《平方差公式》教學設計(部級優(yōu)課)-七年級數(shù)學教案

教學基本信息課題6.4.2平方差公式學科數(shù)學學段：第三學段年級七年級相關領域數(shù)與代數(shù)教材書名：《義務教育教科書·數(shù)學》（七年級下冊）出版社：北京出版社出版日期：2013年12月是否已實施2017年4月11日已實施教學設計參與人員姓名單位聯(lián)系方式設計者李娜北京市第一六一中學實施者李娜北京市第一六一中學指導者數(shù)學組北京市第一六一中學課件制作者李娜北京市第一六一中學指導思想與理論依據(jù)（1）布魯納動機教學原則：學習取決于學生對學習的準備狀態(tài)和心理傾向。兒童對學習都具有天然的好奇心和學習的愿望，問題在于教師如何利用兒童的這種自然傾向，激發(fā)學生參與探究活動，從而促進兒童智慧的發(fā)展。復習引入提出問題：今天我們研究的平方差公式究竟是怎樣簡潔特征的特殊的多乘多呢？激發(fā)學生好奇心和學習的愿望。（2）程序教學法：斯金納認為，對有機體與其環(huán)境相互作用的一種適當?shù)年愂觯仨毷冀K具體說明三件事：反應發(fā)生的場合；反應本身；強化結(jié)果。這三者之間的相互關系便是“強化相倚關系（ContigenciesofReinforcement）”。根據(jù)強化相倚關系，斯金納設計了兩種促使有機體行為變化所采用的技術：塑造和漸退。塑造是指通過安排特定的強化相倚關系使有機體做出他（它）們行為庫中原先不曾有過的復雜動作。漸退是指通過有差別的強化，緩慢地減少兩種（或兩種以上）刺激的特征，從而使有機體最終能對兩種只有很小差異的刺激做出有辨別的反應。本設計中練習和例題的設置就是按照這樣的方式設計的，先認識a，b；再判斷是否符合平方差公式特征，進而套用公式計算，再識別是否符合公式連續(xù)使用公式，到最后構(gòu)造公式。教學背景分析教學內(nèi)容：本章內(nèi)容屬于數(shù)與代數(shù)部分，研究的主要內(nèi)容是整式的加減乘除運算，這些知識是以后學習分式和根式的運算、函數(shù)等知識的基礎，同時也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可或缺的數(shù)學工具。本課在本章中屬于《整式的乘除》的內(nèi)容，在學習本課之前我們已經(jīng)學習了多項式乘多項式，以及兩種特殊的多項式乘多項式，本節(jié)內(nèi)容的教學影響著學生對兩種公式的識別是否到位，是否會對已學知識產(chǎn)生負遷移，直接關系著后續(xù)利用公式法進行因式分解的學習。學生情況：授課班級學生基礎較好，層次差異較大，已經(jīng)有一定的觀察、分析能力，但思維嚴謹性、抽象性仍相對薄弱，喜歡稍有挑戰(zhàn)的學習內(nèi)容。教學方法：教師采用發(fā)現(xiàn)、探究、講授、練習、提問等教法組織教學。教學手段：PPT課件，學案，紙板模型，結(jié)合板書。技術準備：PPT課件；教學目標知識與技能目標：能用自己的語言敘述公式，能理解公式中字母的廣泛含義，并能運用公式進行簡單的運算。過程與方法目標：在本課的學習過程中，體會從“一般-特殊-一般”的認識事物的規(guī)律。情感態(tài)度價值觀目標：在用文字、符號、圖形三種語言表述平方差公式的過程中，認識數(shù)學具有抽象、嚴謹?shù)奶卣?，體會數(shù)學的價值。教學重點和難點教學重點：平方差公式教學難點：幾何語言驗證公式和識別是否符合平方差公式。

教學過程示意過程流程作用一．復習引入復習舊知將新知納入知識體系二．學習新知平方差公式的學習三．鞏固新知對平方差公式的結(jié)構(gòu)進行學習四.例題講解利用公式簡算五.

