關于一種具有群的代數系

關于一種具有群的代數系

0關于公司的性質、結構在文獻中，描述了接近該組的代際體系。本文給出了它的許多性質，并對其進行了進一步的研究，使用群和右半群（l，r）給出系的代際結構，并指出了該譜系形成群的完全必要條件。1使ea=a,as整篇文章中使用到的術語和概念來自,先引入主要概念.定義1設S是一非空集合,若滿足下列條件:Ⅰ、對S中的每一對元a,b,存在唯一確定的積ab∈S;Ⅱ、(ab)c=a(bc),?a,b,c∈S;Ⅲ、S中存在一個元e,使ea=a,?a∈S;Ⅳ、?a∈S,存在一個a′∈S,使aa′=e(a′稱為a的右逆元).則稱S為一個左右系,簡記為(l,r)系.滿足條件Ⅲ、Ⅳ中的元e,稱為S的左單位元.這個系與群不同僅在于它包含一個左單位元和右逆元而不是右單位元和右逆元.定義2一個元f∈S稱做冪等元,如果f2=f.定義3一個集合S滿足Ⅰ、Ⅱ稱為一個半群.定義4若一個半群S的一個元s滿足sz=z,?s∈S,則稱z是S的右零元,若S的所有元都是右零元,則稱S是一個右零半群.定義5兩個半群S1,S2的直積是卡氏積S1S2={(a,b)|a∈S1,b∈S2}帶分量的乘法運算:(a,b)(c,d)=(ac,bd)文中出現未加說明的符號和術語請參見.2fs到s1es設S是一個(l,r)系,e是S的左單位元.命題1若f∈S,且是冪等元,則fe=e.證明:從ff=f,用f的右逆f′右乘得fff′=ff′,因此,fe=e.命題2若fe=e,則f是冪等元.證明:ff=fef=ef=f.命題3S的冪等元集E(S)構成一個(l,r)系.證明:設f,f′∈E(S),據命題1ff′e=fe=e,據命題2ff″是冪等元,條件Ⅰ被滿足,條件Ⅱ顯然被滿足,左單位元e在E(S)中,據命題2,e是每一個冪等元的右逆,故E(S)是一個(l,r)系.命題4(l,r)系S中冪等元f具有性質:fa=a,?a∈S(此即S中的每一個冪等元f都是S的一個左單位元).證明:fa=fea=ea=a.命題5(l,r)系的冪等元集E(S)是一個右零半群.證明:由命題4即得.命題6取定(l,r)系S中一個冪等元f,則S的子集S1={af|a∈S}構成一個群.證明:?af,bf∈S1,(af)(bf)=a(fb)f=abf,S1對乘法封閉.?a∈S存在a′使aa′=e,則(af)(a′f)=a(fa′)(a′f)=a(fa′)f=(aa′)f=ef=f.這表明a′f是af的在S1中的一個右逆元,?af∈S1,af·f=af,即f是S1的一個右單位元,S1中結合律顯然成立,綜上證明了S1對S的乘法構成一個群.3es到s的同構映射定理1群G與一個右零半群R的直積是一個(l,r)系.證明:G×R滿足條件Ⅰ、Ⅱ是顯然的,G中單位元設為e,則(e,f)∈G×R是一個左單位元,因(e,f)(g,r)=(eg,fr)=(g,r),條件Ⅲ被滿足?(g,r)∈G×R,(g-1,f)就是(g,r)的一個右逆,(g,r)(g-1,f)=(gg-1,rf)=(l,f),條件Ⅳ被滿足,故G×R構成一個(l,r)系.下面的定理揭示了(l,r)的代數結構以及它與群的聯系.定理2每一個(l,r)系都同構于一個群與一個右零半群的直積.證明:設(l,r)系為S,令G=Se={se|s∈S},e為S中一個固定的冪等元,則由命題6知G是一個群,令R=E(S)={f|f2=f,f∈S}.由命題5知R是一個右零半群,下證S?G×R.令φ:G×R→S,(ae,f)→aef=af,這顯然是G×R到S的一個映射.第一步證φ是G×R到S的滿射.?a∈S,則存在a的右逆a′,使a=aa′a=ae(a′a)而a′a∈R.故有(ae,a′a)∈G×R,且使(ae,a′a)φ=aea′a=a,這證明了φ是滿射.第二步證φ是單射.設(ae,f),(be,g)∈G×R,且(ae,f)φ=(be,g)φ則aef=beg…①,用e右乘此式,得aefe=bege,而f,g都是S中的冪等元,由命題4知e是S中的左單位元,再據命題1,得aee=bee即ae=be,ae為群G中元,e為G中單位元故用(ae)-1去乘①式,得ef=eg,e是S中冪等元.據命題4,f=g,因而(ae,f)=(be,g),這證明了φ是一個單射.第三步,證φ是G×R到S的同態(tài).設(ae,f),(be,g)∈G×R,則據命題4及條件Ⅲ有[(ae,f)(be,g)]φ=(aebe,fg)φ=aebefg=abg(ae,f)φ·(be,g)φ=aef·beg=afbg=abg所以,[(ae,f)(be,g)]φ=(ae,f)φ·(be,g)φ綜上證明了φ是G×R到S上的一個同構映射,從而G×R?S.推論(l,r)系S是一個群的充分必要條件是S的冪等元集E(S)只含一個元素,G={se|s∈S}.證明:(充分性)令R=E(S)={e},則由定理2的證明知S?G×R,而R={e}.G×R={(g,e)|g∈G}作映射φ,G×R→G,(g,e)→g,易證這是一個同構映射,即G×R?G,從而S?G,S是一個群.(必要性)設S是一個群,a∈S,a2=a,用a的逆去左乘得ea=e,即a=e,故E(S)只含一個元素.4x-l,r值的計算取X={1,2,3},S3是X上的置換群,σ1=(112131)?σ2=(122232)?σ3=(132333)σ1=(123111)?σ2=(123222)?σ3=(123333)是X的三個全變換,易驗證R={σ1,σ2,σ3}是一個右零半群,由定理1知,集合S3×R={(si,σj)|si∈S3,σj∈R}對分量的乘法運算構成一個(l,r)系.5e,a,b,a對偶地,我們可以定義一個右、左代數系.定義6設A是一個非空集合,若滿足下列條件:Ⅰ、對A中的每一對元a,b,存在唯一確定的積ab∈A;Ⅱ、(ab)c=a(bc),?a,b,c∈A;Ⅲ、A中存在一個元e,使ae=a,?a∈A;Ⅳ、?a∈A,存在一個A,使a′a=e(a′稱為a的左逆元).則稱A為一個右左系,記為(r,l)系.滿足條件Ⅲ、Ⅳ中的元e,稱為A的右單位