關(guān)于帶元素a的帶帶輔助陪集

關(guān)于帶元素a的帶帶輔助陪集

1右待集的性質(zhì)設(shè)置g是h的一組，hg，ag。a組的左一組ah和右組ha被稱為h組的側(cè)面組。性質(zhì)1設(shè)G是一個群,H≤G,a,b,c∈G,則1)若cH=bH,則有acH=abH;2)若Hc=Hb,則有Hca=Hba;3)若cH=bH,則cHa=bHa;4)(ab)H=a(bH)=abH.證1)任取ach∈acH,由于cH=bH,所以ch=bh1,因此ach=abh1∈abH,故acH?abH.同理可得,abH?acH,因此acH=abH.類似可以證明2)、3)、4).性質(zhì)2設(shè)G是一個群,H≤G,e是G的單位元,a,b,c是G中任意元素,則以下30個命題等價:1)aH=bH,2)H=a-1bH,3)H=b-1aH,4)a-1b∈H,5)b-1a∈H,6)a∈bH,7)b∈aH,8)e∈a-1bH,9)e∈b-1aH,10)aH?bH,11)bH?aH,12)aH∩bH≠?,13)a∈aH∩bH,14)b∈aH∩bH,15)H=Ha-1b,16)H=Hb-1a,17)Ha-1=Hb-1,18)a-1∈Hb-1,19)b-1∈Ha-1,20)e∈Ha-1b,21)e∈Hb-1a,22)Ha-1?Hb-1,23)Hb-1?Ha-1,24)Ha-1∩Hb-1≠?25)a-1∈Ha-1∩Hb-1,26)b-1∈Ha-1∩Hb-1,27)caH=cbH,28)Ha-1c=Hb-1c,29)aHc=bHc,30)cHa-1=cHb-1.性質(zhì)3設(shè)G是一個群,H≤G,則對于任意a∈G,Ha-1恰由aH中的每個元素的逆元組成.即有:Ha-1={x-1|x∈aH}.證設(shè)A={x-1|x∈aH},任取ha-1∈Ha-1,其中h∈H,因?yàn)閔a-1=(ah-1)-1,且ah-1∈aH,所以(ah-1)-1∈A,故ha-1∈A,因此Ha-1?A.又任取x-1∈A,其中x∈aH,則x=ah1,所以x-1=(ah1)-1=h1-1a-1∈Ha-1,因此A?Ha-1,所以Ha-1=A={x-1|x∈aH}.類似性質(zhì)2,我們可以得出關(guān)于右陪集相等的如下性質(zhì).性質(zhì)4設(shè)G是一個群,H≤G,e是G的單位元,a,b,c是G中任意元素,則以下30個命題等價:1)Ha=Hb,2)H=Hba-1,3)H=Hab-1,4)ab-1∈H,5)ba-1∈H,6)a∈Hb,7)b∈Ha,8)e∈Hba-1,9)e∈Hab-1,10)Ha?Hb,11)Hb?Ha,12)Ha∩Hb≠?,13)a∈Ha∩Hb,14)b∈Ha∩Hb,15)H=ab-1H,16)H=ba-1H,17)a-1H=b-1H,18)a-1∈b-1H,19)b-1∈a-1H,20)e∈ab-1H,21)e∈ba-1H,22)a-1H?b-1H,23)b-1H?a-1H,24)a-1H∩b-1H≠?25)a-1∈a-1H∩b-1H,26)b-1∈a-1H∩b-1H,27)Hac=Hbc,28)ca-1H=cb-1H,29)cHa=cHb,30)a-1Hc=b-1Hc.2ahbg的表征定義1設(shè)G是一個群,H≤G,a,b∈G,稱G的子集aHb={axb|x∈H}為群G關(guān)于H的一個雙側(cè)陪集.由定義可知,ab∈aHb.性質(zhì)5雙側(cè)陪集b-1Ha-1恰由雙側(cè)陪集aHb中每個元素的逆元組成,即:b-1Ha-1={x-1|x∈aHb}.證設(shè)A={x-1|x∈aHb},對于任意b-1ha-1∈b-1Ha-1,其中h∈H,由于b-1ha-1=(ah-1b)-1,且ah-1b∈aHb,所以b-1ha-1∈A,從而b-1Ha-1?A;又任取x-1∈A,其中x∈aHb,設(shè)x=ahb,則x-1=(ahb)-1=b-1h-1a-1∈b-1Ha-1,所以A?b-1Ha-1,因此b-1Ha-1=A={x-1|x∈aHb}.性質(zhì)6設(shè)G是群,H≤G,則對于任意a∈G,都有aHa-1≤G.證因?yàn)閑=aea-1∈aHa-1,所以aHa-1≠?;又對任意ah1a-1、ah2a-1∈aHa-1,都有(ah1a-1)(ah2a-1)=ah1h2a-1∈aHa-1,(ah1a-1)-1=ah1-1a-1∈aHa-1,因此aHa-1≤G.性質(zhì)7設(shè)G是一個群,H≤G,則aHb≤G?b-1Ha-1≤G.證必要性:設(shè)aHb≤G,則e∈aHb,因此e=ahb,a-1=hb∈Hb,所以Ha-1=Hb,從而有b-1Ha-1=b-1Hb,由性質(zhì)2知,b-1Hb≤G,所以b-1Ha-1≤G.充分性:若b-1Ha-1≤G,則e∈b-1Ha-1,因此e=b-1ha-1,b=ha-1∈Ha-1,所以Hb=Ha-1,從而有aHb=aHa-1,由性質(zhì)2知,a-1Ha≤G,所以aHb≤G.性質(zhì)8設(shè)G是一個群,H≤G,a,b,c∈G,1)若aHb=H,則有aH=Hb-1;2)若Hc=Hb,則有Hca=Hba;3)若cH=bH,則cHa=bHa;4)(ab