附件1《數(shù)學(xué)綜合》考試大綱

附件1：《數(shù)學(xué)綜合》考試大綱全日制攻讀教育碩士(學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）)專(zhuān)業(yè)學(xué)位入學(xué)考試大綱（“學(xué)科教學(xué)-數(shù)學(xué)”方向）（科目：數(shù)學(xué)綜合）一、考查目標(biāo)全日制攻讀教育碩士(學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）)專(zhuān)業(yè)學(xué)位入學(xué)考試數(shù)學(xué)綜合科目考試內(nèi)容包括《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》兩門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)課程，要求考生系統(tǒng)掌握《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》的基本知識(shí)、基礎(chǔ)理論和基本方法，并能運(yùn)用相關(guān)理論和方法分析、解決一些具體問(wèn)題。二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)（一）試卷成績(jī)及考試時(shí)間本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。（二）答題方式答題方式為閉卷、筆試。（三）試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)各部分內(nèi)容所占分值為：數(shù)學(xué)分析90分；高等代數(shù)60分。（四）試卷題型結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)分析部分）計(jì)算題5小題，每小題10分，共50分分析討論與證明題3小題，每小題10分，共30分應(yīng)用題1小題，10分（高等代數(shù)部分）計(jì)算題3小題，每小題10分，共30分證明題1小題，10分綜合題1小題，20分三、考查范圍《數(shù)學(xué)分析》（一）考查目標(biāo)1、掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念、基本理論和基本方法。2、理解數(shù)學(xué)分析的極限思想，熟悉和掌握各種論證方法和計(jì)算方法；具備較好的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、基本運(yùn)算能力和分析論證能力。3、能夠綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析的知識(shí)分析和解決一些實(shí)際問(wèn)題。（二）考查內(nèi)容與要求第一部分函數(shù)、極限與連續(xù)1、考查內(nèi)容（1）函數(shù)實(shí)數(shù)的概念、絕對(duì)值與不等式、數(shù)集的界與確界，函數(shù)概念、函數(shù)的基本特性（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性），反函數(shù)與分段函數(shù)、隱函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)。（2）數(shù)列極限數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性、迫斂性和四則運(yùn)算法則），數(shù)列收斂的條件（柯西（Cauchy）收斂準(zhǔn)則、單調(diào)有界定理、數(shù)列與其子列的關(guān)系），極限及其應(yīng)用。（3）函數(shù)極限一元函數(shù)極限（六類(lèi)型）的定義（語(yǔ)言）、單側(cè)極限，函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性、迫斂性和四則運(yùn)算法則），歸結(jié)原則和柯西準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限（，）及其應(yīng)用，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念，無(wú)窮小量的性質(zhì)與階的比較，一元函數(shù)極限計(jì)算的各種方法，多元函數(shù)（二元函數(shù)）重極限與累次極限的概念、基本性質(zhì)與計(jì)算，二元函數(shù)重極限與累次極限的關(guān)系。（4）函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，一致連續(xù)的概念，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、局部保號(hào)性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性），初等函數(shù)的連續(xù)性。2、考試要求（1）了解實(shí)數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)，理解絕對(duì)不等式與基本不等式。（2）熟練掌握函數(shù)的概念（包括定義域、值域、反函數(shù)與分段函數(shù)、隱函數(shù)、初等函數(shù)），理解函數(shù)的基本特性（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性），熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。（3）掌握數(shù)列極限的定義，熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)，掌握并會(huì)運(yùn)用單調(diào)有界定理，了解柯西收斂準(zhǔn)則。（4）掌握一元函數(shù)極限的定義（兩類(lèi)），熟悉函數(shù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則，理解一元函數(shù)單側(cè)極限與極限、二元函數(shù)的重極限與累次極限及其關(guān)系，熟練掌握求數(shù)列極限和函數(shù)極限的基本方法（初等變形、變量替換、歸結(jié)原則、迫斂性等），會(huì)求二元函數(shù)的累次極限和重極限。（5）理解無(wú)窮小量的概念與性質(zhì)、無(wú)窮小量階的比較。（6）熟悉兩個(gè)重要極限（，）及其應(yīng)用。（7）熟練掌握函數(shù)在一點(diǎn)及在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念、分段函數(shù)的連續(xù)性，能夠判定間斷點(diǎn)的類(lèi)別，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值性、介值性、零點(diǎn)定理），了解一致連續(xù)的概念和一致連續(xù)性定理。第二部分微分學(xué)1、考查內(nèi)容（1）一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則，微分的概念，導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)。（2）微分中值定理及其應(yīng)用費(fèi)馬定理，羅爾（Rolle）中值定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西中值定理，泰勒（Taylor）公式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)（洛必達(dá)（L’Hospital）法則、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的極值、函數(shù)的最值、函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)）。