計數(shù)原理章末復(fù)習(xí)提升課件

第一章

計數(shù)原理章末復(fù)習(xí)提升欄目索引知識網(wǎng)絡(luò)整體構(gòu)建要點(diǎn)歸納主干梳理題型探究重點(diǎn)突破知識網(wǎng)絡(luò)整體構(gòu)建返

要點(diǎn)歸納主干梳理1.兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類加法計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之分解，達(dá)到求解的目的.正確地分類與分步是用好兩個原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，這是選用計數(shù)原理的關(guān)鍵.2.排列與組合排列數(shù)與組合數(shù)計算公式主要應(yīng)用于求值和證明恒等式，其中求值問題應(yīng)用連乘的形式，證明恒等式應(yīng)用階乘的形式，在證明恒等式時，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡的原則，有時也會從兩邊向中間靠攏.對于應(yīng)用題，則首先要分清是否有序，即是排列問題還是組合問題.3.二項(xiàng)式定理(1)與二項(xiàng)式定理有關(guān)：包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、證明一些簡單的組合恒等式等，此時主要是要構(gòu)造二項(xiàng)式，合理應(yīng)用展開式；返

題型探究重點(diǎn)突破題型一排列與組合的應(yīng)用在解決一個實(shí)際問題的過程中，常常遇到排列、組合的綜合性問題，而解決問題的第一步是審題，只有認(rèn)真審題，才能把握問題的實(shí)質(zhì)，分清是排列問題、組合問題，還是綜合問題，分清分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)和方式，并且要遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.解決排列組合應(yīng)用題的常用方法：(1)合理分類，準(zhǔn)確分步；

(2)特殊優(yōu)先，一般在后；

(3)先取后排，間接排除；

(4)相鄰捆綁，間隔插空；

(5)抽象問題，構(gòu)造模型；

(6)均分除序，定序除序.例1

6個女學(xué)生(其中有1個領(lǐng)唱)和2個男學(xué)生分成兩排表演.(1)若每排4人，共有多少種不同的排法？解

要完成這件事分三步.解析答案(2)領(lǐng)唱站在前排，男學(xué)生站在后排，每排4人，有多少種不同的排法？解析答案跟蹤訓(xùn)練

1

7

名師生站成一排照相留念，其中老師生2人，在下列情況下，各有不同站法多少種？(1)兩個女生必須相鄰而站；解

∵兩個女生必須相鄰而站，∴把兩個女生看做一個元素，則共有6個元素進(jìn)行全排列，1

人，男生

4

人解析答案(2)4名男生互不相鄰；解

∵4名男生互不相鄰，∴應(yīng)用插空法，解析答案(3)老師不站中間，女生甲不站左端.當(dāng)老師不站左端時，老師有5種站法，女生甲有5種站法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有720＋3000＝3720種站法.解析答案題型二二項(xiàng)式定理的應(yīng)用對于二項(xiàng)式定理的考查常有兩類問題：第一類，直接運(yùn)用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)或解決與系數(shù)有關(guān)的問題；第二類，需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項(xiàng)式定理來處理的問題.A.－1B.0C.1D.2兩式相乘，得所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.C解析答案(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；解

令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25；令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65.兩式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125.解析答案②－a2＋a4－a6＋a8－a10.解

令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.

整理得，(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i，故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128.因?yàn)閍0＝1，所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127.解析答案(1)求含有x3的項(xiàng)；解

已知展開式中倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為45，通項(xiàng)(0≤k≤10，k∈N)，解析答案(2)求系數(shù)最大的項(xiàng).∴系數(shù)最大項(xiàng)是第六項(xiàng)，解析答案題型三分類討論思想當(dāng)計數(shù)問題過于復(fù)雜或限制條件較多時，一般采取分類討論的方法解決，即對計數(shù)問題中的各種情況進(jìn)行分類，然后針對每一類分別研究和求解.分類的原則是不重復(fù)、不遺漏.例

3

(1)

從編號為

1,2,3

，

…

，球的編號之和為奇數(shù)，其取法總數(shù)為(

A

)10,11

的

11

個球中，取出

5A.236

B.328

C.462 D.2

640解析

以取出的編號為奇數(shù)的球的個數(shù)進(jìn)行分類.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有30＋200＋6＝236(種)取法.解析答案(2)將5個不同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子中至少有1個球，若甲球必須放入第1個盒子中，則不同的方法種數(shù)是(

)A.120

B.72

C.60

D.36解析答案跟蹤訓(xùn)練

3

某臺小型晚會由

6

個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位.該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有(

)A.36種

B.42種

C.48種

D.54種解析答案題型四正難則反思想正難則反即是一種手段，又是一種策略.有許多計數(shù)問題，應(yīng)用正難則反思想求解，常能事半功倍.在解題時，當(dāng)正向思維受阻時，不妨改變思維方向，從結(jié)論或條件的反面進(jìn)行思考，從而使問題得到解決.例4現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，不同的取法種數(shù)為()A.484

B.472

C.252

D.232解析答案跟蹤訓(xùn)練

4

若把英語單詞“

good

”

的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤方法共有

11

種.解析

把g、o、o、d4個字母排一列，可分兩步進(jìn)行，解析答案題型五 化歸與轉(zhuǎn)化思想通過觀察、類比、聯(lián)想等過程，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ桶盐粗獑栴}、疑難問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的問題來解決，這就是化歸與轉(zhuǎn)化思想.*例

5

已知

x

＋

y

＋

z

＋

m

＝

50(

x

，

y

，

z

，

m

∈

N

)

，.1

＋1

＋…＋1

，題中求方程的正整數(shù)解相當(dāng)于把分配到4個位置上，x，y，z，m的值分別對應(yīng)4個位置上“1”的個數(shù).由于這些“1”完全相同，又因?yàn)閤，y，z，m∈N*，相當(dāng)于每一個位置上至少有一個“1”，因此可轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題來解決.即這個方程的正整數(shù)解的組數(shù)為18424.組數(shù)為

18

424解析

50

＝解析答案跟蹤訓(xùn)練5

5封信投入5個信箱中.(1)只有一個信箱是空的，有多少種不同的投法？解析答案(2)有兩個信箱里各投兩封信，共有多少種不同的投法？解析答案題型六方程思想方程思想，即對于一個問題，用建立方程的方法去解決的一種思想.具體方法是通過分析問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、研究、解決問題.例

6

袋中裝有帶有編號的紅球和白球共

16

個，現(xiàn)從中任取

2

球，若出的2球是同色的取法和取出的2球是異色的取法相等，則取出2球都是紅球的取法有多少種？解析答案