江功省睢寧縣第一中學北校2023-2024學年高二上數(shù)學期末聯(lián)考模擬試題含解析

江功省睢寧縣第一中學北校2023-2024學年高二上數(shù)學期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的離心率為（）A. B.C. D.2．某學生2021年共參加10次數(shù)學競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標準差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；3．過拋物線C：的準線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標為（）A. B.C. D.4．已知直線和平面，且在上，不在上，則下列判斷錯誤的是（）A.若，則存在無數(shù)條直線，使得B.若，則存在無數(shù)條直線，使得C.若存在無數(shù)條直線，使得，則D.若存在無數(shù)條直線，使得，則5．以下說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設具有相關關系的兩個變量的相關系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關程度越高；⑤在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關聯(lián)的把握就越大。其中錯誤的個數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.36．已知各項均為正數(shù)且單調遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項和為，且，則（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.20228．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則判斷框中應填入（）A.？ B.？C.？ D.？9．命題；命題．則A.“或”為假 B.“且”為真C.真假 D.假真10．命題“若，則”的否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．設為數(shù)列的前n項和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.512．從裝有2個紅球和2個白球的袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個紅球；取出的球恰有1個白球C.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個白球；取出的球恰有2個白球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列則是這個數(shù)列的第________項.14．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標系xOy中,設軍營所在平面區(qū)域為{(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點P(,)處出發(fā),只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營,當將軍選擇最短路程時,飲馬點A的縱坐標為______.最短總路程為______15．已知數(shù)列滿足，記，則______；數(shù)列的通項公式為______.16．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，第1，2項與第10，11項的和為68，則數(shù)列的通項公式是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設斜率為k的直線與橢圓C交于兩點，O為坐標原點，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.18．（12分）如圖，正三棱柱中，D是的中點，.（1）求點C到平面的距離；（2）試判斷與平面的位置關系，并證明你的結論.19．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設直線，分別與軸交于點，.判斷，大小關系，并加以證明.20．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，平面，為的中點，為的中點（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值21．（12分）如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側面有一個小孔（小孔的大小忽略不計）E，E點到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當水恰好流出時，側面與桌面所成的角的大小.22．（10分）已知數(shù)列，，其中，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，且（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓標準方程求得，再計算出后可得離心率【詳解】在橢圓中，，，，因此，該橢圓的離心率為.故選：A.【點睛】本題考查求橢圓的離心率，根據(jù)橢圓標準方程求出即可2、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標準差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標準差描述數(shù)據(jù)的波動大小估計數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.3、D【解析】設切點，點，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準線方程可得，將問題轉化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設切點，點由題意，拋物線C的準線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉化為函數(shù)解析式，可利用導數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.4、D【解析】根據(jù)直線和直線，直線和平面的位置關系依次判斷每一個選項得到答案.【詳解】若，則平行于過的平面與的交線，當時，，則存在無數(shù)條直線，使得，A正確；若，垂直于平面中的所有直線，則存在無數(shù)條直線，使得，B正確；若存在無數(shù)條直線，使得，，，則，C正確；當時，存在無數(shù)條直線，使得，D錯誤.故選：D.5、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關系數(shù)為r，越接近于1，相關程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.6、C【解析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調遞減，求出公比，再由即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前項和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，得：，設的公比為，則，解得：或，又單調遞減，，，解得：，數(shù)列的通項公式為：，.故選：C7、C【解析】先令代入中，求得，再根據(jù)遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進而確定，求得答案.【詳解】因為，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.8、C【解析】本題為計算前項和，模擬程序，實際計算求和即可得到的值.【詳解】由題意可知：輸出的的值為數(shù)列的前項和.易知，則，令，解得.即前7項的和.為故判斷框中應填入“？”.故選：C.9、D【解析】命題：可能為0，不為0，假命題，命題：，為真命題，所以“或”為真命題，“且”為假命題．選D.10、B【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結論都要否定【詳解】解：因為原命題的否命題是條件結論都要否定所以命題“若，則”的否命題是若，則；故選：B11、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，因為，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B12、D【解析】利用互斥事件、對立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】A答案中的兩個事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個事件不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，既是互斥事件又是對立事件D答案中的兩個事件不能同時發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對立事件故選：D【點睛】本題考查的是互斥事件和對立事件的概念，較簡單.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12【解析】根據(jù)被開方數(shù)的特點求出數(shù)列的通項公式，最后利用通項公式進行求解即可.【詳解】數(shù)列中每一項被開方數(shù)分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開方數(shù)是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列，設該等差數(shù)列為，其通項公式為：，設數(shù)列為，所以，于是有，故答案為：14、①.②.【解析】求出P(,)關于直線x+2y4=0對稱點P'的坐標，再求出線段OP'與直線x+2y-4=0的交點A,再利用圓的幾何性質可得結果.【詳解】設P(,)關于直線x+2y4=0的對稱點為P'(m,n),則解得因為從點P到軍營總路程最短,所以A為線段OP'與直線x+2y4=0的交點,聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=，故答案為，.【點睛】本題主要考查對稱問題以及圓的幾何性質，屬于中檔題.解析幾何中點對稱問題，主要有以下三種題型：（1）點關于直線對稱，關于直線的對稱點，利用，且點在對稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關于直線對稱，利用已知直線與對稱軸的交點以及直線上特殊點的對稱點（利用（1）求解），兩點式求對稱直線方程；（3）曲線關于直線對稱，結合方法（1）利用逆代法求解.15、①.②..【解析】結合遞推公式計算出，即可求出的值；證得數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求出結果.【詳解】因為，所以，，，因此，由于，又，即，所以，因此數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即，故答案為：；.16、【解析】利用基本量結合已知列方程組求解即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為由題可知即因為，所以解得：所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關系，再表示出弦長關系，再計算點到直線的距離，把面積用和的式子表示出來，通過給出的面積的值，找到和的等量關系，將等量關系帶入到利用跟與系數(shù)關系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標準方程為，【小問2詳解】設：，①橢圓.②聯(lián)立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.18、（1）（2）平行，證明過程見解析.【解析】（1）利用等體積法即可求解；（2）利用線面平行判定即可求解.【小問1詳解】解：正三棱柱中，D是的中點，所以，，正三棱柱中，所以又因為正三棱柱中，側面平面且交線為且平面中，所以平面又平面所以設點C到平面的距離為在三棱錐中，即所以點C到平面的距離為.【小問2詳解】與平面的位置，證明如下：連接交于點，連接，如下圖所示，因為正三棱柱的側面為矩形所以為的中點又因為為中點所以為的中位線所以又因為平面，且平面所以平面19、（1）（2）（3）見解析【解析】(1)由題意求得，所以橢圓的方程為(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達式，當且僅當時，．即的面積的最大值是(3)結論為．利用題意有．所以試題解析：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為因為橢圓的離心率是，所以，即由解得所以橢圓的方程為（Ⅱ）將代入，消去整理得令，解得設則，所以點到直線的距離為所以的面積，當且僅當時，所以的面積的最大值是（Ⅲ）．證明如下：設直線，的斜率分別是，，則由（Ⅱ）得，所以直線，的傾斜角互補所以，所以所以20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接交于，連接，，由平面幾何得，再根據(jù)線面平行的判定可得證；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法即可得結果.【小問1詳解】取的中點，連接交于，連接，在三棱柱中，為的中點，，為的中點，且，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面；【小問2詳解】平面，，平面，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則即取，則，，又是平面的一個法向量，，故平面和平面夾角的余弦值為21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由水的體積得出，進而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內，過點作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側面與桌面所成的角即側面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關系得出其夾角.【小問1詳解】由題意知，水的