（3）多元函數(shù)微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)，全微分，可微與偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的全微分與偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，高階混合偏導(dǎo)數(shù)與順序無(wú)關(guān)性。（4）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用隱函數(shù)存在定理，隱函數(shù)求導(dǎo)（偏導(dǎo)）方法，幾何應(yīng)用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線），二元函數(shù)的極值，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法及其應(yīng)用。2、考試要求（1）掌握導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)，掌握根據(jù)定義求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（包括單側(cè)導(dǎo)數(shù)）。（2）熟記求導(dǎo)公式，熟練掌握利用法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（包括參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）、高階導(dǎo)數(shù)。（3）理解微分、全微分的概念，理解可微的充分必要條件，理解可微與可導(dǎo)、全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能夠判定多元函數(shù)的可微性。（4）熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分的計(jì)算，方向?qū)?shù)的計(jì)算。（5）理解并掌握微分中值定理（羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理），能夠利用中值定理討論函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題、有關(guān)等式或不等式命題的證明等問(wèn)題。（6）熟練掌握利用洛必達(dá)法則求不定式函數(shù)極限的方法。（7）理解泰勒公式，熟悉幾個(gè)基本的麥克勞林公式（Maclaurin）（），了解利用泰勒公式證明不等式、求函數(shù)極限的基本思想和方法。（8）熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性，求一元函數(shù)的極值和最值的方法。（9）理解二元函數(shù)極值的必要條件與充分條件，熟練掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，并用于解決實(shí)際問(wèn)題。（10）能夠利用偏導(dǎo)數(shù)求空間曲線的切線和法平面、空間曲面的切平面和法線。第三部分積分學(xué)1、考查內(nèi)容（1）不定積分原函數(shù)與不定積分的概念，基本積分公式，不定積分的計(jì)算方法（直接計(jì)算法、換元積分法、分部積分法），有理函數(shù)的積分，型與型的積分。（2）定積分定積分的概念與幾何意義，可積條件（必要條件、充要條件），可積函數(shù)類(lèi)，定積分的性質(zhì)（積分區(qū)間可加性、不等式性、絕對(duì)可積性、積分第一中值定理），變限積分函數(shù)，微積分學(xué)基本定理，牛頓萊布尼茨公式與定積分的計(jì)算。（3）反常積分反常積分（無(wú)窮積分、瑕積分）的概念，柯西收斂準(zhǔn)則，絕對(duì)收斂與條件收斂，反常積分收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）。（4）重積分二重積分的概念與幾何意義，二重積分的計(jì)算（化為累次積分、極坐標(biāo)變換），改變累次積分次序，三重積分的概念，三重積分的計(jì)算（化為累次積分、柱坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換）。（5）曲線積分曲線積分（第一型、第二型）的概念、性質(zhì)與計(jì)算，格林（Green）公式，平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。（6）積分的應(yīng)用微元法思想，定積分的幾何應(yīng)用（平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲線的弧長(zhǎng)），重積分的應(yīng)用（立體體積、曲面面積）。2、考試要求（1）理解不定積分的概念及其性質(zhì)，熟記基本積分公式，熟練掌握不定積分的換元積分法與分部積分法，熟悉不定積分計(jì)算的各種基本方法。（2）掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單的根式函數(shù)的積分方法。（3）理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)和可積準(zhǔn)則，理解變限積分的性質(zhì)，掌握微積分學(xué)基本定理和積分第一中值定理，熟練掌握定積分的計(jì)算。（4）理解反常積分及其收斂、絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，了解反常積分收斂性的基本判定方法。（5）理解重積分（二重、三重）積分的概念和基本性質(zhì)。（6）掌握重積分化為累次積分的方法以及重積分變量代換方法。（7）理解曲線積分（第一型、第二型）的概念、性質(zhì)及兩者之間的關(guān)系，熟練掌握曲線積分的計(jì)算，熟悉格林公式及應(yīng)用、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。（8）熟悉定積分的應(yīng)用（平面圖形的面積、曲線弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體體積），重積分的應(yīng)用（立體體積、曲面面積）。第四部分級(jí)數(shù)1、考查內(nèi)容（1）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)及其斂散性，收斂級(jí)數(shù)的和，柯西準(zhǔn)則，收斂必要條件，收斂級(jí)數(shù)基本性質(zhì)；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂。（2）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂性，柯西一致收斂準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法（魏爾斯特拉斯判別法），函數(shù)列的極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)性、可積性、可微性）及其應(yīng)用。（3）冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的概念，阿貝爾定理，收斂半徑與收斂域，冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)及其應(yīng)用，冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，泰勒級(jí)數(shù)，麥克勞林級(jí)數(shù)。