n階矩陣關(guān)于乘式乘子群的刻畫

n階矩陣關(guān)于乘式乘子群的刻畫

正交*-半組的概念從t.e.nordahl和h.e.scheiblih給出。m.yama和t.imarka進(jìn)行了進(jìn)一步研究。本文研究了全體n階矩陣關(guān)于乘法和轉(zhuǎn)置構(gòu)成的*-半群,給出了*-子半群的概念證明了Mn存在*-正則子半群、*-逆子半群、*-子群.證明了對于任意正整數(shù)n,如果一個(gè)集合S的元素個(gè)數(shù)為n2+1則可以定義乘法和*運(yùn)算把S變成正則*-半群,而且S是一個(gè)逆半群.本文未給出的概念、符號(hào)見1正則型半群的關(guān)于設(shè)S是半群,E(S)為S的冪等元集,V(a)為a的逆元集.定義1.1如果一個(gè)半群S上有一個(gè)一元運(yùn)算*:S→S,它滿足對?a、b∈S,(1)(a*)*=a.(2)(ab)*=b*a*.則稱S是*-半群.定義1.2如果一個(gè)半群S上有一個(gè)一元運(yùn)算*:S→S,它滿足對?a、b∈S,(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=b*a*.則稱S是正則*-半群.在正則*-半群S中,a*aa*=((a*aa*)*)*=(aa*a)*=a*.所以a*是a的一個(gè)逆元、S是正則半群.定義1.3設(shè)S是正則半群,E(S)為S的冪等元集.E(S)的一個(gè)子集F被稱為p-組,如果滿足:(1)對?a∈S,存在唯一一個(gè)逆元a*使得aa*、a*a屬于F.(2)對?a∈S,a*Fa?F,這里*一元運(yùn)算由(1)確定.(3)F2?E(S).定理1.4正則半群S是正則*-半群的充分必要條件為:它至少有一個(gè)p-組.定義1.5設(shè)S是正則半群,E(S)為S的冪等元集.如果e、f∈E(S)時(shí),有ef∈E(S).則稱S是純正半群.(OrthodoxSemigroups)定義1.6半群S稱為逆半群(Inversesemigroups),如果對?a∈S,a的逆元唯一.定理1.7S是半群,那么下列幾條等價(jià)(1)S是逆半群.(2)每一個(gè)R-類僅有一個(gè)冪等元并且每一個(gè)L-類僅有一個(gè)冪等元.(3)S是正則半群并且冪等元可交換.定義1.8若S是*-半群,S1是S的子半群,并且關(guān)于S上的一元運(yùn)算*在S1上的限制S1是*-半群.當(dāng)S1是正則半群時(shí)稱S1是S的*-正則子半群.當(dāng)S1是逆半群時(shí)稱S1是S的*-逆子半群.當(dāng)S1是群時(shí)稱S1是S的*-子群.2關(guān)于一元運(yùn)算型.定理2.1全體n階矩陣Mn關(guān)于乘法和轉(zhuǎn)置構(gòu)成的*-半群.Mn存在*-正則子半群、*-逆子半群、*-子群.證明:Mn是數(shù)域F上全體n階矩陣組成的集合,矩陣的乘法滿足結(jié)合律,所以Mn是半群.令Mn的一元運(yùn)算*為矩陣的轉(zhuǎn)置.A∈MnA*=At.如果A=(aij)n×n,B=(bij)n×n(A*)*=(At)t=A(AB)*=(AB)tB*A*=BtAt(AB)t的第i行第j列元素是AB的第j行第i列也就是A的第j行乘B的第i列也就是BtAt的第i行第j列元素.所以(AB)*=B*A*,由定義1.1得Mn是*-半群.Eij∈Mn它的第i行第j列元素為1其他元素全為0.令V={Eij∈Mn│i=1,2…n;j=1,2…n}∪{0}(零矩陣).因?yàn)镋ijEjt=Eit;EijEst=0這里j≠s.所以V關(guān)于乘法封閉,是Mn的子半群.Eij*=(Eij)t=EjiV關(guān)于一元運(yùn)算*封閉.V是*-半群.EijEjiEij=Eij所以V是正則半群、是正則*-半群、是Mn的*-正則子半群.事實(shí)上,V中的元素Eij是冪等元的充分必要條件是i=j.所以V的冪等元E(V)={Eii∈Mn│i=1,2…n;}∪{0}.令F=E(V)則F滿足定義1.3是V的p-組,據(jù)定理1.4V是正則*-半群.V的冪等元E(V)={Eii∈Mn│i=1,2…n;}∪{0}.EiiEjj=0i≠j;EiiEii=Eii,Eii0=0Ejj=0.顯然冪等元可交換.由定理1.7得V是逆半群.V是Mn的*-逆子半群.另外V的格林關(guān)系非常清楚.它有兩個(gè)D類{Eij∈Mn│i=1,2…n;j=1,2…n}和{0}.在{Eij∈Mn│i=1,2…n;j=1,2…n}中EijEjt=EitEjiEit=Ejt;EitEtj=Eij所以EjtLEit;EijREit也就是后足碼相同的有L關(guān)系、前足碼相同的有R關(guān)系.所以每一個(gè)L-類只有一個(gè)冪等元,并且每一個(gè)R-類只有一個(gè)冪等元.同樣由定理1.7得V是逆半群.令W={全體Mn中的可逆矩陣},A∈W的充分必要條件是A的行列式│A│不等于0.若A、B∈W,則│A│≠0;│B│≠0.│AB│=│A││B│≠0.W關(guān)于乘法封閉是Mn的子群.若A∈W,則│A│≠0.A的轉(zhuǎn)置的行列式等于│A│≠0,所以W關(guān)于*封閉.是*-半群.據(jù)定義1.8是Mn的*-子群.但是W關(guān)于*運(yùn)算不滿足定義1.2的(1)不是正則*-半群.當(dāng)然W上可以另外定義*運(yùn)算使它成為正則*-半群.令U={全體Mn中的正交矩陣}.A∈U的充分必要條件是At=A-1.若A、B∈U,At=A-1,Bt=B-1,(AB)t=BtAt=B-1A-1=(AB)-1U關(guān)于乘法封閉是Mn的子群.若A∈U,A*=At=A-1∈U.所以W關(guān)于*封閉.是*-半群.據(jù)定義1.8是Mn的*-子群.而且關(guān)于*運(yùn)算滿足定義1.2.是正則*-半群.推理2.2對于任意正整數(shù)n,如果一個(gè)集合S的元素個(gè)數(shù)為n2+1則可以定義乘法和*運(yùn)算把S變成正則*-半群,而且S是一個(gè)逆半群.證明:在n2+1個(gè)元素中令一個(gè)元素為0,其他元素為{Eij│i=1,2…n;j=1,2…n}.S={Eij│i=1,2…n;j=1,2…n}∪{0}.在S上定義乘法如下:Eij0=0Eij=0,EijEst=0j≠s;EijEst=Eitj=s.滿足結(jié)合律是半群.定義*運(yùn)算如下:Eij*=Eji0*=0.Eij