9重積分總復(fù)習(xí)課件

一、二重積分概念二、二重積分的計(jì)算三、三重積分概念四、三重積分的計(jì)算五、重積分的應(yīng)用重積分復(fù)習(xí)

9重積分總復(fù)習(xí)一、二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素(一)、定義9重積分總復(fù)習(xí)(二)、幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是以被積函數(shù)為曲頂、以積分區(qū)域?yàn)榈椎那斨w的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值．9重積分總復(fù)習(xí)(三)、物理意義平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片,占有面上的閉區(qū)域,在點(diǎn)處的面密度為,

假定在上連續(xù),

平面薄片的質(zhì)量9重積分總復(fù)習(xí)(四)存在條件9重積分總復(fù)習(xí)(五)性質(zhì)性質(zhì)２性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)４若為D的面積，9重積分總復(fù)習(xí)性質(zhì)５特殊地則有若在上性質(zhì)６（估值不等式）性質(zhì)７（二重積分中值定理）9重積分總復(fù)習(xí)解9重積分總復(fù)習(xí)解9重積分總復(fù)習(xí)例3

求極限其中為。解因?yàn)楸环e函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，根據(jù)積分中值定理知：存在使得解畢。9重積分總復(fù)習(xí)二、二重積分的計(jì)算(一)、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).［先y后x］:平行于軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部與其邊界最多交于兩點(diǎn)。9重積分總復(fù)習(xí)［先x后y］平行于軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部時(shí)與其邊界最多交于兩點(diǎn)。9重積分總復(fù)習(xí)求二重積分的步驟(1)畫出積分區(qū)域圖形,判斷類型;(2)定積分上下限(3)寫出二次積分再求即可.9重積分總復(fù)習(xí)若區(qū)域如圖，則必須分割。在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式。9重積分總復(fù)習(xí)如果被積函數(shù)具有等形式，則應(yīng)選擇先對(duì)積分。注：9重積分總復(fù)習(xí)解積分區(qū)域如圖由其中與兩坐標(biāo)軸圍成.9重積分總復(fù)習(xí)解:其中是由所圍區(qū)域,則等于()令由已知等式得兩邊在上取二重積分,則例2設(shè)連續(xù),且故選解得9重積分總復(fù)習(xí)解9重積分總復(fù)習(xí)(二)、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分9重積分總復(fù)習(xí)9重積分總復(fù)習(xí)解

在極坐標(biāo)系下

9重積分總復(fù)習(xí)例2

將(其中為圍成)化為極坐標(biāo)下的累次積分.在極坐標(biāo)系下

解9重積分總復(fù)習(xí)在極坐標(biāo)系下

解9重積分總復(fù)習(xí)在極坐標(biāo)系下

解9重積分總復(fù)習(xí)在極坐標(biāo)系下

解和9重積分總復(fù)習(xí)在極坐標(biāo)系下

解9重積分總復(fù)習(xí)例7

證9重積分總復(fù)習(xí)三、三重積分的概念定義：

物理意義:若,則三重積分的值等于以為分布密度的幾何體的質(zhì)量.

二重積分與三重積分有類似的存在條件及性質(zhì).9重積分總復(fù)習(xí)四、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先z后xy”)方法2平行截面法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算的密度函數(shù),方法:

當(dāng)被積函數(shù)只含有一個(gè)變量用與此變量所在坐標(biāo)軸垂直的平面截積分區(qū)域所的截面面積容易求出時(shí)，用平行截面法比較簡(jiǎn)單。9重積分總復(fù)習(xí)方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為記作9重積分總復(fù)習(xí)解的范圍:9重積分總復(fù)習(xí)方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為記作9重積分總復(fù)習(xí)例

解9重積分總復(fù)習(xí)解9重積分總復(fù)習(xí)原式我們稱此種方法為平行截面法。9重積分總復(fù)習(xí)當(dāng)被積函數(shù)只含有一個(gè)變量用與此變量所在坐標(biāo)軸垂直的平面截積分區(qū)域所的截面面積容易求出時(shí)，用平行截面法比較簡(jiǎn)單。9重積分總復(fù)習(xí)2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面9重積分總復(fù)習(xí)如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:

當(dāng)積分區(qū)域由柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面圍成且被積函數(shù)具有如下形式：9重積分總復(fù)習(xí)例（970105）計(jì)算其中為平面曲線解：旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與平面所圍成的區(qū)域。xyzo9重積分總復(fù)習(xí)3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M

的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面9重積分總復(fù)習(xí)如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:

當(dāng)積分區(qū)域由球面與錐面，球面與平面圍成且被積函數(shù)具有如下形式：9重積分總復(fù)習(xí)例計(jì)算其中解9重積分總復(fù)習(xí)9重積分總復(fù)習(xí)解9重積分總復(fù)習(xí)小結(jié)：1當(dāng)積分區(qū)域由柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面圍成且被積函數(shù)具有如下形式：時(shí)用柱坐標(biāo)。2當(dāng)積分區(qū)域由球面與錐面，球面與平面圍成且被積函數(shù)具有形式時(shí)用球坐標(biāo)。9重積分總復(fù)習(xí)２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三 個(gè)坐標(biāo)軸的補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；奇偶性．9重積分總復(fù)習(xí)解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),9重積分總復(fù)習(xí)例8

解利用球面坐標(biāo)9重積分總復(fù)習(xí)五、重積分的應(yīng)用★

二重積分9重積分總復(fù)習(xí)1:二重積分的被積函數(shù)等于1時(shí),二重積分的值等于積分區(qū)域的面積.所以我們可以利用二重積分求平面圖形的面積.2:由二重積分的幾何意義可知,二重積分可用來求體積.(當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是以被積函數(shù)為曲頂、以積分區(qū)域?yàn)榈椎那斨w的體積．)一、平面面積、體積、質(zhì)量3:由二重積分的物理意義可知,二重積分可用來求平面薄片的質(zhì)量.9重積分總復(fù)習(xí)例1

求由曲面與曲面所圍成的立體的體積.解由得從而投影曲線9重積分總復(fù)習(xí)例2

求面密度為的圓板的質(zhì)量.解由二重積分的物理意義可知9重積分總復(fù)習(xí)設(shè)光滑曲面設(shè)它在D

上則(二)、★曲面的面積的投影為d

,若光滑曲面方程為則有若光滑曲面方程為則有9重積分總復(fù)習(xí)解上半球面在面上的投影由得令9重積分總復(fù)習(xí)因此,整個(gè)球面的面積為9重積分總復(fù)習(xí)

占有空間有界域

的空間形體，體密度為的空間形體的質(zhì)量(二)、★三重積分

占有空間有界域

的空間形體的體積為

占有空間有界域

的空間形體，體密度為的空間形體的質(zhì)量例求由曲面與曲面所圍成的立體的體積.*用三重積分計(jì)算*9重積分總復(fù)習(xí)(三)、物體的重心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x

軸的

靜矩—對(duì)y

軸的

靜矩9重積分總復(fù)習(xí)設(shè)物體占有空間區(qū)域密度為9重積分總復(fù)習(xí)(四)、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.9重積分