福建省南那時(shí)華僑中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

福建省南那時(shí)華僑中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)P在線段EF上.給出下列命題：①存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；②存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號(hào)（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④2．設(shè)R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（）A. B.C. D.4．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A.60 B.61C.62 D.635．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．設(shè)函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.77．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A B.C. D.8．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．函數(shù)在和處的導(dǎo)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定10．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則的值為（）A. B.C. D.11．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則12．已知直線與直線平行，且直線在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，若曲線的一條切線為直線：，則的最小值為_(kāi)__________.14．已知圓，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，則______15．若＝，則x的值為_(kāi)______16．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓：（）的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；（2）已知過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若，求四邊形面積的最大值.18．（12分）已知等比數(shù)列的公比，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù)n.19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值20．（12分）已知函數(shù)，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時(shí)y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值21．（12分）某學(xué)校高一、高二、高三的三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)如下表，按年級(jí)分層抽樣的方法評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經(jīng)檢測(cè)她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5分的概率.22．（10分）已知函數(shù)（）（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】當(dāng)點(diǎn)P是線段EF中點(diǎn)時(shí)判斷①；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，推理導(dǎo)出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉(zhuǎn)化列式計(jì)算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點(diǎn)G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，而B(niǎo)DEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，直線平面ACF，①正確；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點(diǎn)與D連線垂直于DG，因此，假設(shè)是錯(cuò)的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動(dòng)點(diǎn)P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當(dāng)P與E不重合時(shí)，，，而，則，當(dāng)P與E重合時(shí)，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號(hào)是①③④.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影都在這兩個(gè)平面的交線上.2、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可.【詳解】若“”，則成立；反之，若，當(dāng)，時(shí)，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要條件.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要調(diào)價(jià)的判斷，考查不等式與不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】令，代入可得，即得，再由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，判斷得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，則化簡(jiǎn)可得，即函數(shù)的周期為，從而代入求解.【詳解】令，得，即，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，所以，即，可得，則，故選：D.第II卷（非選擇題4、B【解析】討論奇偶性，應(yīng)用等差、等比前n項(xiàng)和公式對(duì)作分組求和即可.【詳解】當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，則，∴.故選：B.5、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A6、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.7、B【解析】由幾何概型公式求解即可.【詳解】紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選：B8、A【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再計(jì)算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可9、A【解析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可比較.【詳解】，，所以，即.故選：A.10、B【解析】分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義以及直角三角形的性質(zhì)可求得，結(jié)合已知條件求得，分析出為的中點(diǎn)，進(jìn)而可得出，即可得解.【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，因?yàn)?，則，從而得，所以，，則為的中點(diǎn)，從而.故選：B.11、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過(guò)程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯(cuò)誤；若，令c=0，則，故B錯(cuò)誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯(cuò)誤；∵，故，根據(jù)不等式運(yùn)算規(guī)則，在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.12、A【解析】分析可知直線不過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，其中且，利用斜率關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的值，化簡(jiǎn)可得直線的方程.【詳解】若直線過(guò)原點(diǎn)，則直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，其中且，則直線的斜率為，解得，所以，直線的方程為，即.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義用表示出m，n即可作答.【詳解】設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，而，則直線的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.14、-2【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合垂徑定理和勾股定理表示出圓心到弦的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到弦的距離，解方程即可求得的值.【詳解】解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，圓心為，半徑圓C與直線相交于、兩點(diǎn),且，由垂徑定理和勾股定理得圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得，所以，解得，故答案為：.15、4或9.【解析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解方程得結(jié)果詳解：因?yàn)椋?，所以因此點(diǎn)睛：組合數(shù)性質(zhì)：16、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）6.【解析】（1）本小題根據(jù)題意先求，，，再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）本小題先設(shè)過(guò)的直線的方程，再根據(jù)題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.【詳解】解：（1）∵橢圓上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為，，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，消去可得：，化簡(jiǎn)整理得，其中，所以，，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，設(shè)平面四邊形的面積為，則，設(shè)，則（），所以，因?yàn)?，所以，，所以四邊形面積的最大值為6.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，相交弦等問(wèn)題，是偏難題.18、（1）（2）【解析】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合條件求出，得出公比，從而得出通項(xiàng)公式.(2)由（1）可得，再求出的前項(xiàng)和，從而可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，有，，得或∴或又，∴∴【小問(wèn)2詳解】，∴∴，又單調(diào)遞增,所以滿足條件的的最大整數(shù)為19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)可得f′（x）的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調(diào)性，即可求得f（x）的極值，檢驗(yàn)邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣321、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，列出關(guān)系式計(jì)算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數(shù)，進(jìn)而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可；（3）求出樣本平均數(shù)，進(jìn)而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的數(shù)，從而利于古典概型的概率公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解