安徽省定遠(yuǎn)育才學(xué)校2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

安徽省定遠(yuǎn)育才學(xué)校2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．向量，向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.1C. D.2．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)3．某地區(qū)高中分三類，A類學(xué)校共有學(xué)生2000人，B類學(xué)校共有學(xué)生3000人，C類學(xué)校共有學(xué)生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學(xué)校中的學(xué)生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.4．在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.5．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A.9 B.8C.7 D.66．點(diǎn)到直線的距離是（）A. B.C. D.7．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.48．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)B到直線的距離為（）A. B.C. D.9．已知空間向量，則（）A. B.C. D.10．有一組樣本數(shù)據(jù)、、、，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，其中，為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)相同11．函數(shù)區(qū)間上有（）A.極大值為27，極小值為-5 B.無極大值，極小值為-5C.極大值為27，無極小值 D.無極大值，無極小值12．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)有下列命題：①當(dāng)，時，不等式恒成立；②函數(shù)在上的最小值為2；③函數(shù)在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為________________．（填寫所有真命題的序號）14．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則的取值范圍是______15．已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則__________16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線：mx－（2－m）y－4=0與直線h：x+y－2=0的交點(diǎn)M在第一三象限的角平分線上.（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若點(diǎn)P在直線l上且，求點(diǎn)P的坐標(biāo).18．（12分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應(yīng)用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.20．（12分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點(diǎn)，動圓，且點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別交曲線于點(diǎn)，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點(diǎn)，且時，求直線的方程.21．（12分）某快遞公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）在這60天中包裹件數(shù)在和的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應(yīng)分別抽取多少件？22．（10分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點(diǎn)P，Q，求∠PFQ的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量，若，則，解得：，故選：C.2、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，所以，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D3、D【解析】利用抽樣的性質(zhì)求解【詳解】所有學(xué)生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D4、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長弦，最短弦為過點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長，可得面積.【詳解】圓化簡為可得圓心為易知過點(diǎn)的最長弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D5、A【解析】由雙曲線方程求出，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，結(jié)合可求得答案【詳解】由，得，則，所以左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，則由雙曲線的定義得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，所以的最小值為9，故選：A6、B【解析】直接使用點(diǎn)到直線距離公式代入即可.【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式得故選：B7、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項(xiàng)系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以的最小值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式，關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運(yùn)用不等式的性質(zhì)降低元的個數(shù)，運(yùn)用均值不等式，是中檔題.8、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，取，，則，，則點(diǎn)B到直線AC1的距離為.故選：A9、C【解析】A利用向量模長的坐標(biāo)表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實(shí)數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可判斷；D利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可.【詳解】因?yàn)?，所以A不正確：因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)使，所以B不正確；因?yàn)?，故，所以C正確；因?yàn)?，所以，所以D不正確故選：C10、B【解析】利用平均數(shù)公式可判斷A選項(xiàng)；利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可判斷B選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用眾數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，A錯；對于B選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，，B對；對于C選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為，數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，不妨設(shè)，則，若為奇數(shù)，則，；若為偶數(shù)，則，.綜上，，C錯；對于D選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的眾數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、、的眾數(shù)為，D錯.故選：B.11、B【解析】求出得出的單調(diào)區(qū)間，從而可得答案.【詳解】當(dāng)時，，單調(diào)遞減.當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得極小值，極小值為，無極大值.故選：B12、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設(shè)，，利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于，，故恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，由于，所以②不正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，即函數(shù)的最大值為，所以③正確；設(shè)，，則，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.14、【解析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實(shí)半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計(jì)算作答,【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點(diǎn)和在x軸上，點(diǎn)P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點(diǎn)，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.15、##9.5【解析】根據(jù)給定條件計(jì)算當(dāng)時，的值，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，，因數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則，，同理，令，又，則有，，所以.故答案為：16、【解析】先求出，然后當(dāng)時，由，得，兩式相減可求出，再驗(yàn)證，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可求出，再將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，所以，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】當(dāng)時，，得，當(dāng)時，由，得，兩式相減得，得，滿足此式，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以對于任意的，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為對于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列通項(xiàng)公的求法，等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式后求得，再將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3（2）【解析】（1）求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線的方程可得值；（2）設(shè)，代入已知等式可求得值，得坐標(biāo)【小問1詳解】由得，即所以，【小問2詳解】由（1）直線方程是，在直線上，設(shè)，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為18、（1）正弦定理見解析；（2）充要條件，證明見解析【解析】（1）用語言描述正弦定理，并用公式表達(dá)正弦定理（2）利用“大角對大邊”的性質(zhì)，并根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化即可【詳解】（1）正弦定理：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等且等于這個三角形外接圓的直徑，即.（2）是充要條件.證明如下：充分性：又故有：必要性：又綜上，是的充要條件19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點(diǎn)Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，又因?yàn)?，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，所以，，，因?yàn)?，，所以，，又，平面，平面，所以平?（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設(shè)平面的法向量因?yàn)椋?所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為.（3）設(shè)，即，，所以，即，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求線面垂直、線面角、二面角的求法，向量法求二面角的步驟：建、設(shè)、求、算、?。?、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的垂線的交點(diǎn)為原點(diǎn)；2、設(shè)：設(shè)所需點(diǎn)的坐標(biāo)，并得出所需向量的坐標(biāo)；3、求：求出兩個面的法向量；4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求兩個法向量的夾角的余弦值；5、取：根據(jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角，再取值.20、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長為的雙曲線，即，，，則點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點(diǎn)，∴，由已知條件得直線和直線關(guān)于對稱，則，即，整理得，，，，即，則或，當(dāng)，直線方程為，此直線過定點(diǎn)，應(yīng)舍去，故直線的斜率為定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，當(dāng)時，，，即，，，解得或，但是當(dāng)時，，故應(yīng)舍去，當(dāng)時，直線方程為，當(dāng)時，，即，，，解得（舍去）或，當(dāng)時，直線方程為,故直線的方程