2、考試要求（1）掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則，收斂和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。（2）熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法（比較原則、比試判別法、根式判別法），掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，理解一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的常規(guī)判別法，能計(jì)算一些收斂級(jí)數(shù)的和。（3）理解函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和一致收斂的意義，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法（魏爾斯特拉斯判別法），理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。（4）理解冪級(jí)數(shù)的概念并能確定其收斂半徑和收斂域，掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則，熟悉幾個(gè)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（），可以求簡(jiǎn)單函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式以及利用冪級(jí)數(shù)運(yùn)算求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。參考書(shū)目：《數(shù)學(xué)分析》(第五版，上、下冊(cè))，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2019.《高等代數(shù)》考查目標(biāo)1、掌握高等代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法。2、理解高等代數(shù)中的分類(lèi)、表示思想，掌握各種推理論證方法和計(jì)算方法；具備良好的抽象思維、邏輯推理和空間想象等能力。3、能夠綜合運(yùn)用高等代數(shù)的理論、方法分析和解決一些具體問(wèn)題。二、考查內(nèi)容與要求第一部分行列式1、考查內(nèi)容（1）n階行列式的定義和性質(zhì)，行列式按行（列）展開(kāi)的公式（2）克拉默(Cramer)法則2、考試要求（1）理解n階行列式的定義,能用定義計(jì)算一些特殊行列式。（2）理解行列式的基本性質(zhì)，能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單行列式。（3）掌握行列式按行（列）展開(kāi)的公式，掌握“化三角形法”、“遞推降階法”、“數(shù)學(xué)歸納法”等計(jì)算行列式的技巧。（4）掌握克拉默(Cramer)法則。第二部分線性方程組1、考查內(nèi)容（1）線性方程組的消元法（2）n維向量的概念、運(yùn)算、性質(zhì)（3）向量組的線性相關(guān)性（4）矩陣的秩，線性方程組有解的判別法（5）線性方程組解的結(jié)構(gòu)2、考試要求（1）理解向量組的線性相關(guān)性的基本概念和結(jié)論。（2）掌握矩陣的秩、向量組的秩及極大線性無(wú)關(guān)組的求法。（3）掌握線性方程組的有解判別定理。（4）理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)求一般線性方程組的全部解。第三部分矩陣1、考查內(nèi)容（1）矩陣的運(yùn)算、性質(zhì)（2）矩陣乘積的行列式與秩（3）可逆矩陣的概念、性質(zhì)，用公式法求逆矩陣（4）分塊矩陣的運(yùn)算、應(yīng)用（5）初等矩陣與初等變換的關(guān)系，用初等變換求逆矩陣的方法2、考試要求（1）能熟練地進(jìn)行矩陣的運(yùn)算。（2）熟悉矩陣乘積的行列式及秩的定理。（3）理解可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個(gè)n階方陣可逆的充要條件和用公式法求逆矩陣。（4）掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。（5）理解初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系，會(huì)用初等變換的方法求逆矩陣。第四部分線性空間1、考查內(nèi)容（1）線性空間的定義和性質(zhì)（2）線性相關(guān)性、維數(shù)、基和坐標(biāo)（3）基變換和坐標(biāo)變換，過(guò)渡矩陣（4）線性子空間、子空間的交與和、直和、維數(shù)公式（5）線性空間的同構(gòu)2、考試要求（1）理解和掌握線性空間的定義及性質(zhì)，會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是線性空間。（2）理解基、維數(shù)、坐標(biāo)的概念，掌握基、維數(shù)、坐標(biāo)的求法。（3）理解和掌握基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。（4）理解線性子空間的定義，掌握向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件。（5）掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)；熟練掌握維數(shù)公式。（6）理解子空間的直和的概念及和為直和的充要條件。（7）理解和掌握線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及兩個(gè)有限維空間同構(gòu)的充要條件。第五部分線性變換1、考查內(nèi)容（1）線性變換的定義、性質(zhì)和運(yùn)算（2）線性變換和矩陣的關(guān)系（3）特征值、特征向量（4）對(duì)角化問(wèn)題（5）線性變換的值域、核、不變子空間2、考試要求（1）理解線性變換的定義及性質(zhì)，掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律。（2）理解和掌握線性變換與矩陣的關(guān)系，掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似的性質(zhì)。（3）理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密頓-凱萊定理。（4）掌握n維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角形的充要條件。（5）掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念，掌握線性變換的值域與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系。（6）掌握不變子空間的定義，會(huì)判定一個(gè)子空間是否是不變子空間，理解不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系。第六部分歐幾里得空間1、考查內(nèi)容（1）歐幾里得空間的定義及基本性質(zhì)（2）標(biāo)準(zhǔn)正交基、施密特（Schmidt）正交化方法（3）歐幾里得空間的同構(gòu)（4）正交變換與正交矩陣（5）化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角形2、考試要求（1）理解歐幾里得空間和