小結(jié)作業(yè)梳理知識布置作業(yè)教學過程問題與情境師生行為設計意圖一.復習引入(1)(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(3)(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2那么我們今天要學習的平方差公式又是怎樣的特殊的多乘多呢？教師板演，學生復習口答。通過復習多項式乘多項式的乘法法則，到有一個字母相同的特殊的多項式乘多項式，兩個多項式完全相同的多項式相乘，讓學生體會到“一般-特殊”的學習順序,學生會對今天要學習的乘法公式充滿期待和猜想。二.學習新知1、計算：①(y+1)(y-2)②(m+1)(m-1)③（3+a）（3-a）④(x+2y)(x-2y)觀察結(jié)果與各因式關系，猜想(a+b)(a-b)的結(jié)果。實際上結(jié)果只有兩項，非常簡潔，為了方便計算，將其作為公式。2.平方差公式即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差。3.用幾何圖形驗證平方差公式學生計算結(jié)果①(y+1)(y-2)=y2-y-2②(m+1)(m-1)=m2-1③（3+a）（3-a）=9-a2④(x+2y)(x-2y)=x2-4y2教師引導學生觀察，關注學生是否能關注到后三個等式就有共同特征，關注進而引導學生先觀察等式左邊，再觀察等式右邊，關注學生能否主動將不是平方項的化為平方項。要求學生用自己的語言將觀察到的規(guī)律敘述出來，進而用符號語言表示出來。要求學生證明公式。讓學生用幾何語言解釋平方差公式，這是一個難點，但不是本節(jié)課研究的重點。由于需要由一個長方形經(jīng)過剪裁之后再拼接，對于學生的要求還是相當高的。為了突破這個難點，我設計了三個有梯度的問題進行引導：1、用幾何語言解釋平方差公式，實質(zhì)是利用圖形的什么進行驗證的？2、（a+b）（a-b）你能想到的是什么樣圖形的面積呢？a2-b2又是什么樣的一個圖形呢？3、如何將兩個圖形進行轉(zhuǎn)化呢？同時，我還準備了紙板模型貼在黑板上，讓學生先分析出該如何剪裁，再讓學生動手演示如何拼接。讓學生通過探究活動經(jīng)歷一個由具體到抽象，由特殊到一般的認識過程。讓學生用文字語言敘述公式，是在培養(yǎng)學生的數(shù)學表述能力，用符號語言表示公式，是在培養(yǎng)學生的抽象能力。讓學生證明公式，是讓學生完整的經(jīng)歷觀察、猜想、證明這一認識事物的方法，正如恩格斯所說：“單憑觀察所得的經(jīng)驗，是決不能充分證明必然性的?！逼椒讲罟降膸缀我饬x加深了學生對公式的理解．由于不是本課研究的重點，所以我沒有安排大面積的學生動手操作，而是采用引導加學生示范的形式進行的，既鍛煉了學生的思維，又節(jié)省了時間不至于影響本課重點內(nèi)容的講授。三.鞏固新知3、指出下列各式是哪兩個數(shù)的和乘以哪兩個數(shù)的差。（a+b）(a-b)ab（）2-（）2(x-y)(x+y)（）2-（）2(-x+y)(-x-y)（）2-（）2(-x+y)(x+y)（）2-（）2(-y-x)(x-y)（）2-（）2（a+b+c）(a+b-c)（）2-（）2（a+b-c）(a-b-c)（）2-（）2思考：字母a,b可以表示什么?可以表示一個數(shù)，也可以是單項式、多項式等，所以平方差公式可抽象為以下形式：﹙□+△﹚﹙□–△﹚=□2–△24、判斷下列計算是否正確,正確畫”√”,否則畫”╳”.（1）（2a－3b）（2a－3b）=4a2－9b2()（2）（x＋2）（x－2）=x2－2()（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4()（4）（m＋2）（m－3）=m2－6()(5)（7+a）(-7-a)=(-7)2-a2()教師提問，學生經(jīng)過思考獨立回答，在學生回答的過程中，教師關注學生能否回答準確，稍有困難時，教師提醒學生：a是兩項中相同的項，b是互為相反的項去掉符號。（1）題符合差的完全平方公式，（2）（3）符合平方差公式，考察套用公式計算結(jié)果是否正確，（4）符合（x+a）（x+b）（5）最難判斷，兩項互為相反數(shù)，需要變形之后，符合完全平方公式。學生經(jīng)過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件．加深對平方差公式的理解，進一步體會字母a、b既可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解．另強調(diào)使用公式時寫成（）2-（）2的形式，避免計算積的乘方時漏乘方的現(xiàn)象。在上一題的基礎上，考察學生能否判斷出等式左邊是否符合平方差公式的特征，再套用平方差公式計算，與前面學習的幾種乘法公式互相區(qū)分，減少負遷移。通過這兩個題目的設置，突破難點，加深學生對于公式的理解和識別。四.