半群的極大逆子半群

半群的極大逆子半群

在半組研究中，對半組大子半組的結(jié)構(gòu)和分類一直是一個非?；钴S的主題之一。自20世紀(jì)70年代以來，許多科學(xué)家研究了具有特定性質(zhì)的半組的大子半組[1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11]。在文獻(xiàn)中，我們得到了有限組變換組和部分組變換組的所有理想的最大組轉(zhuǎn)換組。在文獻(xiàn)中，偉大的逆子半群的特征是有限保護(hù)序列的嚴(yán)格部分。在這項工作中，我們進(jìn)一步研究了oin的理想逆子半群結(jié)構(gòu)。最近，文獻(xiàn)中得到了由各種保護(hù)序列（反保護(hù)序列）變換半組的結(jié)構(gòu)和一般正子半組的結(jié)構(gòu)。設(shè)Xn={1,2,…,n}并賦予自然序,Pn是Xn上的部分變換半群.對α∈Pn,若對任意x,y∈dom(α),x≤y可推出xα≤yα(xα≥yα),則稱α是保序的(反保序的).設(shè)POn和PODn分別為Pn中的所有保序變換之集和所有保序(反保序)變換之集,則POn和PODn是Pn的子半群,稱POn和PODn分別為部分保序變換半群和部分保序(反保序)變換半群.在半群PODn中的Green關(guān)系刻畫為:對任意α,β∈PODn,αLβ當(dāng)且僅當(dāng)im(α)=im(β),αRβ當(dāng)且僅當(dāng)ker(α)=ker(β),αDβ當(dāng)且僅當(dāng)|im(α)|=|im(β)|,D=J.設(shè)J0為空變換所構(gòu)成的集合.對1≤r≤n,記Jr={α∈PODn:|im(α)|=r},則PODn有n+1個J-類:J0,J1,…,Jn.令I(lǐng)r={α∈PODn:|im(α)|≤r},則Ιr=r∪i=0JiIr=∪i=0rJi,且I0?I1?…?In-1?In=PODn為理想鏈.PODn的每一個主因子是一個Rees商半群Ir/Ir-1,記為Qr.為方便起見,可把Qr看成Jr∪{0},即Qr=Jr∪{0},其乘法定義為:如果αβ∈Jr,α·β=αβ;否則,α·β=0.Qr對乘法作成一個完全0-單半群.關(guān)于完全0-單半群,有下述兩個熟知的事實(shí):引理1設(shè)x,y是完全0-單半群中兩個非零元,則xy≠0當(dāng)且僅當(dāng)Lx∩Ry中含有冪等元.此時,xy∈Ly∩Rx.引理2設(shè)S是一個完全0-單半群,x,y是完全0-單半群中的兩個非零元,則當(dāng)Lx∩Ry中含有冪等元時,xRy=Rx,Lxy=Ly,LxRy=S;否則,xRy=Lxy=LxRy={0}.定義1對2≤r≤n-1,設(shè)S是半群Ir的子半群,若S滿足:1)S是Ir的正則子半群;2)若T是Ir的正則子半群,且S?T,則T=Ir.則稱S是Ir的極大正則子半群.引理3設(shè)1≤r≤n-1,Ir是PODn的理想,則Ir是正則的.證據(jù)文獻(xiàn)知,PODn是正則半群.下證Ir也是正則的,設(shè)x∈Ir,則由PODn的正則性可得,存在y∈PODn,使得x=xyx且y=yxy,于是由x∈Ir及Ir是理想可得,y=yxy∈Ir,從而y是x在Ir中的逆元.因此Ir是正則的.引理4設(shè)2≤r≤n-1,α∈Jr,則|E(Lα)|≥2且|E(Rα)|≥1.證設(shè)α=(A1A2?Ara1a2?ar)α=(A1a1A2a2??Arar)其中a1<a2<…<ar.令B1={1,…,a1},Bi={ai-1+1,…,ai}(i=2,…,r-1),Br={ar,…,n},xi=maxAi(i∈{1,2,…,r}).設(shè)e=(B1?Bra1?ar)?f=(aiai)?g=(Aixi)(i=1?2???r).則e,f,g∈E(Jr).由im(e)=im(f)=im(α),ker(g)=ker(α)可得:eLfLαRg.