黑龍江省2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

黑龍江省2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)且的最大值為，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.2．已知橢圓：的離心率為，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.3．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.44．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值是（）A. B.C. D.5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點(diǎn)，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π6．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓E上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于E的兩個(gè)焦點(diǎn)處，則E的離心率為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.CD.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A.4 B.9C.23 D.649．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A.102 B.C. D.10810．已知，則（）A. B.1C. D.11．過雙曲線的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P，為右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量，且，則______.14．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是；③過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為______（寫出所有真命題的序號(hào)．）15．已知函數(shù)，則滿足實(shí)數(shù)的取值范圍是__16．雙曲線的離心率為____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求三角形PMN的面積.18．（12分）（1）已知雙曲線的離心率為2，求E的漸近線方程；（2）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且，求C的方程.19．（12分）在對(duì)某老舊小區(qū)污水分流改造時(shí)，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價(jià)為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價(jià)為248元/平方米，池底的建造單價(jià)為80元/平方米，池蓋的建造單價(jià)為100元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費(fèi)以及其他費(fèi)用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計(jì)算時(shí)忽略不計(jì)）（1）現(xiàn)有財(cái)政撥款9萬(wàn)元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬(wàn)元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少萬(wàn)元？20．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性.（2）證明：.21．（12分）在△中，已知、、分別是三內(nèi)角、、所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng),且（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，且△的面積為，求.22．（10分）已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，從而得到，則，其中，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得到方程，從求出橢圓的離心率；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故選：A2、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋运?，解?故選：C3、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計(jì)算后即可判斷【詳解】解：①，故錯(cuò)誤；②，故正確；③，故錯(cuò)誤；④，故錯(cuò)誤.所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為1.故選：A.4、C【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出的面積是關(guān)于的一個(gè)式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為..當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.5、D【解析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進(jìn)而利用球的表面積計(jì)算公式得出結(jié)論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因?yàn)?，所以，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、球的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題6、B【解析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B7、B【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可求出.【詳解】，.故選：B.8、C【解析】直接按程序框圖運(yùn)行即可求出結(jié)果.【詳解】初始化數(shù)值，，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，1≥4不成立；第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，2≥4不成立；第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，3≥4不成立；第四次執(zhí)行循環(huán)體，，，4≥4成立；輸出故選：C9、D【解析】將將看作一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開口向下，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：D10、B【解析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出【詳解】因?yàn)椋怨蔬x：B11、D【解析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結(jié)論知，結(jié)合可列出關(guān)于的二次齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.12、A【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性即可求得答案.【詳解】由題意，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為，則與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，于是.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的均值與方差的關(guān)系求得,再根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】,所以,又因?yàn)?所以故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算,同時(shí)也考查了方差的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點(diǎn)判斷命題②；分析點(diǎn)P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計(jì)算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對(duì)于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對(duì)于②，拋物線化為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，命題②正確；對(duì)于③，令定圓C的圓心為C，因，則點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，當(dāng)P與C不重合時(shí)，有，點(diǎn)P在以線段AC為直徑的圓上，當(dāng)P與C重合時(shí)，點(diǎn)P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點(diǎn)外)，則命題③不正確；對(duì)于④，曲線的焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點(diǎn)為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn)，命題④正確，所以真命題的序號(hào)為②④.故答案為：②④【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問題中出現(xiàn)認(rèn)真區(qū)分，不要混淆.15、【解析】分別對(duì)，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對(duì)，分別大于1，等于1，小于1的討論，當(dāng),解得當(dāng)，不存在，當(dāng)時(shí)，，解得，故x的范圍為點(diǎn)睛】本道題考查了分段函數(shù)問題，分類討論，即可，難度中等16、【解析】由題意得：考點(diǎn)：雙曲線離心率三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)知，設(shè)圓心，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式列方程求參數(shù)a，進(jìn)而確定圓心坐標(biāo)、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點(diǎn)距離公式、切線的性質(zhì)可得、，再應(yīng)用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設(shè)圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）由可知，即可求出，故可得漸近線方程；（2）利用點(diǎn)在拋物線上及其拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】（1）∵E的離心率，∴，即，解得，故E的漸近線方程為.（2）∵是C上一點(diǎn)，∴①，由拋物線的定義可知②，兩式聯(lián)立可得，解得則C的方程為.19、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.【解析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價(jià)直接計(jì)算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費(fèi)用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長(zhǎng)為（米），建造總費(fèi)用為：（元）因?yàn)?，所以如果污水處理池的寬建?米，那么9萬(wàn)元的撥款是不夠用的.【小問2詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，建造總費(fèi)用為元，則污水處理池的長(zhǎng)為米.則因?yàn)?，等?hào)僅當(dāng)，即時(shí)成立，所以時(shí)建造總費(fèi)用取最小值90000，所以將污水處理池建成長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.20、（1）在R上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）證明見解析.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)，令并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值，確定的符號(hào)，即可知的單調(diào)性.（2）利用作差法轉(zhuǎn)化證明的結(jié)論，令結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，最后討論的大小關(guān)系判斷的符號(hào)即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，.令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增故，即，則在R上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.【小問2詳解】.令，則.令，則，顯然在R上單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故，即，在R上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，.綜上，，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，應(yīng)用作差法有，構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，最后討論的大小證結(jié)論.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到關(guān)于