對象可粗分為兩種方法:一種方法是研究此對象的內(nèi)部關系,另一種是把