例題講解：例1利用平方差公式計算：（1）（2）5、練習：（1）（-0.25x－y）（-0.25x＋y）（2）（3y－2x）（－2x－3y）例2、計算：（1）（2）教師板演，學生學習。師生共同分析解題步驟：(1)分析，判斷是否符合公式找a，b(2)用公式：（）２－（）２(3)算：乘積的乘方學生獨立練習，安排兩名同學板演。同學糾錯，教師小結(jié)統(tǒng)計同學正確率。（1）題學生獨立思考，發(fā)表見解。（1）題需要學生能夠發(fā)現(xiàn)第1項和第3項結(jié)合使用符合公式，經(jīng)過計算之后發(fā)現(xiàn)結(jié)果和第二項結(jié)合又符合平方差公式，連續(xù)使用兩次公式進行計算。（2）題學生先回答思路，再師生共同研究，教師引導。（2）題難度特別大，需要學生構(gòu)造平方差公式來進行簡算。通過找、用、算三步，使公式的運用更加條理化，規(guī)范化，易于學生掌握。強調(diào)了先判斷是否符合公式特征，再使用公式的最重要的一步，也是學生最容易忽略的一步，而到了下節(jié)課和完全平方公式同時出現(xiàn)的時候就會出現(xiàn)大面積的公式混用的現(xiàn)象。規(guī)范了學生在用公式的時候必須寫成（）2-（）2的形式，與上面練習遙想呼應，減少學生積的乘方出現(xiàn)系數(shù)忘記乘方的情況。展示學生學習成果，對于學生運算中存在的問題進一步糾錯。全班只有兩名同學算錯，都是（1）題，其中一名同學就是板演的同學，問題出在（-0.25）2沒有算對，還有一名同學漏掉了x成了.（1）題考查學生對于平方差公式的掌握程度，能否主動發(fā)現(xiàn)并兩次使用公式，（2）題有一定的難度，由于我班學生的學習特點，我特地安排了這道題，從發(fā)現(xiàn)符合公式特征使用公式到主動構(gòu)造公式，是一個質(zhì)的飛躍，為了幫助學生理解，我采用將2看作a，1看作b的形式，將整個式子轉(zhuǎn)化成：(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)的形式，是平方差公式中和的那一部分，缺少的是差的那一部分，如果添上差的那一部分，（a-b）(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)就變成（1）同樣類型的題目。五.小結(jié)作業(yè)：1.課堂小結(jié)教師提問：（1）你學到了那些知識？（2）你認為平方差公式的作用是什么？2.布置作業(yè)：必做題：書89頁第2題92頁第4，5題選做題：書93頁拓展學生回答問題，教師總結(jié)認識事物的規(guī)律“一般-特殊-一般”。學生完成作業(yè)。引導學生梳理本節(jié)課所學知識的脈絡，整理本節(jié)課收獲的研究問題的方法。作業(yè)層次分明。必做作業(yè)，落實本節(jié)課所學知識，加深平方差公式的理解。選做作業(yè)，適合程度較好的學生，引發(fā)學生深層思考，獲得成功的體驗。學習效果評價設計評價方式：1、提問關注不同層次的學生：本課課堂提問人數(shù)超過80%，為不同層次的學生安排了適合的問題，比如識別a，b中較簡單的題目適合程度較差的學生，而幾何圖形驗證公式就適合程度較好的學生，不僅安排了提問的形式檢測學生學習情況，而且安排了板演練習的方式檢測學生。2、練習統(tǒng)計當堂學習情況：通過當堂統(tǒng)計，第（1）題全班有兩人出錯，一人也就是板演那位同學，錯誤原因在于系數(shù)（-0.25）2計算錯誤，還有一人把x丟掉了。（2）題全對，發(fā)現(xiàn)教學效果還是相當不錯的。3、作業(yè)拓展提升在上述兩個環(huán)節(jié)中體現(xiàn)的是學生基本計算能力的反饋，大多數(shù)學生在本課中都有很好的收獲，而對于程度較好的學生而言是遠遠不夠的，所以我通過選作作業(yè)，考察學生能否主動構(gòu)造公式進行簡算，從學生的作業(yè)反饋來看，效果是不錯的。本教學設計與以往或其他教學設計相比的特點1、關注學生學習的過程,而不僅僅關注得出的結(jié)論從特殊實例探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律時，關注學生能否找到三個式子中具有的共同特征，進而引導學生先觀察等式左邊，再觀察等式右邊，關注學生能否主動將不是平方項的化為平方項。2、自制教具，形象解決難點問題本課中平方差公式的幾何意義是學生理解起來較難的部分，所以我采取了自制教具的辦法，采用兩層長方形紙片粘在一起，并不直接給出學生我想要的具體信息，而是等學生思路發(fā)展到了具體的一步之后，才呈現(xiàn)長為a+b，寬為a-b的矩形，到轉(zhuǎn)化為一個正方形剪去一個小正方形時，也是學生思路發(fā)展到切割長方形的一部分拼成正方形的，而采用紙板拼接的辦法，操作性強，學生能夠看到整個拼接的過程。3、注重思維訓練的層次性（1）練習和例題的選擇充分考慮到了學生認知的規(guī)律，首先安排了識別a，b這組練習，接著安排了判斷題，最后才安排例1，體現(xiàn)“識別-判斷-計