因此,|E(Lα)|≥2且|E(Rα)|≥1.引理5設(shè)2≤r≤n-1,α∈Jr,則存在α的逆元α1,α2,使得(α1,α2)?R且α1,α2∈Jr.證由引理4可知,|E(Rα)|≥1且|E(Lα)|≥2.設(shè)e1,e2∈E(Lα),e1≠e2,f∈E(Rα),則(e1,e2)?R(否則,e1,e2∈Hα,與每個H-類至多包含一個冪等元矛盾(見文獻(xiàn)的推論2.2.6)).注意到eiLαRf(i=1,2),由文獻(xiàn)的定理2.18可得,Re1∩Lf和Re2∩Lf都包含α的逆元.不妨分別設(shè)為α1,α2,則eiRαi(i=1,2),從而(α1,α2)?R.由αiReiLα可知,αiJα,從而|im(αi)|=|im(α)|=r.因此αi∈Jr.引理6設(shè)2≤r≤n-1,α∈Jr,則Aα=Ir-1∪(Jr\Rα)是Ir的極大正則子半群.證首先,證明Aα是Ir的子半群.由引理1知,對任意β,γ∈Jr\Rα,有βγRβ或βγ∈Ir-1.因此,Aα是Ir的子半群.其次,證明Aα是Ir的正則子半群.任意取β∈Aα.(i)β∈Ir-1,由引理3知,Ir-1是正則的,于是Ir-1中存在β的逆元,從而β在Aα中存在逆元;(ii)β∈Jr\Rα,則由引理5知,存在β的逆元β1,β2,使得(β1,β2)?R且β1,β2∈Jr,從而β1,β2中至少有一個屬于Aα.因此β是正則的.Aα是Ir的正則子半群得證.最后,證明Aα是極大正則子半群.設(shè)T是Ir的正則子半群且Aα?T,任意取β∈T\Aα,則β∈Rα.由引理4知,|E(Lβ)|≥2,于是存在e∈E(Jr)∩Lβ,使得e?Rα,從而Re?Aα?T.由引理2可得,Rα=Rβ=βRe?T.因此,T=Ir.至此引理6得證.設(shè)PDn為Pn中的所有反保序變換之集.顯然PODn=POn∪PDn.對0≤r≤n,設(shè)ΙΡΟnr=Ιr∩ΡΟnJΡΟnr=Jr∩ΡΟnΙΡDnr=Ιr∩ΡDnJΡDnr=Jr∩ΡDn則Ir=IΡΟnr∪IΡDnr且Jr=JΡΟnr∪JΡDnr.注1據(jù)文獻(xiàn)知,關(guān)于半群PODn有如下事實(shí):1)J0=JΡΟn0,J1=JΡΟn1;2)對任意α∈PODn有|Hα|=2,此時,|POn∩Hα|=|PDn∩Hα|=1;3)對任意α,β∈PODn,如果α∈POn,β∈PDn,則αβ∈PDn;4)E(POn)=E(PODn).由4)易得,E(IΡΟnr)=E(Ir)且E(JΡΟnr)=E(Jr).引理7設(shè)2≤r≤n-1,對任意γ∈JΡDnr,有Jr?〈E(Jr)∪{γ}〉.證由引理4知,|E(Lγ)|≥2且|E(Rγ)|≥1.由E(JΡΟnr)=E(Jr)知γ?E(Jr),取e∈E(Jr)∩Lγ,f∈E(Jr)∩Rγ,則e≠f.設(shè)β∈Re∩Lf∩POn,則由引理1可得,βγ∈Rβ∩Lγ且γβ∈Lγ∩Rβ(因為f∈Rγ∩Lβ且e∈Lγ∩Rβ).由注1及β∈POn,γ∈PDn可得,βγ,γβ∈JΡDnr.因為e∈E(Jr)∩Lγ∩Rβ,f∈E(Jr)∩Rγ∩Lβ且Rβ∩POn?JΡΟnr,Lβ∩POn?JΡΟnr,由引理2可得Rγ=γRβLγ=LβγLβ=Lγβ從而由注1及文獻(xiàn)的定理3.2可得,Rγ∩ΡDn=γ(Rβ∩ΡΟn)?γΙΡΟnr?γ?E(JΡΟnr)???E(Jr)∪{γ}?(1)Lγ∩ΡDn=(Lβ∩ΡΟn)γ?ΙΡΟnrγ??E(JΡΟnr)?γ??E(Jr)∪{γ}?Lβ∩ΡDn=(Lγ∩ΡDn)β??E(Jr)∪{γ}??E(Jr)???E(Jr)∪{γ}?(2)再由注1及文獻(xiàn)的定理3.2有Rγ∩ΡΟn?ΙΡΟnr??E(Jr)???E(Jr)∪{γ}?Lβ∩ΡΟn?ΙΡΟnr??E(Jr)???E(Jr)∪{γ}?(3)注意到Rγ=(Rγ∩PDn)∪(Rγ∩POn),Lβ=(Lβ∩PDn)∪(Lβ∩POn).由(1),(2),(3)式可得,RγLβ?〈E(Jr)∪{γ}〉.注意到e∈E(Jr)∩Lγ∩Rβ,再由引理2可得Jr=RγLβ?〈E(Jr)∪{γ}〉.引理8設(shè)2≤r≤n-1,S是Ir的子半群且Jr?S,則S=Ir.證由Jr?S可知,E(Jr)?S,從而由注1及文獻(xiàn)的定理3.2可得ΙΡΟnr=?E(Jr)??S(4)進(jìn)而,由注1可得E(Ji)=E(JΡΟni)?ΙΡΟnr?Si=1?2???r(5)令α=(12?r-1rrr-1?21)βi=(12?i-1i12?i-1i)i=2?3???r?則α∈JΡDnr,βi∈E(Ji).由Jr?S及(5)式可得,α,βi∈S,從而γi=βiα∈S且γi=(12?i-1irr-1?r-i+2r-i+1)∈JΡDni進(jìn)而,由(5)式及引理7可得Ji??E(Ji)∪{γi}??Si=2?3???r(6)注意到Ir=J1∪J2∪…∪Jr及J0,J1=JΡΟn1?IΡΟnr(見注1).由S?Ir及(4),(6)式可得,S=Ir.注2由引理8易得結(jié)論:設(shè)2≤r≤n-1,對任意γ∈JΡDnr,有Jr=〈E(Jr)∪{γ}〉.引理9設(shè)2≤r≤n-1,則B=Ir-1∪JΡΟnr是Ir的極大正則子半群.證對任意β,γ∈JΡΟnr,由引理2知,βγ∈JΡΟnr?Jr或βγ∈Ir-1.因此,B是Ir的子半群.注意到B=Ir-1∪JΡΟnr=Ir-1∪IΡΟnr.由引理3知,Ir-1和IΡΟnr都是正則的,從而B是正則的.因此B是Ir的正則子半群.設(shè)T是Ir的正則子半群且B?T,則Ir-1?T.任意取γ∈T\B,則γ∈JΡDnr.注意到JΡΟnr?T(因為B?T且E(Jr)=E(JΡΟnr)(見注1)).由引理7及注1可得,Jr?〈E(Jr)∪{γ}〉=〈E(JΡΟnr)∪{γ}〉?〈JΡΟnr∪{γ}〉?T,從而T=Ir.因此B是Ir的極大正則子半群.本文的主要結(jié)果為:定理1設(shè)2≤r≤n-1,則Ir的極大正則子半群有且僅有如下兩類:(A)Aα=Ir-1∪(Jr\Rα)(α∈Jr);(B)B=Ir-1∪JΡΟnr.證設(shè)A1,A2,…,Am是Xn的所有基數(shù)為r的子集,其中m=Cnr.記R(Ai)={α∈Jr∶dom(α)=Ai}其中i=1,2,…,m,則R(A1),R(A2),…,R(Am)是Jr的一些互不相同的R-類.對任意j∈{1,2,…,m},顯然有|E(R(Aj))|=1.我們用ej表示R-類R(Aj)中唯一的冪等元(事實(shí)上,ej是Aj上的恒等變換).由引理6、引理9可知,Aα和B是Ir的正則子半群.我們將用反證法證明Ir的極大正則子半群僅有定理1中的形式.假設(shè)S是Ir的極大正則子半群且不是定理1中的形式,則S∩Rα≠?α∈Jr(7)S∩JΡDnr≠?(8)否則,存在α∈Jr,使得Rα?Jr\S或JΡDnr?Jr\S,于是Aα或B是Ir的包含S的正則子半群,由S的極大性可得,S=Aα或S=B,與S不是定理1中的形式矛盾.我們斷言S∩Lα≠?α∈Jr(9)事實(shí)上,如果存在α∈Jr,使得Lα?Jr\S.設(shè)im(α)=Ai,考察R-類R(Ai)中唯一的冪等元ei,則ei∈E(R(Ai))∩Lα,于是ei?S,從而S∩Rei=?(否則,由S的正則性及文獻(xiàn)的命題2.3.1和2.3.2可推出:R(Ai)中唯一的冪等元ei屬于S),與條件(7)矛盾.我們將證明E(Jr)?E(S).假設(shè)E(Jr)\E(S)≠?.任意取e∈E(Jr)\E(S)?Jr.由條件(7)及(9)可知,S∩Le≠?,S∩Re≠?.任意取β∈S∩Le,γ∈S∩Re,由文獻(xiàn)的命題2.3.1和2.3.2及S的正則性可得:Lβ∩E(S)≠?,Rγ∩E(S)≠?.進(jìn)而存在f∈E(S)∩Lβ=E(S)∩Le,g∈E(S)∩Rγ=E(S)∩Re,使得f,g?He